几何中的计数问题（一）几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、 数综合图 形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、 思考问题的良好习惯， 逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力 .一、数线段 我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点 . 线段是 组成三角形、 正方形、长方形、多边形等最基本的元素 .因此，观察图形中的 线段， 探寻线段与线段之间、 线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分 析图形是很重要的 .例 1 、数一数下列图形中各有多少条线段 .分析：要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照 一定的顺 序、按照一定的规律去观察、去数 .这样才不至于杂乱无章、毫无头 绪 .我们可以按照两种 顺序或两种规律去数 .第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（ 1）中，线段最左边的端点是 A,即以A为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC —条，所 以上图（1）中共有 线段2 + 1=3条.同样按照从左至右的顺序观察图（2） 中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、 BD两条，以C为左端点的线段有CD —条.所以上页图（2）中共有线段为3 +2+1=6条.第二种：按照基本线段多少的顺序去数 . 所谓基本线段是指—条大线段中 若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n + 1条小线段，这每条小 线段称为基本线段•如上页图（2）中，线段AD上有两个分点B、C,这时 分点B、C把AD分成AB、BC、CD三 条基本线段，那么线段AD总共有多少条 线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条 基本线段的是： AC、BD 二 条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段 3 + 2 + 1=6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D，这样分 点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总 共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有 4条基本线段，其次是 包含有二条 基本线段的有 3条，然后是包含有三条基本线段的有 2 条，最后 是包含有4条基本线段的 有一条，所以线段AE 上总 共有线段是4+3 + 2+ 1 =10 条.解：① 2 + 1=3 （条）.②3 + 2 + 1=6 （条）.③4+3十2十1=10 （条）•小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数 出所有线段，必须按照一定顺序有规律的 去数，这个规律就是：线段的总条数 等于从 1 开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加 1或者是线段所有点数（包括线段的两个 端点）减1.也就是基本线段的条数•例如右图中线段AF上所有点数（包括两 个端点A、F）共有6个，所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是6 -1=5,或者线段AF 上的分点有4个（B、C、D、E）.所以从1开始的连续 自然数的和中最大的加数是4+1=5.也就是线段AF上基 本线段（AB、BC、 CD、DE、EF）的条数是5.所以线段AF 上总共有线段的条数是5+4 +3 + 2 + 1 =15（条）.二、数角 例 2、数出右图中总共有多少个角分析：在Z AOB内有三条角分线0C1、0C2、OC3,ZAOB被这三条角分线分成4 个基本角，那么Z AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是 包含有2个基本角组 成的角有3个（即ZAOC2\ZC1OC3、ZC2OB），然后是 包含有3个基本角组成的角有2个（即Z AOC3\Z C1OB），最后是包含有4 个基本角组成的角有1个（即Z AOB ），所以Z AOB内总共有角： 4+3+2+1=10（个）.解：4+3+2+1=10（个）. 小结：数角的方法可以采用例 1 数线段的方法来 数，就是角的总数等于从 1开始的几个连 续自然数的和，这个和里面的最大的 加数是角分线的条数加 1，也就是基本角的个数 .例 3 、数一数右图中总共有多少个角？小学奥数专题之 几何中的计数问题（一） 解：因为Z AOB内角分线0C1、0C2? 0C9共有9条，即9+1=10个基本角.所以总共有角： 10+9+8+? +4+3+2+1=55（个） .三、数三角形例 4 、如右图中，各个图形内各有多少个三角形？（2）分析：可以采用类似例1数线段的两种方法来数，如图（2）：第一种方 法：先数以AB为一条边的三角形共有：△abd、aabe、aabf、aabc四 个三角形；再数以AD为一条边的三角形共有：AADE '△ADF'AADC 三个三角形；以AE为一条边的三角形共有：AAEF x △AEC二个三角 形； 最后以 AF 为一条边的三角形共有 △ AFC 一个三角形 .所以三角形 的个数总共有 4+3+2+1=10.第二种方法：先数图中小三角形共有： △abd、Aade、Aaef、Aafc四个三角形.再数由两个小三角形组合在一 起的三角形共有：Aabe x △adf x △aec三个三角形，以三个小三角形 组合在一起的三角形共有：AABF x △adc二个三角形，最后数以四个小 三角形组合在一起的只有△ ABC 一个.