乘法公式的复习乘法公式的复习一、平方差公式一、平方差公式(a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①① 位置变化，位置变化， x x y yy y x xx x2 2 y y2 2②② 符号变化，符号变化，x x y yx x y yx x 2 2 y y2 2 x x2 2 y y2 2③③ 指数变化，指数变化， x x2 2 y y2 2 x x2 2 y y2 2x x4 4 y y4 4④④ 系数变化，系数变化， 2 2a a b b 2 2a a b b4 4a a2 2 b b2 2⑤⑤ 换式变化，换式变化， xyxyz z m mxyxyz z m m xyxy 2 2z z m m 2 2 x x2 2y y2 2z z m m z z m m x x2 2y y2 2z z2 2 zmzm zmzm m m2 2 x x2 2y y2 2 z z2 2 2 2zmzm m m2 2⑥⑥ 增项变化，增项变化， x x y y z z x x y y z z x x y y 2 2 z z2 2x x y y x x y yz z2 2 x x2 2 xyxy xyxy y y2 2 z z2 2 x x2 2 2 2xyxy y y2 2 z z2 2⑦⑦ 连用公式变化，连用公式变化， x x y y x x y y x x2 2 y y2 2 x x2 2 y y2 2 x x2 2 y y2 2 x x4 4 y y4 4(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第1页(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第1页 ⑧⑧ 逆用公式变化，逆用公式变化， x x y y z z 2 2x x y y z z 2 2x x y y z zx x y y z zx x y y z zx x y y z z 2 2x x2 2y y 2 2z z 4 4xyxy 4 4xzxz完全平方公式完全平方公式活用活用: :把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公把公式本身适当变形后再用于解题这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：1.a b 2ab a2b22.a b 2ab a2b23.a ba b 2 a b2222224.a ba b 4ab22灵活运用这些公式，灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养培养综合运用知识的能力综合运用知识的能力例例 1 1．已知．已知a b 2，，ab 1，求，求a2b2的值例例 2 2．已知．已知a b 8，，ab 2，求，求(a b)2的值解：∵解：∵(a b)2a2 2ab b2(a b)2a2 2ab b2∴∴(a b)2 (a b)24ab∴∴(a b)24ab= =(a b)2∵∵a b 8，，ab 2∴∴(a b)28242 56(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第2页(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第2页 例例 3 3 已知已知a b 4，ab 5，求，求a2b2的值。
的值解：解：a2b2a b2 2ab 42 25 26三、学习乘法公式应注意的问题三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．例例 1 1 计算计算(-2(-2x x2 2-5)(2-5)(2x x2 2-5)-5)分析：分析：本题两个因式中本题两个因式中““-5-5””相同，相同， ““2 2x x2 2””符号相反，符号相反，因而因而““-5-5””是公式是公式( (a a+ +b b)()(a a- -b b)=)=a a2 2- -b b2 2中的中的a a，而“，而“2 2x x2 2”则是公式中的”则是公式中的b b．．例例 2 2 计算计算(-(-a a2 2+4+4b b) )2 2分析：运用公式分析：运用公式( (a a+ +b b) )2 2= =a a2 2+2+2abab+ +b b2 2时，“时，“- -a a2 2”就是公式中的”就是公式中的a a，，““4 4b b”就是公式中的”就是公式中的b b；若将题目变形为；若将题目变形为(4(4b b- -a a2 2) )2 2时，则“时，则“4 4b b”是公”是公式中的式中的a a，而“，而“a a2 2”就是公式中的”就是公式中的b b．（解略）．（解略）（二）、注意为使用公式创造条件（二）、注意为使用公式创造条件例例 3 3 计算计算(2(2x x+ +y y- -z z+5)(2+5)(2x x- -y y+ +z z+5)+5)．．分析：分析： 粗看不能运用公式计算，粗看不能运用公式计算， 但注意观察，但注意观察， 两个因式中的两个因式中的 ““2 2x x”” 、、““5 5”两项同号，“”两项同号，“y y”、“”、“z z”两项异号，因而，可运用添括号的技”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．巧使原式变形为符合平方差公式的形式．例例 5 5 计算计算(2+1)(2(2+1)(22 2+1)(2+1)(24 4+1)(2+1)(28 8+1)+1)．．分析：分析： 此题乍看无公式可用，此题乍看无公式可用， “硬乘”“硬乘” 太繁，太繁， 但若添上一项但若添上一项 （（2-12-1）） ，，则可运用公式，使问题化繁为简．则可运用公式，使问题化繁为简．