第 1 页 共 8 页1986年试题(理工农医类 )一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论 ,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)在下列各数中 ,已表示成三角形式的复数是【】Key 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B;(2)函数 y=(0.2)-x+1的反函数是(A)y=log5x+1(B)y=logx5+1(C)y=log5(x-1)(D)y=log5x-1【】 Key (2)C;(A)一条平行于 x轴的直线(B)一条垂直于 x轴的直线(C)一个圆(D)一条抛物线【】 Key (3)B;【】Key (4)A;(5)给出20个数87 91 9488 93 91 8987 92 8690 92 8890 91 86 8992 95 88它们的和是(A)1789(B)1799(C)1879(D)1899第 2 页 共 8 页【】Key (5)B;(6)设甲是乙的充分条件 ,乙是丙的充要条件 ,丙是丁的必要条件 ,那么丁是甲的(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件【】Key (6)D;(7)如果方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)所表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有(A)D=E (B)D=F(C)E=F (D)D=E=F【】Key (7)A;(8)在正方形 SG1G2G3中E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿 SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、 G2、 G3三点重合 ,重合后的点记为 G .那么,在四面体 S EFG中必有(A)SGEFG所在平面(B)SDEFG所在平面(C)GFSEF所在平面 (D)GDSEF所在平面【】Key (8)A;(9)在下列各图中 ,y=ax2+bx与y=ax+b(ab0)的图象只可能是【】第 3 页 共 8 页Key (9)D;(10)当x-1,0时,在下面关系式中正确的是【】 Key (10)C.二、只要求直接写出结果 .(3)在xoy平面上 ,四边形 ABCD的四个顶点坐标依次为 (0,0)、(1,0)、(2,1)及(0,3),求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积. Key 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果 .三、如图,AB是圆O的直径 ,PA垂直于圆 O所在的平面 ,C是圆周上不同于 A、B的任意一点 .求证:平面PAC垂直于平面 PBC.第 4 页 共 8 页 Key 三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.证明:设圆O所在平面为 .由已知条件 ,PA平面 ,又BC在平面内 ,因此PABC.因此 BCA是直角 ,因此BCAC.而PA与AC是PAC所在平面内的相交直线 ,因此BCPAC所在平面 .从而证得 PBC所在平面与 PAC所在平面垂直 .四、当sin2x0时,求不等式 log0.5(x2-2x-15)log0.5(x+13)的解集 . Key 四、本题主要考查对数和不等式知识及运算推导能力.解:满足sin2x0的x取值范围是而由log0.5(x2-2x-15)log0.5(x+13)以及对数函数的定义域及性质得到x2-2x-150,x+130,解不等式得 :-4x7, 解不等式及得-13x5. 综合、及 ,可知所求的解集为(-,-3)(2,7).五、如图 ,在平面直角坐标系中 ,在y轴的正半轴 (坐标原点除外 )上给定两点 A、B.试在x轴的正半轴 (坐标原点除外 )上求点 C,使ACB取得最大值 . Key 五、本题主要考查三角函数、函数最大(小)值知识及分析问题的能力.解:设点A的坐标为 (0,a)、点B的坐标为 (0,b),0b0.第 5 页 共 8 页记BCA=,OCB=,则OCA=+.六、已知集合 A和集合 B各含有 12个元素 ,AB含有4个元素 ,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数 :第 6 页 共 8 页 Key 六、本题考查排列组合、集合等知识与分析问题的能力.解法一 :因为A、B各含12个元素 ,AB含4个元素 ,因此,AB元素的个数是 12+12-4=20.解法二 :由题目条件可知 ,属于B而不属于 A的元素个数是 12-4=8.七、过点 M(-1,0)的直线 l1与抛物线 y2=4x交于P1、P2两点 .记:线段P1P2的中点为 P;过点P和这个抛物线的焦点 F的直线为 l2;l1的斜率为 k.试把直线 l2的斜率与直线 l1的斜率之比表示为 k的函数,并指出这个函数的定义域、 单调区间 ,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数. Key 七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力.解:由已知条件可知 ,直线l1的方程是y=k(x+1),把代入抛物线方程 y2=4x,整理后得到k2x2+(2k2-4)x+k2=0, 因此,直线l1与该抛物线有两个交点的充要条件是:(2k2-4)2-4k2k20, 及k0.解出与得到k(-1,0)(0,1).今记l1与抛物线的两个交点 P1与P2的横坐标分别为 x1和x2,由韦达定理及得第 7 页 共 8 页定义域是(-1,0)(0,1).注:可先解出 k的取值范围作为定义域,后给出函数 f(k)的表达式 ,也可先给出函数表达式 ,后解出k的取值范围作为定义域 . Key 八、本题主要考查数列的概念及运用数学归纳法解题的能力.证明:首先,由于x10,由数列 xn 的定义可知xn0,(n=1,2)那么当 n=k+1时第 8 页 共 8 页从而对一切自然数 n都有xn+1xn.(ii)若x11,同理可证 ,对一切自然数 n都有xn+1xn.九、(附加题不计入总分 )(1)求y=xarctgx2的导数 . Key 九、(附加题 ,不计入总分 )本题主要考查导数的运算及几何意义.。