1几何体的一种构造——单纯体(金飞 天津 南开大学 300071) 我们学习了几何学，对几何体有了一定的了解，当我们知道三维空间中只有五种正多面体时，不禁被它的神秘所吸引你是否有一种想进一步了解它的冲动呢？我们下面要研究的是一种特殊的几何体——单纯体单纯体即每个面均为相同多边形的多面体（可以是凹多面体也可是凸多面体） 我们将会证明，只有三角形、四边形和五边形才可能构成单纯体，并着重讨论四边形构成单纯体的情况，包括完成菱形多面体的分类和讨论一般四边形构成单纯体的情况对于筝形构成单纯凸多面体的分类，我们也已研究清楚，另文发表菱形多面体为说明如何用菱形构造单纯体，我们先来了解它的一个特例——正 6 面体（即正方体，它的每个面均是正方形，而正方形是一种特殊的菱形） 如下图，容易知道连接正 6 面体的一组“面对角线”得到一个正 4 面体，因此正 6 面体可以这样构造出：在正 4 面体的每一条棱上均添加一个相同的正方形，使得正方形的对角线与正 4 面体的棱重合类似地，在正 6 面体或正 8 面体的棱上添加适当的菱形可得到菱形 12 面体，如下图所示：同样地，在正 12 面体或正 20 面体的棱上添加适当的菱形可得菱形 30 面体，如下图所示：2将所得多面体列表如下：正多面体 棱上添加 所得多面体 所得多面体的顶点数所得多面体的棱数所得多面体的面数正 4 面体 正方形 正 6 面体 8 12 6正 6 面体 菱形 菱形 12 面体 14 24 12正 8 面体 菱形 菱形 12 面体 14 24 12正 12 面体 菱形 菱形 30 面体 32 60 30正 20 面体 菱形 菱形 30 面体 32 60 30由以上归纳，我们给出一类新的多面体的定义——菱形多面体。
菱形多面体：即每个面均为相同菱形的凸多面体以上的几种菱形多面体人们早已发现，那么菱形多面体有多少种呢？前人并没有论述下面，我们讨论了关于菱形多面体的分类，得到如下定理定理：菱形多面体仅有五种，它们是菱形六面体、菱形十二面体、伴菱形十二面体、菱形二十面体和菱形三十面体 证明：以下分四种情况讨论(一) 若每个顶点周围仅有三个面菱形多面体的每个面均为四边形，则有 4F=2E （1）每个顶点周围有三个面，则有 3V=2E （2）欧拉公式 V—E+F=2 （3）由（1） 、 （2） 、 （3）可得 V=8 、 E=12 、 F=6 对应的多面体为菱形 6 面体如下图： （二）若有一顶点，其周围有四个面则这个顶点周围的四个角的组合有以下几种情况：1. 这个顶点这周围有四个锐角PDAEBF GCH图-13如图-1，易知，A、B、C、D 四点最多再接一个菱形，否则该点周围面角之和将不小于 360度1） 若 A、B、C、D 点都接菱形锐角，即∠EBF= ∠FCG= ∠GDH=∠HAE 均为锐角，由对称性可知 A、B、C、D 共面,且 BC∥AD，如图-2 考察四边形ABCD，AB=BC=CD=AD=AC=BD，易知，四边形 ABCD 不存在，所以这种情况不行。
