第一章 函数、极限和持续一、 函数:五大类基本初等函数幂函数,指数函数，对数函数反函数（与原函数有关Y=X相对称）三角函数:正割函数，余割反三角函数：（收敛） （发散) (收敛) （发散）收敛的界线是(-1,1）函数特性:单调性 奇偶性 有界性 周期性二、 极限1、 数列的极限（收敛·发散）收敛数列的性质(唯一·有界·保号·)Pｓ:函数化简到哪一步可以带数值？(化简到只余一种X项或上下X的次数一致）2、 函数的极限·极限存在的充要条件是左右极限都存在并且相等·函数极限的性质（唯一·局部有界·局部保号）·夹逼准则·单调有界函数必有极限（1） 两个重要极限··（2） 无穷小： ·当（或）时的极限为零 高阶，低阶,同阶，等价无穷小的性质：(1)有限个无穷小的和是无穷小．(2）常数与无穷小的乘积是无穷小.(3)有限个无穷小的乘积是无穷小.（４）有界函数与无穷小的乘积是无穷小等价无穷小:·时.······Ps:无穷小可以在使用,无论、还是三、 持续１.持续条件：·自变量变化量趋于零函数值变化量也趋于零·2. 间断点:第一类,左右极限都存在;可去间断点,跳跃间断点第二类无穷间断点，振荡间断点一切初等函数在定义区间内都持续。
闭区间上持续函数的性质：·零点定理:方程根的存在性·有界性和最值定理第二章 导数与微分一、 有关概念1、 导数的两大定义式；··2、 左右导数；·函数在点处可导的充足必要条件是左导数和右导数都存在并且相等3、 几何意义；·切线方程:；·法线方程：.4、 可导与持续的关系·如果函数在点处可导,则在点处必持续，但反之不一定成立,即函数在点处持续，它在该点不一定可导.可以看课本27页注释理解５、１6个基本导数公式，4个求导法则二、 六大类函数求导1、 复合函数求导；2、 隐函数求导；·求导两法1．方程两边对求导，求导时要把看作中间变量． 2. 3、 参数方程所拟定的函数求导；· 4、 幂指函数求导;·复合求导法·对数求导法5、 分段函数求导;6、 抽象函数求导三、 微分1、 概念；可微·可微必可导,可导必可微.·微分公式与导数公式基本相似，只是多了单位ｄx2、 复合函数微分法则第三章 微分中值定理与导数的应用一、 微分中值定理·拉格朗日和罗尔的共同条件： (１）在闭区间上持续； (２)在开区间内可导;罗尔定理：驻点(3）在区间端点处的函数值相等，即， ·即两个值相等 那么在内至少有一点（)，使得．拉格朗日中值定理:内至少有一点() ·即必有一种值在某瞬间变化量为0(拉格朗日是罗尔定理的补充)·两个重要推论: ·如函数在区间上导数恒为零，那么它在区间上是一种常数. ·与在区间内的导数恒有 则这两个函数在 内至多相差一种常数二、 洛必达法则·需要的条件：（１）当零或无穷时，函数及都趋于零;（2）在点的某个去心邻域内及都存在且;(3)存在（或为无穷大）,可应用 两种类型尚有三种应用措施P４6三、 单调性和凹凸性单调性：求单调区间；(核心：找驻点和不可导点)求极值；可导函数的极值点必然是它的驻点.但反过来，函数的驻点却不 一定是极值点。
Pｓ：不可导点也也许是极值点;定义域有限制时，极值也也许在边界上 相应拐点是一种点(Ｘ,Y) 证明不等式；证明方程根的唯一性 极值的第一充足条件(就是鉴定左正右负来鉴定极大极小) 第二充足条件： 在处获得极大值 在处获得极小值 凹凸性: ·（１)若在内，则在上的图形是凹的； （2）若在内，则在上的图形是凸的. 凹凸区间； 拐点：令，解出这方程在区间内的实根,并求出在区间内不存在的点四、 渐近线1、 水平渐近线2、 垂直渐近线3. 斜渐近线若（),,则就是函数的斜渐近线.（变量的趋向也可为或) Ps:即斜渐近线有两种第四章 不定积分一、 原函数与不定积分的概念；·函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间上的不定积分,记作（１3+2）原函数;被积函数；积分变量；x不定积分的性质： · · 二、 计算1、(第一类换元法）凑微分法(12种见高数公式)２、第二类换元法(常用是三角代换，三角代换的目的是化掉根式）(1)当被积函数中具有,可令;（2)当被积函数中具有，可令;（３)当被积函数中具有，可令;３、分部积分法 (一)４小题 (二)2小题？?？？??？？？？???？?？??？ （三)1小题1.2.３. 即 注意事项： 如被积函数为幂函数和 正（余）弦函数/指数函数,分部积分设幂函数为u 目的:降幂 如被积函数为幂函数和对数函数／反三角函数,则设后两者为u 目的:化为ｘ简朴根式的积分第五章 定积分一、 定积分的有关概念和性质 ·什么是定积分 ａ积分下限,b积分上限 叫做积分区间.阐明:定积分的值只与被积函数及积分区间有关推理:在区间上持续,则在上一定可积;若在上可积，则在区间上不一定持续，故函数在区间上持续是在上可积的充足非必要条件．Ps:在区间上有界，且只有有限个间断点,同样可积。