(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第3页(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第3页 （三）、注意公式的推广（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由计算多项式的平方，由( (a a+ +b b) )2 2= =a a2 2+2+2abab+ +b b2 2，可推广得到：，可推广得到：( (a a+ +b b+ +c c) )2 2= =a a2 2+ +b b2 2+ +c c2 2+2+2abab+2+2acac+2+2bcbc．．可叙述为：可叙述为：多项式的平方，多项式的平方，等于各项的平方和，等于各项的平方和，加上每两项乘积加上每两项乘积的的 2 2 倍．倍．例例 6 6 计算计算(2(2x x+ +y y-3)-3)2 2解：原式解：原式=(2=(2x x) )2 2+ +y y2 2+(-3)+(-3)2 2+2+2··2 2x x··y y+2+2··2 2x x(-3)+2(-3)+2··y y(-3)(-3)=4=4x x2 2+ +y y2 2+9+4+9+4xyxy-12-12x x-6-6y y．．（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例例 7 7已知：已知：x x+2+2y y=7=7，，xyxy=6=6，求，求( (x x-2-2y y) )2 2的值．的值．例例 1010 计算计算(2(2a a+3+3b b) )2 2-2(2-2(2a a+3+3b b)(5)(5b b-4-4a a)+(4)+(4a a-5-5b b) )2 2分析：分析： 此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算， 但逆但逆用完全平方公式，则运算更为简便．用完全平方公式，则运算更为简便．四、怎样熟练运用公式：四、怎样熟练运用公式：熟悉常见的几种变化熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．常见的几种变化是：常见的几种变化是：(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第4页(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第4页 1 1、位置变化、位置变化如（如（3 3x x+5+5y y）） （（5 5y y－－3 3x x）交换）交换 3 3x x和和 5 5y y的位置后即的位置后即可用平方差公式计算了．可用平方差公式计算了．2 2、符号变化、符号变化如（－如（－2 2m m－－7 7n n）） （（2 2m m－－7 7n n）变为－（）变为－（2 2m m+7+7n n）） （（2 2m m－－7 7n n）） 后就可用平方差公式求解了后就可用平方差公式求解了 （思考：（思考： 不变或不这样变，不变或不这样变， 可以吗？）可以吗？）3 3、、 数字变化数字变化如如 98×102，98×102， 99992 2，， 91912 2等分别变为等分别变为 （（100100－－2 2）） （（100+2100+2）） ，，（（100100－－1 1））2 2，， （（90+190+1））2 2后就能够用乘法公式加以解答了．后就能够用乘法公式加以解答了．nnn4 4、系数变化、系数变化如（如（4 4m m+ +n）） （（2 2m m－－ ）变为）变为 2 2（（2 2m m+ + ）） （（2 2m m－－ ））2444后即可用平方差公式进行计算了．后即可用平方差公式进行计算了．（四）（四） 、注意公式的灵活运用、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，有些题目往往可用不同的公式来解， 此时要选择最恰当的公式以此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（使计算更简便．如计算（a a2 2+1+1））2 2·（·（a a2 2－－1 1））2 2，若分别展开后再相乘，，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．则非常简便．即即原式原式=[=[（（a a2 2+1+1）） （（a a2 2－－1 1））] ]2 2= =（（a a4 4－－1 1））2 2= =a a8 8－－2 2a a4 4+1+1．．对数学公式只会顺向对数学公式只会顺向（从左到右）（从左到右）运用是远远不够的，运用是远远不够的，还要注意还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（逆向（从右到左）运用．如计算（ 1 1－－21）） （（1 1－－31）） （（1 1－－41）…（）…（1 12221－－91）） （（1 1－－10）） ，， 若分别算出各因式的值后再行相乘，若分别算出各因式的值后再行相乘， 不仅计算繁难，不仅计算繁难，22而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．式，则可巧解本题．11111即原式即原式= =（（1 1－－1）） （（1+1+ ）） （（1 1－－ ）） （（1+1+ ）×…×（）×…×（ 1 1－－）） （（1+1+））1022331032491111111= =1×× ×× ×× ×…××…××× = = ××= =．．2233101021020有时有些问题不能直接用乘法公式解决，有时有些问题不能直接用乘法公式解决， 而要用到乘法公式的变而要用到乘法公式的变2 22 2式，式， 乘法公式的变式主要有：乘法公式的变式主要有：a a2 2+ +b b2 2= = （（a a+ +b b））－－2 2abab，，a a2 2+ +b b2 2= = （（a a－－b b））+2+2abab等．