三角形三角形“四心四心”的向量表的向量表示示 一、一、 外心外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心外心 证明外心定理证明外心定理证明证明: 设设AB、、BC的中垂线交于点的中垂线交于点O，， 则有则有OA=OB=OC，， 故故O也在也在AC的中垂线上，的中垂线上， 因为因为O到三顶点的距离相等，到三顶点的距离相等， 故点故点O是是ΔABC外接圆的圆心．外接圆的圆心． 因而称为外心．因而称为外心．OO 若若 为内一点，内一点，则 是是 的（的（ ）） A．内心．内心 B．外心．外心 C．垂心．垂心 D．重心．重心 二、垂心二、垂心ABCABCABC三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心垂心。
DEF证明证明: AD、、BE、、CF为为ΔABC三条高，三条高， 过点过点A、、B、、C分别作对边的平行线分别作对边的平行线 相交成相交成ΔA′B′C′，，AD为为B′C′ 的中垂线；同理的中垂线；同理BE、、CF也分别为也分别为 A′C′、、A′B′的中垂线，的中垂线， 由外心定理，它们交于一点，由外心定理，它们交于一点， 命题得证．命题得证．证明垂心定理证明垂心定理A′B′C′ 例例1．如．如图，，AD、、BE、、CF是是△△ABC的三条高，的三条高， 求求证：：AD、、BE、、CF相交于一点相交于一点ABCDEFH又又∵∵点点D在在AH的延的延长线上，上，∴∴AD、、BE、、CF相交于一点．相交于一点． 证：证：设设BE、、CF交于一点交于一点H，， 垂心垂心 ABCO例例2．已知．已知O为⊿ ⊿ABC所在平面内一点，且所在平面内一点，且满足足:求求证：： 1.O是是的垂心的垂心是是△△ABC的的边BC的高的高AD上的任意向量，上的任意向量，过垂心垂心. 例例3．． O是平面上一定点，是平面上一定点，A、、B、、C是平面上不共是平面上不共线的三个点，的三个点， 动点点 P 满足足则P的的轨迹一定通迹一定通过△△ABC的的 _______解解: 例例4.（（2005全国全国ⅠⅠ））点点O是是ΔΔABC所在平面上一点，所在平面上一点， 若若 ，， 则点则点O是是ΔΔABC的（的（ ））（（A）三个内角的角平分线的交点）三个内角的角平分线的交点（（B）三条边的垂直平分线的交点）三条边的垂直平分线的交点（（C）三条中线的交点）三条中线的交点（（D）三条高线的交点）三条高线的交点 5. (2005湖南湖南) P是是△△ABC所在平面上一点，若所在平面上一点，若 则则P是是△△ABC的（ 的（ ）） A．外心 ．外心 B．内心 ．内心 C．重心 ．重心 D．垂心．垂心 三、重心三、重心ABCABCABC三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心重心。
证明重心定理证明重心定理 E F D G 3. O是是的重心的重心为为的重心的重心.是是BC边上的中上的中线AD上的任意向量，上的任意向量，过重心重心.2.在在中，中，给出出等于已知等于已知AD是是中中BC边的中的中线; 例例1．． P是是△△ABC所在平面内任一点所在平面内任一点.G是是△△ABC的重心的重心证明明: ∵∵G是是△△ABC的重心的重心即即由此可得由此可得（反之亦然（（反之亦然（证略））略））思考：思考： 若若O为△△ABC外心外心，，G是是△△ABC的重心，的重心，则O为为△△ABC的内心、垂心呢？的内心、垂心呢？ 例例2．证明：三角形．证明：三角形重心重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍． A B C E F D G证：：设∵∵A, G, D共共线，，B, G, E共共线．．∴∴可可设即：即：AG = 2GD 同理可得：同理可得：AG = 2GD , CG = 2GF ．． 重心重心 例例2．证明：三角形．证明：三角形重心重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍． A B C E F D G 重心重心想想看？想想看？另证另证: 四、内心四、内心ABCABCABCABCABC三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。
内心证明内心定理证明内心定理证明证明 : : 设设∠∠A A、、∠∠C C的平分线相交于的平分线相交于I,I, 过过I I作作ID⊥BCID⊥BC，，IE⊥ACIE⊥AC，， IF⊥AB IF⊥AB，则有，则有IE=IF=IDIE=IF=ID．． 因此因此I I也在也在∠∠C C的平分线上，的平分线上， 即三角形三内角平分线即三角形三内角平分线 交于一点．交于一点．I II I E F D 1.设设a,b,c是三角形的三条边长，是三角形的三条边长，O是三角形是三角形ABC内心内心的的 充要条件是充要条件是ACBO Oab bc c 2003天津理科高考题 2. O是平面上一定点，是平面上一定点，A、、B、、C是平面上不共线的三个点，是平面上不共线的三个点， 动点动点P P满足满足 则则P的轨迹一定通过的轨迹一定通过△△ABC的（的（ ）） A．．外心外心 B．．内心内心 C．．重心重心 D．．垂心垂心 3.（（20062006陕西）陕西）已知非零向量已知非零向量 与与 满足满足 则则△△ABCABC为（为（ ）） A A．三边均不相等的三角形．三边均不相等的三角形 B B．直角三角形．直角三角形 C C．等腰非等边三角形．等腰非等边三角形 D D．等边三角形．等边三角形 法一抓住了该题选择项的特点而采用了法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法验证法,是处理本题的巧妙方法；法二要求学生能领会一些是处理本题的巧妙方法；法二要求学生能领会一些向向量表达式与三角形某个量表达式与三角形某个“心心”的关系，的关系，如如 所在直线一定通过所在直线一定通过△ABC△ABC的内心；的内心； 所在直所在直线过线过BCBC边的中点，从而一定通过边的中点，从而一定通过△ABC△ABC的重心；的重心； 所在直线一定通过所在直线一定通过△ABC△ABC的垂心等的垂心等. . 【【总结总结】】(1).是用数量积给出的三角形面积公式是用数量积给出的三角形面积公式; (2).则是用向量坐标给出的三角形面积公式则是用向量坐标给出的三角形面积公式. 4. 在在△△ABC中中: (1)若若CA＝＝a，，CB＝＝b，求证，求证△△ABC的面积的面积 (2)若若CA＝＝(a1，，a2 )，，CB＝＝(b1，，b2 )，， 求证：求证：△△ABC的面积的面积 解解: ABC P 思考思考: 如如图，，设点点O在在内部，且有内部，且有则 的面的面积与与的面的面积的比的比为___________．． (2004年全国奥赛题年全国奥赛题)DEABC O 思考思考: 如如图，，设点点O在在内部，且有内部，且有则 的面的面积与与的面的面积的比的比为___________．． (2004年全国奥赛题年全国奥赛题)E 思考思考: 如如图，，设点点O在在内部，且有内部，且有则 的面的面积与与的面的面积的比的比为___________．． (2004年全国奥赛题年全国奥赛题)ED 。