几何意义：面积的代数和 区间上函数时，是由、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积．,曲边梯形位于轴的下方，表达面积的负值．既获得正值又获得负值时，此时定积分表达轴上方图形的面积减去轴下方面积所得之差．比较性质: ·定积分对于积分区间的可加性 定积分的中值定理· （）.(类似拉格朗日） ·称为函数在区间上的平均值．二、 有关计算方面的内容1、 定积分的计算； ·牛顿——莱布尼茨公式 定积分的还原法和分部积分法 · 定积分的换元法 设函数在区间上持续,函数满足条件: (1),； （2)在(或）上具有持续导数，且其值域，则有（原函数的定义域是新元的值域) ·定积分的分部积分法: (参照不定积分的分部积分法) ·定积分的两个简便公式 1. 若在上持续且为奇函数,则；若在上持续且为偶函数,则 第二个看不懂+_+2、 积分上限的函数；（1） 变上限定积分； ·并且设为上的一点 ,在区间上持续 由 变为 （)变dx为dt（2） 求导运算;·1． （）. ·2.对于积分上限函数的复合函数,求导法则可按下述公式进行：积分下限函数： 积分上下限均有函数： 定积分的性质见高数公式3、 广义积分（反常积分)(即在无穷上有确切值)（1） 无穷限的广义积分; ·分为三种状况函数在无穷区间／/上的反常积分:举例：存确切值则收敛，无则发散计算措施同上；（2） 无界函数的广义积分（瑕积分）???？？ 无界间断点，瑕点？？？？?? 4、 用定积分求面积和体积平面图形的面积：·型区域 由y=f(x)与y=ｇ(x)和两条ｘ＝？构成 型区域 由x=f(y)与ｘ=g(y）与两条y=？构成 规定:(）或（） 旋转体的体积： ·1.绕x轴旋转的体积 2.绕ｙ轴旋转的体积 相称于面积乘以高第六章 微分方程一、 有关概念定义:未知函数,未知函一般地，凡表达未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程，数的导数,自变量;阶,解：如果函数满足一种微分方程,则称它是该微分方程的解通解：如果微分方程的解中具有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相似时初始条件： 当自变量取某值时，规定未知函数及其导数取给定值,这种条件称为初始条件．特解:满足给定初始条件的解 二、 四类方程1、 可分离变量的微分方程;2、 一阶线性微分方程;1. 一阶齐次线性： 通解 :2. 一阶非齐次线性的 通解： 区别：Q（X)与否为零3、 二阶常系数齐次线性微分方程·当时,方程 称为二阶常系数齐次线性微 分方程。
定理１ 若 、 是齐次线性方程 的两个解，则 也是它的解，且当 与 线性无关时， 是其通解.定理２ 若为非齐次线性方程的某个特解,为相应的齐次线性方程的通解，则为非齐次线性方程的通解． 二阶常系数齐次线性微分方程的通解考察特性方程，设、为其两个特性根，则1. 不相等的实根(、为任意常数)2. 相等的实根3. 共轭复根 其中，,4、 二阶常系数非齐次线性·这里只考虑这一种形式(、、为常数,为有关的次多项式）.定理１同上定理2定理2:定理1中的的形式一定为(求最后特解也许用到待定系数法),其中即为原非齐次方程中的，是与同次的多项式（一般不相等）,中的是常数，且只能取三个数中的一种,按如下规则取值当特性方程的根是: 非根，k=０； 单根，ｋ＝1; 二重根ｋ=２.(单根是只有一种，与其她跟都不相似的根,二重根是有两个根相似)如:x＾2－１＝0 有两个单根 x＾2=０ 有一各二重根 x＾2(ｘ＾2－１）=0 有一种二重根,两个单根)第八章 多元函数微分学一、二元函数,三元函数二元函数的定义域：平面区域(平面点集）,图形空间曲面三、 求偏导数；求全微分；变量的对称性四、 二元隐函数求偏导数；五、 二元函数的极值。
第九章 二重积分一、 有关概念面积元素，积分区域：平面闭区域曲顶柱体的体积二次积分,累次积分互换积分顺序二、 计算（直角坐标系中的计算）极坐标系第十章 无穷级数一、 无穷级数的定义,分类,常数项无穷级数函数项无穷级数：幂级数 收敛,发散;收敛级数三大性质(1,2,5)；三大级数:调和级数,等比级数(几何级数)，ｐ－级数二、 正项级数审敛法1、比较审敛法;2、比较审敛法的极限形式；3、比值审敛法;阶乘４、根值审敛法三、 交错级数（莱布尼茨定理）四、 绝对收敛,条件收敛。