三角函数之不定积分

三角函数之不定积分当结合一些有用的三角恒等式代换时，可以求出更多含有三角函数型式的积分，下面是几 种常见的积分类型：类型类型 1. 及及sinnxdxcosnxdx（1）n 为正奇数时：可利用双数变换，提出 sinx 或 cosx 后，再利用恒等式或者22sin=1-cosxx22cos=1-sinxx（2）n 为正偶数：利用三角函数半角公式；2 21-cossin=2xx21+cos2cos=2xx【例 1】 求5sin xdx解：原式=4sinsinxxdx=22(sin) sinxxdx=22(1-cos) sinxxdx=24(1-2cos+cos )sinxxdx=24- (1-2cos+cos )(-sin)xxdx令,则=cosx=-sindxdx故 原式=24- (1-2+)d=3521- -++35c=3521-cos +cos+cos+35xxx c【例 2】 求4sin xdx解：原式=22(sin)x dx=2 21-cos()2xdx=11+cos4(1-2cos2 +)42xxdx=1(3-4cos2 +cos4 )8xx dx=1sin4(3 -2sin2 +)+c84xxx类型类型 2 sincosmnxxdx（1）若 m 或 n 为奇数：可利用双数变换，将几次方提出 sinx 或 cosx 后，再利用恒等式或22sin=1-cosxx。

22cos=1-sinxx（2）若 m、n 皆为偶数：利用三角函数半角公式：；2 21-cossin=2xx21+cos2cos=2xx【例 3】 求3-4sincosxxdx解：原式=2-4sincos sinxxdx=2-4(1-cos)cos sinxxdx=2-4(1-cos)cos sinxxdx=-4-2- (cos-cos)(-sin)xxxdx=-4-2- (-)d=-3-11-+3c=311sec-sec +3xx c【例 4】 求24sincosxxdx解： 原式=21-cos21-cos2()22xxdx=(1-cos2 )(1+cos2 )(1+cos2 ) 8xxxdx=21(1-cos 2 )(1+cos2 )d8xxx=21(sin 2 )(1+cos2 )d8xxx=2211(sin 2 )d +(sin 2 )(cos2 )d88xxxxx=3111 sin 2( -sin4 )++164163xxxc类型类型 3 sinsinsincoscoscosmxnxdxmxnxdxmxnxdx、、利用积化和差公式： 1sinsin=[cos( + ) -cos( - ) ]2mxnxm n xm n x1sincos=[sin( + ) +sin( - ) ]2mxnxm n xm n x1coscos=[cos( + ) +cos( - ) ]2mxnxm n xm n x【例 5】 求sin2 cos3xxdx解： 原式=1[sin5 +sin(- )]2xx dx=11-cos5 -cos +102xx c类型类型 4 、、tannxdxcotnxdx利用三角函数恒等式、22tan=sec-1xx22cot=csc-1xx【例 6】 求2tan xdx解： 原式=2(sec-1)xdx=tan - +x x c【例 7】 求3tan xdx解： 原式=2tan (sec-1)xxdx=2(tan sec-tan )xxx dx=2tan sec- tanxxdxxdx=- tandxdx =21+ln|cos |+c2x=21tan+ln|cos |+c2xx类型类型 5 （（n 为偶数或为偶数或 m 为奇数）为奇数）tansecmnxxdx（1）当 n 为偶数时，型可先分出，及双数变换tansecmnxxdx22sec=tan+1xx，再化简。

tan x2=sec xdx（2）当 m 为奇数时，型可先分出及双数变换tansecmnxxdxtan secxx再化简sec=sectanuxduxdx【例 8】求24tansecxxdx解：原式=222(tan)(sec)(sec)xxxdx=222(tan)(1-tan)(sec)xxxdx=242(tan-tan)(sec)xxxdx令，则=tan x2=secdxdx故 原式=24(-)d=3511-+35c=3511tan-tan+35xx c【例 9】求35tansecxxdx解： 原式=24tansec(sec tan)xxxxdx=24(sec-1)sec(sec tan)xxxxdx=64(sec-sec)(sec tan)xxxxdx令，则=secx1-cos2 - (-cos2 )22 1-cos2 +sin2 +24xxx dxxxx c故 原式=64(-)d=7511-+75c=7511sec-sec+75xx c类型类型 6 、、sinnxaxdxcosnxaxdx令；或，=,=cosnu x dvbxdx=sindvbxdx再代入部分积分公式，即( )( )= ( ) ( )-( )( )u x dv xu x v xv x du x【例 10】 求sin2xxdx解： 令，= ,=sin2x dvxdx则1=, =-cos22ddx vx故 原式=1-cos2 - (-cos2 )22xxx dx=1-cos2 +sin2 +24xxx c。