等．(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第5页(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第5页 用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．如已知如已知m m+ +n n=7=7，，mnmn= =－－1818，求，求m m2 2+ +n n2 2，，m m2 2－－mnmn+ +n n2 2的值．的值．面对这样的问题就可用上述变式来解，面对这样的问题就可用上述变式来解，即即m m2 2+ +n n2 2= =（（m m+ +n n））2 2－－2 2mnmn=7=72 2－2×（－－2×（－1818））=49+36=85=49+36=85，，m m2 2－－mnmn+ +n n2 2= = （（m m+ +n n））2 2－－3 3mnmn=7=72 2－3×（－－3×（－1818））=103=103．．下列各题，难不倒你吧？！下列各题，难不倒你吧？！2 22 2111 1、若、若a a+ +1=5=5，求（，求（1 1））a a+ +，， （（2 2）） （（a a－－ ）） 的值．的值．aaa22 2、求（、求（2+12+1）） （（2 22 2+1+1）） （（2 24 4+1+1）） （（2 28 8+1+1）） （（2 21616+1+1）） （（2 23232+1+1）） （（2 26464+1+1））+1+1的末位数字．的末位数字．（答案：（答案：1.1.（（1 1））2323；； （（2 2））2121．．2. 62. 6 ））五、乘法公式应用的五个层次五、乘法公式应用的五个层次乘法公式：乘法公式：(a(a＋＋b)(ab)(a－－b)=ab)=a2 2－－b b2 2，，(a(a±±b)=ab)=a2 2±±2ab2ab＋＋b b2 2，，(a(a±±b)(ab)(a2 2±±abab＋＋b b2 2)=a)=a3 3±±b b3 3．．第一层次──正用第一层次──正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．例例 1 1 计算计算 ( (－－2x2x－－y)(2xy)(2x－－y)y)．．．．(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第6页(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第6页 第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．例例 2 2 计算计算第三层次──活用第三层次──活用 ：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．例例 3 3 化简：化简：(2(2＋＋1)(21)(22 2＋＋1)(21)(24 4＋＋1)(21)(28 8＋＋1)1)＋＋1 1．．分析直接计算繁琐易错，分析直接计算繁琐易错， 注意到这四个因式很有规律，注意到这四个因式很有规律， 如果再增如果再增添一个因式“添一个因式“2 2－－1 1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．解原式解原式=(2=(2－－1)(21)(2＋＋1)(21)(22 2＋＋1)(21)(24 4＋＋1)(21)(28 8＋＋1)1)＋＋1 1=(2=(22 2－－1)(21)(22 2＋＋1)(21)(24 4＋＋1)(21)(28 8＋＋1)1)＋＋1=21=21616．．第四层次──变用第四层次──变用 ：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如的一些恒等变形式，如a a2 2＋＋b b2 2=(a=(a＋＋b)b)2 2－－2ab2ab，，a a3 3＋＋b b3 3=(a=(a＋＋b)b)3 3－－3ab(a3ab(a＋＋b)b)等，则求解十分简单、明快．等，则求解十分简单、明快．例例 5 5 已知已知 a a＋＋b=9b=9，，ab=14ab=14，求，求 2a2a2 2＋＋2b2b2 2的值．的值．解：解：∵∵a a＋＋b=9b=9，，ab=14ab=14，∴，∴2a2a2 2＋＋2b2b2 2=2[(a=2[(a＋＋b)b)2 2－－2ab]=2(92ab]=2(92 2－－2 2··14)=10614)=106，，第五层次──综合后用第五层次──综合后用 ：将：将(a(a＋＋b)b)2 2=a=a2 2＋＋2ab2ab＋＋b b2 2和和(a(a－－b)b)2 2=a=a2 2－－2ab2ab＋＋b b2 2综合，综合，可得可得 (a (a＋＋b)b)2 2＋＋(a(a－－b)b)2 2=2(a=2(a2 2＋＋b b2 2) )；；(a(a＋＋b)b)2 2－－(a(a－－b)b)2 2=4ab=4ab；；(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第7页(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第7页 等，等， 合理地利用这些公式处理某些问题显得合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．新颖、简捷．例例 6 6 计算：计算：(2x(2x＋＋y y－－z z＋＋5)(2x5)(2x－－y y＋＋z z＋＋5)5)．．