2） 若 B 点接锐角，C 点接钝角即∠EBF 为锐角，∠FCG 为钝角，由平行线所夹角的关系可得 ∠GDH=∠EBF，∠HAE=∠FCG考察如图-3 多面体，PA=PB=PC=PD，AB=BC=CD=DA=AC，设菱形的长对角线长为 2b，短对角线长为 2a，易计算得， = ，在此条件下，我们通过作图以及模型制作发现这种菱形拼成一个 12ba512面体，而且拼法唯一，我们称之为伴菱形 12 面体3） 若 A、B、C、D 点都接菱形钝角，即∠EBF= ∠FCG= ∠GDH=∠HAE 均为钝角易计算得，该菱形的长短对角线长之比为 ，它拼成菱形 12 面体22．这个顶点周围有三个锐角和一个钝角，如图-4，∠APD 为钝角GFEBCHA图-4DPABCDP图-3BACD图-24（1） 若 A、B、C、D 点都接菱形锐角，即∠EBF= ∠FCG=∠GDH= ∠HAE 均为锐角，由对称性可知 A、B、C、D 四点共面,且 BC∥AD，考察四边形ABCD，AB=BC=CD，BD=AC=AB，易知，四边形 ABCD 不存在，所以此种情况不行2） 若 B、C 点都接菱形钝角，即∠EBF 为锐角，∠FCG 为钝角，易知，∠GDH=∠EBF，∠HAE=∠FCG，BD=FG=AD，EF=AC=AB=BC，考察图-5 多面体，AD=BD，AC=BC ， 则， ≌ ，∴∠ACD=∠BCD,因此，点 D 在平面 ABC 上的投影在∠ACB 的角平分线上，又因该多面体为凸多面体，因此点 D 在平面 ABC 上的投影在面 PBC 的一侧，易知此投影在直线 BC 的左侧，因此与点 D 在平面 ABC 上的投影在∠ACB 的角平分线上矛盾。
3） 若 A、B、C、D 点都接菱形钝角，即∠EBF= ∠FCG= ∠GDH= ∠HAE 均为钝角，设菱形长对角线长为 2b，短对角线长为 2a，考察梯形 ABCD(如图-6) ，AB=BC=CD=2a，AC=BD=AD=2b，易知 AH= 、HD= ，aba而|AC| 2–|AH|2=|CD|2–|HD|2 ，即 2())()b=> = ，ba512易知，此种情况该菱形拼成的多面体为伴菱形 12 面体或菱形 20 面体如下图所示：ABCDP图-5BACD图-6H伴菱形 12 面体菱形 20 面体5（三）若有一顶点，其周围有五个面则这顶点周围的四个角的组合有以下几种情况：1、 这个顶点周围有五个锐角如图-7，顶点 A 周围有五个锐角，若 B、C、F、J、E 均再接锐角，易计算出菱形的长对角线长小于短对角线长，矛盾因此其中有一点周围应再接一个钝角不妨设点 B 周围再接一个钝角若点 C 周围再接一个锐角，考虑 D 点，若 D 点周围不再接菱形了，即 G、H 两点重合，易知 DG//AE,DH//AF.则 AE//AF,矛盾，因此 D 点周围应再接若干个菱形锐角若 D 点周围再接一个锐角，即存在一顶点 D，其周围有三个锐角和一个钝角，由情况（一）中情形 2 的讨论可知，所得多面体应是伴菱形 12 面体或菱形 20 面体。
易知它们都不满足图-7 的结构对于D 点周围再接更多的锐角的情况下面将给出否定回答因此 B、C、F、J 、E 周围应均再接一个菱形钝角据此，易计算出菱形的长短对角线长之比为 此菱形拼成的多面体为菱512形 20 面体或菱形 30 面体2、 这个顶点周围有四个锐角和一个钝角如图-8，A 点周围有四个锐角和一个钝角,为了保证 A 点周围面角之和小于 360 度，则菱形的锐角应小于 60 度，钝角应大于 120 度故 B、C 两点只能再接一个锐角考虑 F 点周围已不能再接菱形了，即 D、E 两点重合易得 EF//AG,FD//AH.则 AG//AH,矛盾A阿 BCDEFGHJCDEAB FGH图-8图-76（四）若有一顶点，其周围有六个面或多于六个面只讨论一顶点周围有六个面的情况其它情况类似讨论1、这个顶点周围有六个锐角如图-9，A 点周围有四个锐角和一个钝角,为了保证 A 点周围面角之和小于 360 度，则菱形的锐角应小于 60 度，钝角应大于 120 度则 B、C 、D 、E、F、G 均只能再接一个菱形锐角易计算出菱形的长对角线长小于短对角线长，矛盾2、 这个顶点周围有五个锐角和一个钝角ABCEFDGH图-10如图-10，A 点周围有五个锐角和一个钝角,易知 B、C 点周围只能再接一个菱形锐角，考虑 F 点，F 点周围不能再接菱形，即 D、E 两点重合，易知 DF//AG、EF//AH.则 AG//AH,矛盾。
