相似三角形的周长与面积、位似一、一周知识概述（1）相似三角形中对应线段的比的性质；（2）相似多边形的周长的性质（3）相似三角形的面积的性质（4）位似图形的概念、性质与位似变换．二、重难点知识归纳（1）相似三角形对应高（对应中线、对应角平分线，对应中位线）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．运用此性质时应注意以下几点：①面积比=（相似比）2,当已知面积比求相似比时，要进行开方运算：相似比②面积比=（2）相似多边形中，对应三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比相似多边形中对应对角线的比等于相似比；相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．(3) 位似图形必须满足的两个条件：①两个图形是相似图形；②两个相似图形每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或重合．(4) 位似图形的性质位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．(5) 图形的相似与位似图形的区别与联系：两个图形是相似图形，但不一定是位似图形；两个图形是位似图形，它们一定是相似图形．(5)位似变换的点的坐标求法在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或一k三、典型例题讲解例1、如图所示，矩形DEFG内接于△ABC,即点D在AB上，点G在AC上,E、F在BC上,AH丄BC于H,且交DG于N,BC=18cm,AH=12cm,DE:DG=2:3，求矩形DEFG的周长.DG_AN由DG〃BC,可得△ADGs^ABC,所以有恥加，据此比例式可列方程求解.解：由题意可设DE=2x,则DG=3x,NH=2x,•.•DG〃BC,MADGsAABC,DG_AN3x_12-2x.而_乔即丞12~解得x=2,・°・DE=2x=4cm,DG=3x=6cm,・•・矩形的周长为2x(6+4)=20cm.点评：本题的关键是由相似三角形对应高的比等于相似比这一性质建立比例式,得到已知线段与未知线段之间的数量关系,从而通过设未知数,列方程求解,体现了数形结合的思想.例2、如图，AABC是一块直角三角形余料，ZC=90°,AC=6cm,BC=8cm,现要把它加工成正方形零件,试说明哪种加工方法的利用率较高.分析：此题实质上是比较两种图形中正方形的面积的大小，即比较这两个正方形的边长的大小．解：(1)如图(1),设正方形CDEF的边长为xcm.•.•EF〃AC,竺=竺即壬=口ACBCr68x=一(cm)解之得了.⑵如图(2),设正方形DEFG的边长为ycm.作CN丄AB于N,交DG于M.由勾股定理得AB=10cm.-AC^BC=Smsc=-AE、CN由'2，得AC・BC=AB・CN.AC、ECAB-^=4.g(cm)•••DG〃AB,MCDGsACAB.CM_DG饷AB(相似三角形对应高的比等于相似比).即彗嚅•解之，得"禁⑹24>120由于了芥•所以第(1)种加工方法的利用率较高.反思：有关三角形的内接正方形、矩形的问题的解题方法，通常是利用三角形对应高之比等于相似比，当题目中无高时可考虑作适当的垂线段以帮助解题．例3、如图，按要求作出一个位似图形，使新图形与原图形对应线段之比为2：1.解：(1) 任取一点O；(2) 以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD；(3) 分别在射线OA、OB、OC、OD上取点A'、B'、C'、D',使OA:OA=OB':OB=OC':OC=OD':OD=2:1.(4) 连接A'B'、B'C'、C'D'、D'A'得要作位似图形A'B'C'D'.这是一道开放的探究性作图题，位似中心O可以任意确定，还可大致画出两种：①对应点在位似中心异侧，②位似中心在图形内部.例4、将下图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．(1)沿y轴负方向平移1个单位;(2)关于x轴对称;⑶以C点为位似中心，放大到1.5倍.分析：作平移、对称后的图形与原图全等，点的坐标发生变化，可根据平移、对称的特征，求出平移、对称后图形的坐标.位似变换如果以原点为位似中心可按位似变换的点的坐标求法求点的坐标.解：变换后的图形如下图所示.(1)将厶ABC沿y轴负方向平移1个单位后得到△A1B1C1，A1(－5,－1)，B1(0,2)，C1(0,－1).即横坐标不变，纵坐标减小．(2) 将厶ABC关于x轴对称后，得△A2B2C2，A2(—5,0),B2(0,—3),C2(0,0).即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．(3) 将厶ABC以C点为位似中心，放大到1.5倍得AABC,333显然，A3(—5x1.5,0),B3(0,3x1.5),C3(0,0),即A3(—7.5,0)，B3(0,4.5)，C3(0,0)．反思：本题应先按图形变换的要求画出相应的图形,再求出变换后图形的点的坐标,第(3)问可按知识点2的方法求变换后图形的点的坐标,但注意此时的位似中心是原点．。