所以图中三角形的个数总共有： 4+3+2+1=10（个） .解：① 3+2+1=6 （个）② 4+3+2+1=10（个） . 答：图（ 1）及图（ 2）中各有三角形分别是 6个和 10个. 小结：计算三角形的总数也等于从 1 开始的几个连续自然数的和， 其中最大的加数就是三 角形一边上的分点数加 1，也就是三角形这边上分成的 基本线段的条数 .例 5、如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？ 分析：在数 的过程中应充分利用上几例总结的规律， 明确数什么？怎么数？这样两个问 题 .数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数；算：就是以基本线 段（基本三角形） 条数为最大加数的从 1开始的连续几个自然数的和 .① 要数多少条线段：先看线段AB、AD'AE、AF'AC、上各有2个分点，各 分成3条基本线段，再看BC、MN ' GH这3条线段上各有3个分点，各分成 4条基本线段 .所以 图中总共有线段是：（3+2+1）X5+（4+3+2+1）X3=30+30=60 （条）.② 要数有多少个二角形，先看在 AAGH中，在GH上有3个分点，分成基 本小三角形有4个.所以在△ AGH中共有三角形4+3+2+1=10 （个）.在AAMN 与厶ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ ABC中三角形个数总共： （4+3+2+1）X3=10X3=30 （个）.解：①在Aabc中共有线段是：（3+2+1）X5+（4+3+2+1）X3=30+30=60 （条）②在 △ABC 中共有三角形是：（4+3+2+1）X 3=10X3=30 （个）.例 6、如右图中，共有多少个角？3分析：本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决 .Z1'Z2、Z3、Z4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有： Z1与Z2'Z2与 Z 3'Z 3与Z 4、Z 4与Z 1,共4个角•由3个基本角 组成的角有：Z 1'Z2 与Z 3; Z2'Z3 与Z 4;Z 3、Z4 与Z 1 ； Z4'Z1与Z 2,共4个角，由4个基本角组成的角只有一个.所以图中总共有角是：4X3+1=13 （个）•解：所以图中共有角是： 4X3+1=13 （个）•小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本 角，那么它上面角的总数是nX（ n－ 1）+1.课后练习题1、数一数下图中，各有多少条线段？2、数一数下图中各有多少角？ClCl3C4C9BB3、数一数下图中，各有多少条线段？4、数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？课后练习题参考答案1、 ①在AB线段上有4个分点，所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1=15（条）②段AB上有3个分点，所以它上面线段的总条数为： 4+3+2+1=10（条） .段CD上有4个分点：所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1=15 （条） .整个图（2）共有线段10+15=25 （条）.③段AB上有3个分点，它上面线段的条数为：4+3+2+1=10 （条）. 段CD上有2个分点，它上面线段的条数为：3+2+1=6 （条）. 段EF上有2个分点，它上面线段的条数为6条.所以图（3）上 总共有线段 10+6+6=22（条） .2、 ①在Z AOB内有4条角分线，所以共有角：5+4+3+2+1=15 （个）；②在Z AOB内有9条角分线，所以共有角：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55 （个）；③ 周角内含有6个基本角，所以共有角：6X（6-1）+1=31 （个）.3、 心（3+2+1）X 7=42;倉（6+5+4+3+2+1）X4+（4+3+2+1）X7 =21 X4+10X7=84+70=154.4、 ①有线段：（4+3+2+1）X3+ （3+2+1）X5 =30+30=60 （条）有三角形： （4+3+2+1） X 3=30（个）；②有线段：（5+4+3+2+1）+5X2+ （2+1） =15+10+3=28 （条）有三角形： （5+4+3+2+1） X 2+5=15X2+5=35 （个）.几何中的计数问题（一）几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角 形、数综合图 形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观 察、思考问题的良好习惯， 逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力 .一、数线段 我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点 .线段是 组成三角形、 正方形、长方形、多边形等最基本的元素 .因此，观察图形中的 线段， 探寻线段与线段之间、 线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、 分析图形是很重要的 .1、数一数下列图形中各有多少条线段 .二、数角 例 2 、数出右图中总共有多少个 角.例 3 、数一数右图中总共有多少个角？小学奥数专题之 几何中的计数问题（一）三、数三角形例 4 、如右图中，各个图形内各有多少个三角形？1 D E F (⑵例 5 、如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？课后练习题DADEEE仁数•数下图中，各有多少条线段?2、数一数下图中各有多少角？AClClIT9C3B3、数一数下图中，各有多少条线段？4、数一数下图中，各有多少条线段，各有多少 个三角形？。