通化师范学院本科生毕业论文（2016 届）题 目 研析二重极限与累次极限的关系学 院 数学学院专 业 数学与应用数学班 级 12级01班作者姓名 黄梦莉 学号201206010104指导教师 王宏志职称副教授学位硕士论文成绩2016年5月目录摘要 ……………………………………………………………………………………………1 关键词 …………………………………………………………………………………………1 中文摘要 ………………………………………………………………………………………1 英文关键词 ……………………………………………………………………………………1 1 引言………………………………………………………………………………………… 1 2 预备知识…………………………………………………………………………………… 1 3 二重极限与累次极限之间的联系………………………………………………………… 33.1 二重极限与累次极限没有必然的联系……………………………………………………33.2 二重极限与累次极限在一定条件下的联系………………………………………………53.3 利用累次极限求解二重极限………………………………………………………………53.4 数列的二重极限与累次极限的关系………………………………………………………6 4 结束语……………………………………………………………………………………… 6 5 参考文献…………………………………………………………………………………… 7研析二重极限与累次极限的关系数学学院 1201 黄梦莉摘 要 ：二元函数极限概念是多元函数微积分学的一个重要内容，本文利用二重极限与 累次极限的概念，讨论它们的本质性区别，归纳总结了二重极限与累次极限存在性之间的 内在联系.关键词：多元函数；二重极限；累次极限；关系Research on the Relationship between Double Limitand Repeated LimitClassl201 School of Mathematics HUANG MengliAbstract: The concept of limit of two elements function is an important content of multivariate function differential calculus, using the concept of double limit and the repeated limit, discussed their essential differences, summarizes the inner relation between the double limit and double limit.Key words: multivariate;double limit; repeated limit; relationship1 引言二元函数的两种极限——二重极限和累次极限，二重极限在多元函数微积分中占有突 出地位，对于二重极限与累次极限的正确理解和求解是研究多元函数微分学的基础，而二 重极限与累次极限的关系是其重要内容．对于初学者，很容易对两者之间的关系产生疑问 及误解，甚至分不清这两种极限的概念．为了正确认识这两种极限之间的关系，首先要掌 握这两种极限的概念，清楚理解这两种极限实质性的区别，其次深入研究这两种极限存在 性的联系．掌握二重极限与累次极限的概念及其关系有利于研究多元函数微积分及多元函 数极限的计算．在本文中还将介绍二重极限与累次极限的关系同样适用于数列中——数列 的二重极限与累次极限的关系，在这里的数列是指二重数列，而二重数列可以看成二元函 数.2 预备知识（1）二重极限与累次极限的概念定义1设f为定义在上的D R2二元函数，P 0为D的一个聚点，A是一个确定的实数•若对任给正数…总存在某正数「使得当P2伸)nD时’都有f (P) - AZ .则称f在D上当P T P时以A为极限，记作lim f (P) = A.0 P - P0PgD在对于P g D不致产生误解时，也可以简单地写作lim f (P )= A .PTP0当P , P0分别用坐标(x,y), (x ,y)表示时，上式也常写作(严)f(x,y)= A0 0 0 (x,y)T(x0,y0 )．这0在所研究的极限 lim f (x,y)中，两个自变量x, y同时以任何方式趋于x，y(x,y)T(x0,y0 ) 0种极限也称为二重极限．定义2设f (x,y), (x, y )g D , d在x轴、y轴上的投影分别为X，y.即t|(x, y) g dI Y = t|(x, y) g d}x， y分别是x， y的聚点•若对每一个y g y(y丰y0)，存在极限lim f (x, y)，它一般 0 0 0x T x0与y有关，故记作申(y) = lim f (x, y)，如果进一步还存在极限L = lim申(y)，则称此极限LxTx0 yT y0为f G, y)先对x(tx°)，后对y(Ty0)的累次极限记作L = lim lim f (x, y).y-y0 x-x0类似地可以定义先对 y 后对 x 的累次极限K = lim lim f (x, y).XT X0 y - y02)二重数列及其极限的定义定义3用D来表示下面的点集:D = (m, n): m, n都是自然数(每个点的坐标都是由两个自然数组成的.)在点集D上定义的函数f(x,y),通常写成数列的形式：a = f (x,y)(m,n = 1,2,—).mn这叫做二重数列．