综上所述，单纯菱形多面体仅有五种，即菱形 6 面体、菱形 12 面体、伴菱形 12 面体、菱形 20面体、 菱形 30 面体ABCDEFG图-97一般四边形的单纯体引理：简单多面体的三角形面的个数与三面角的个数之和不小于 8证明：设一简单多面体有 x 个三角形面，y 个三面角i 角形面的个数为 ，连接 j 条棱的顶点的个iS数为 ，其中 jT4ij，则： （1）324()iixSExFx（2）jjyTVy（1）+（2）得 ，命题得证48Fx（ +y）命题 1：四边长各不相等的凸四边形不能构成单纯体证明：假设这种单纯体存在，我们考虑其任一顶点周围面的排列情况，容易发现每个顶点周围至少有 4 个面而该单纯体的每个面均为四边形因此与引理矛盾故四边长各不相等的凸四边形不能构成单纯体命题 2：对边长相等，邻边长不等的凸四边形不能构成单纯体证明：同样，我们考虑其任一顶点周围面的排列情况，容易发现这种单纯体不存在命题 3：不存在由凸 n（n 6）边形构成的单纯体证明：设 为连接 i 条棱的顶点个数显然 i 3， )Ti ()iTV每个面包含 n 条棱，因而有 （1）2nFE欧拉公式 （2）VE（3）332()()i iTV由（1） 、 （2）得 ＞ =2E， 与（3）矛盾。
2（ -） +6n由命题 3 的证明过程，我们容易得到下面命题 4 命题 4：一简单多面体必有三角形、四边形、五边形中一种形状的面下面给出，有三边相等的梯形构成单纯凸多面体的一个结果，其中只讨论了一种情形，另一种情形类似讨论 命题 5：有三边相等的梯形不能构成单纯的凸多面体证明：假设这种梯形能构成单纯的凸多面体，考虑梯形（如图-11） （AB=BC=AD＜CD）下面分两种情况讨论B AC D8（一） 若该单纯体每个定点周围只有三个面则有如下等式3V=4F4F=2EV—E+F=2 F=6 、 E=12 、 V=8它是一个六面体如图-12 所示其中 AA1 、B 1C1、CD 为梯形长的底边 BC// B1C1、C 1D1//CD则平面 ABCD 平行于平面 A1B1C1D1，而平面 ADD1 A1 交平面 ABCD 和平面 A1B1C1D1 分别于 AD、A 1D1则ＡＤ// A1D1 矛盾因此这种梯形不能构成单纯六面体二） 若该单纯体存在一顶点，其周围至少有四个面如图-13，A 点满足假设易分析得，每个顶点周围只能是四个锐角、三个锐角和一个钝角两种情形，要不然 B 点周围的面角之和将大于 360 度。
看 C 点周围，∠BCD 为钝角、∠BCG、∠GCI 都是锐角由分析结论可知 C 点周围不能再连接其它面而∠DCG 是钝角，因而矛盾由命题 3 可知，只有三角形、四边形和五边形才能构成单纯体我们主要讨论了四边形构成单纯体的情况，但并未完全解决四边形单纯体的分类问题此外对于五边形，我们知道正五边形能构成正十二面体，而对于其它的五边形能否构成单纯体尚不得而知这些都有待我们以后进一步的研究ＡＢＣＤＥＦＧＨＩABCDA1B1C1 D1图-11图-12图-13。