解：原式解：原式= =[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)][(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2 2- -[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)][(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2 2=(2x=(2x＋＋5)5)2 2－－(y(y－－z)z)2 2=4x=4x2 2＋＋20x20x＋＋2525－－y y2 2＋＋2yz2yz－－z z2 2乘法公式的使用技巧：乘法公式的使用技巧：①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。
负号多带来的麻烦例例1 1、、运运用乘法公式计算：用乘法公式计算：（（1 1））(-1+3x)(-1-3x)(-1+3x)(-1-3x)；；（（2 2））(-2m-1)(-2m-1)2 2②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显列顺序，可以使公式的特征更加明显. .例例2 2、、运运用乘法公式计算：用乘法公式计算：1 11 11 1a a（（1 1））( ( a-a- b )(-b )(- b -b - ); );（（2 2））(x-1/2)(x(x-1/2)(x2 2+1/4)(x+1/2)+1/4)(x+1/2)3 34 44 43 3③逆用公式③逆用公式将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a a2 2-b-b2 2 = (a+b)(a-b) = (a+b)(a-b)，逆用积的乘方公式，得，逆用积的乘方公式，得 a an nb bn n=(ab)=(ab)n n, ,等等，在解等等，在解1414(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第8页(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第8页 题时常会收到事半功倍的效果。
题时常会收到事半功倍的效果例例3 3、、计计算：算：（（1 1）） (x/2+5)(x/2+5)2 2-(x/2-5)-(x/2-5)2 2; ;（（2 2）） (a-1/2)(a-1/2)2 2(a(a2 2+1/4)+1/4)2 2(a+1/2)(a+1/2)2 2④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算计算：计算： （（1 1））(x+y+1)(1-x-y);(x+y+1)(1-x-y);（（2 2））(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).先提公因式，再用公式先提公因式，再用公式yy例例 2.2. 计算：计算：8x 4x 24简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x x 的系数成的系数成倍数，倍数，y y 的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多y项式中各项提公因数项式中各项提公因数 2 2 出来，变为出来，变为24x ，则可利用乘法公式。
则可利用乘法公式4三三. . 先分项，再用公式先分项，再用公式例例 3.3. 计算：计算：2x 3y 22x 3y 6简析：简析： 两个多项中似乎没多大联系，两个多项中似乎没多大联系， 但先从相同未知数的系数着但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，手观察，不难发现，x x 的系数相同，的系数相同，y y 的系数互为相反数，符合乘法的系数互为相反数，符合乘法公式进而分析如何将常数进行变化若将公式进而分析如何将常数进行变化若将 2 2 分解成分解成 4 4 与与2的和，的和，将将 6 6 分解成分解成 4 4 与与 2 2 的和，再分组，则可应用公式展开的和，再分组，则可应用公式展开完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第9页(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第9页 四四. . 先整体展开，再用公式先整体展开，再用公式例例 4.4. 计算：计算：(a 2b)(a 2b 1)简析：简析：乍看两个多项式无联系，乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，但把第二个整式分成两部分，即即(a 2b) 1，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。
再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开六六. . 先用公式，再展开先用公式，再展开例例 6.6. 计算：计算：11 1 1 1 11… 12232421022121 简析：第一个整式简析：第一个整式12可表示为可表示为1 ，由简单的变化，，由简单的变化，22可看出整式符合平方差公式，可看出整式符合平方差公式， 其它因式类似变化，其它因式类似变化， 进一步变换成分数进一步变换成分数的积，化简即可的积，化简即可完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第10页(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结,推荐文档--第10页 。