简谐振动及其周期公式的推导与证明简谐振动：如果做机械振动的物体，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律，这样的振动叫做简谐振动位移：用X表示，指振动物体相对于平衡位置的位置变化，由简谐振动定义可以得出X的一般式：x=Acos（①t，€）（下文会逐步解释各个物理符号的定义）；振幅：用A表示，指物体相对平衡位置的最大位移；全振动：从任一时刻起，物体的运动状态（位置、速度、加速度），再次恢复到与该时刻完全相同所经历的过程；频率：在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f表示；周期：物体完成一次全振动所用的时间，用T表示；角频率：用①表示，频率的2n倍叫角频率，角频率也是描述物体振动快慢的物理量角频率、周期、频率三者的关系为：①=2n/T=2nf；相位：„=ot，€表示相位，相位是以角度的形式出现便于讨论振动细节，相位的变化率就是角频率，即®=d„；dt初相：位移一般式中€表示初相，即t=0时的相位，描述简谐振动的初始状态；回复力：使物体返回平衡位置并总指向平衡位置的力因此回复力同向心力是一种效果力）如果用F表示物体受到的回复力，用X表示小球对于平衡位置的位移，对X求二阶导即得：a=一2cos（wt，€）又因为F=ma，最后可以得出F与x关系式：F=-mW2x=—kx由此可见，回复力大小与物体相对平衡位置的位移大小成正比。
式中的k是振动系统的回复力系数（只是在弹簧振子系统中k恰好为劲度系数），负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反简谐振动周期公式：T=2冗m，该公式为简谐振动普适公式，式中k是振动系统的回复力k系数，切记与弹簧劲度系数无关单摆周期公式：首先必须明确只有在偏角不太大的情况（一般认为小于10°）下，单摆的运动可以近似地视为简谐振动我们设偏角为e，单摆位移为X，摆长为l，当e很小时，有关系式：sin0«e«tanea"，L而单摆运动的回复力为F=mgsine，那么单摆运动中回复力系数k€mg，代入简谐振动周期普适公式可得:L简谐振动周期公式推导与证明:(1) 求导法：对x求二阶导，得：a€-Ao2cos(①t„,)，由F=ma=-kx得:(2) 等效替代I：做匀速圆周运动的物体在任意一直径上的垂直投影做简谐振动这是研究简谐振动的一个重要结论F面给出证明:如图，设物体做匀速圆周运动，线速度为卩，半径为尸，角速度为o，以圆心为坐标原点建立坐标系，设初始位置与圆心连线和x轴夹角为,，经过的时间为则该物体在x轴上投影相对于原点的位移x满足x€rcos(ot„,)，由此可见，该投影做的是一个简谐振动。
既然做匀速圆周运动的物体在任意一直径上的垂直投影做简谐振动，那么投影做简谐振动的周期与物体做匀速圆周运动周期相等投影在x轴方向上运动的加速度与物体向心加速度沿x轴方向分量相等，a二acos(ot„,)，x如果我们把投影当成一个质量为m的物体，那么该物体做简谐运动所需回复力为F€ma€mo2rcos(ot+,)，x注意到rcos(ot+,)刚好是投影偏离原点的位移大小，该位移方向与F方向相反，故F€-mo2x€-kx，那么o€(3) 等效替代II(只对弹簧振子有效)：以弹簧振子为例，设振幅为A，弹簧劲度系数为k，振子质量为m，振动周期为T，假设从最大位移处开始运动的1周期内，存在这样的力f使得fT在数值上等于物体44最大动量而该1周期内，回复力F产生的总冲量大小为4[t[t|*kkAkAI，J4Fdt，J4kAcos€tdt，J2cosydy，F000€€由动量定理可知，等价力f产生的冲量与该冲量大小相等，那么“I4kA,2kA€T兀对于弹簧振子，由能量守恒可得：Epmax1 kA2，E21，mvkamx2max2，由此可见vmaxkAm故pmaxkmAmaxkmA可得：T，4kmA，溉kmA，2kf2kA4）能量守恒（只对弹簧振子有效）以弹簧振子为例，振动没有能量损耗时，动能、势能相互转化，机械能守恒。
设振子质量为加，最大速度为V，振幅为力，弹簧劲度系数为乩角频率为€，那么1最大动能E，mv2，又x，Asin（€t+„），对其求一介导得x'，A€cos（€t+„），由kmax211此可见最大速度为尸A€，故，E，mv2，mA2€2，kmax22最大势能E，1kA2pmax2Epmaxkmax故k，m€2，即€，那么T，2兀，2k€。