§4 二重积分的变量交换二重积分的变量交换教学重点：教学重点：二重积分的变量变换（主要为线性变换，二重积分的变量变换（主要为线性变换， （广义）极坐标变换）（广义）极坐标变换） 教学内容教学内容：1.二重积分的变量替换公式二重积分的变量替换公式 2.二重积分的一般变量变换二重积分的一般变量变换 3.二重积分的极坐标变换二重积分的极坐标变换教学难点：教学难点：变量变换后积分限的确定变量变换后积分限的确定 一、二重积分的变量交换公式一、二重积分的变量交换公式1.引理：引理： 2.二重积分的变量替换公式：二重积分的变量替换公式：x,y的的范围范围u,v的范围的范围要加绝对值要加绝对值 3.利用一般变量替换求二重积分利用一般变量替换求二重积分步骤：步骤： ⑴根据题目的特点(区域及被积函数)确定变换; (3)在变换下确定u,v的范围△;作图(4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分;(5)用§2求二重积分的方法求出其值题型一：引入变量替换后，化为累次积分题型一：引入变量替换后，化为累次积分例例1：：P242习题习题3（（2）） 例例2 2题型二：作适当的变量替换，计算二重积分题型二：作适当的变量替换，计算二重积分11 例例3 3Oxy 二、用极坐标计算二重积分二、用极坐标计算二重积分1.变换变换.OxyP(x,y)r2.适用范围适用范围(1)D为圆域或圆域的一部分； 3.变换公式变换公式————二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图区域特征如图①①二重积分化为二次积分的公式（１）二重积分化为二次积分的公式（１）3.D'的确定的确定把极把极坐标代入边界得出坐标代入边界得出D'的边界的边界 ②②二重积分化为二次积分的公式（２）二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图区域特征如图 常见区域常见区域D'的确定的确定xOy2RROxy2RR 极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积③③二重积分化为二次积分的公式（３）二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图区域特征如图 常见区域常见区域D'的确定的确定xyORR题型一：引入极坐标变量替换后，化为累次积分题型一：引入极坐标变量替换后，化为累次积分例例4：：P242习题习题1（（2））xO1y 练习：练习：P242习题习题1（（1）） 例例6 6例例7 7 。