这种数列也可以写成“无穷阶矩阵”的形式a a — a11 12 1 na a — a21 22 2 naam1m2当m , n以任意的方式无限增大时,lim am t s mnn t s这个二重数列的极限定义为= lim f ( x , y )(x, y 严 Dx T +sy T +s二重极限与累次极限的关系3.1 二重极限与累次极限没有必要的联系累次极限与二重极限是两个独立的不同概念，它们的存在性没有必然的包含关系．由 此开始将逐一进行分类并说明二重极限与累次极限没有什么关联．3.1.1 二重极限存在，而两个累次极限不存在例 1 f Cx, y )= Cx + y )sin 1sin —y解 0 < f (x, y )| = (x + y )si由两边夹定理可知：由于 lim x sin 丄 sinxt 0 x(x| + |y|)= 0 ,lim(x, y )t(0,0 )—sin — < |x| + |y|,x ylim f (x,y)= 0，但是，对任意给定的y丰°,(x,y )T (0,0)sin1 = 0，而 lim y sin —smyx tO11x亍不存在'1不存在,y所以 lim (x + y )sin J-sin xt 0 x同理， lim lim f (x, y) 也不存在．x t0 y t0 由例 1发现二重极限的存在并不能保证累次极限的存在即 lim lim f (x, y) 不存在y t0 xt03.1.2 二重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在由例1 知道二重极限存在，两个累次极限不存在，但一个二元函数的两个累次极限不一定相等，虽然只是对两个不同变量求极限的次序不同，但结果并不一定总是相等的，有时甚至会出现一个累次极限存在而另一个不存在的情形．例 2 函数 f (x, y)=1 sinx满足limlimysin = lim° = 0， limlimy sin1 不存在.y xT0 yT0 x xT0 y T0 xT0 xy sin 丄 < |y| t 0x((x, y)t (0,0))，故 lim(x, y )t(0,0) x3.1.3 二重极限与累次极限都不存在以上例1 与例2 都是说明二重极限存在时，累次极限的存在性无法保证，由下面例 3与例4 可以看到二重极限与累次极限都可以不存在.例3设f(x,y)=丄，则其在(0,0)重极限与累次极限都不存在. xy例4设f (x, y)=竺土 在6,0)点的累次极限limlim竺工不存在, sm xy —o yto sin xy豐绞总也不存在’即函数血y)的两个累次极限均不存在，当动点(x，y)沿x轴正向趋于(o,o)时，lim 不存在，故函数f (x, y)的二重极限也不存在.(x,y)t(0,0) sin xy3.1.4 两个累次极限存在且相等时，二重极限不存在由例 5 开始说明累次极限的存在也不能保证二重极限的存在性．例5 f (x, y)=殳 ，yL (o,o),f (x, y)在(o,o)处的两个累次极限都存在且相x 2 + y 2等, limlim f (x, y )= lim f (x, y )= o，再求二重极限，当动点(x, y )沿着直线y二mx而xt o yt o y t o趋于定点(o,o )时，由于此时f (x, y)= f (x,mx)= m ，因而有1 + m 2lim Xy(x,y)T(o,o) x2 + y 2y - mx二 limxto这一结果说明动点沿着不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在．3.1.5 两个累次极限存在且不相等时，二重极限不存在同样的，当两个累次极限结果不同时，也不能保证二重极限的存在性例6设f (x, y )= x — y +厂2，它关于原点的两个累次极限分别为:x 2 + y 2=lim(1 + x)= 1.xtox - y + x 2 + y 2 x + x 2limlim = limxto y to x + y x to xlimlim x 一 y + x 2 + y2y to x to x + y二 lim二 lim(y -1)= -1. y to y x to当沿斜率不同的直线y二mx，Gy)T(o,o)时，对应的极限值也不同，因此该函数的二重极限不存在．3.2 二重极限与累次极限在一定条件下的联系通过以上的五个情形以及例题，已清楚地了解到累次极限与二重极限之间的存在性并没有什么关联，那么在它们之间是否真的毫无关系可寻的呢？并非如此定理1若f (x, y)在点(x , y )存在重极限00lim f (x,y)(x,y)T(xo,yo)与累次极限lim lim f (x, y),则它们必相等．由定理 1 可导出如下两个便于应用的推论．lim lim f (x, y)， lim lim f (x, y )推论 1 若累次极限yT yo xTxo和重极限lim f (x, y)(x,y)T(xo,yo)都存在，则三者相等．推论 2 若累次极限lim lim f (x, y ) 与 lim lim f (x, y )yT yo xTxoxTxo yT yolim f (x, y)必不存在.(x,y)T(xo,yo)但是，定理1保证了在二重极限与其中一个累次极限都存在时，它们必相等，但它们存在但不相等，则重极限对另一个累次极限的存在性却不能得出什么结论．推论1。