3-2-7.扶梯问题.题库 教师版 page 1 of 4 扶梯问题 教学目标 1．对扶梯问题中顺(逆) 扶梯速度、扶梯速度、人的速度的理解 2．在扶梯的相遇与追及问题中引入消元思想 3．解决行程问题时画线段图可以帮助解 题 知识精讲 一、扶梯问题说明 扶梯问题与流水行船问题十分相像，区 别只在与这里的速度并不是我 们常见的“千米每小时”，或 者“米每秒”，而是“ 每分钟走多少个台阶”，或是“ 每秒钟走多少个台 阶”从而在扶梯问题中“总路程”并 不是求扶梯有多少“千米” 或者多少“ 米”，而是求扶梯的“ 静止 时可见台阶总数” 二、扶梯问题解题关键 1、当人顺着扶梯的运动方向走台 阶时，相当与流水行船中的“ 顺水行驶”， 这里的水速就是扶梯自身的 台阶运行速度有：人的速度+ 扶梯速度=人在扶梯上的 实际 速度 扶梯静止可见台阶总数=时间×人速+ 时间×扶梯速=人走的台阶数+ 扶梯自动运行的台阶数 2、当人沿着扶梯逆行时，有：人的速度-扶梯速度= 人在扶梯上的实际速度 扶梯静止可见台阶总数=时间×人速- 时间×扶梯速=人走的台阶数- 扶梯自动运行的台阶数。
【例 1】 小明站着不动乘电动扶梯上楼需 秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需 12 秒，那 30 么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？ 【【【【 电梯每秒完成 ， 电梯加小明徒步上楼每秒完成 ，小明徒步上楼每秒完成 ，所以 1 30 1 12 1 1 1 12 30 20 小明徒步上楼需 (秒). 1 1 20 20 【巩固】 如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需 12 秒到达楼上，如果在乘电动扶梯的同时小明逆着 向下走需 秒到达楼下（千万别模仿！） ，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少 24 秒？ 【【【【 小明徒步走的速度是 ， 所以小明徒步上楼需 ( 秒). 1 1 1 ( ) 2 12 24 16 1 1 16 16 【例 2】 在商场里，小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下 级台阶到达底部，然后从底部上 级台 120 90 阶回到顶部．自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他 上的台阶数的 倍．则该自动楼梯从底到顶的台阶数为 ． 23-2-7.扶梯问题.题库 教师版 page 2 of 4 【【【【 本题要知道向上与向下的时间之比( 即是电梯运行时间的比)，可用量化思想． ， 设该 自动楼梯从底到顶的台阶数为 级，自 动楼梯的速度为 级/单位时 120 90 : 60 : 90 2 : 3 2 1 x y 间．则有： ，解得 ．即 该自动 楼梯从底到顶的台阶数为 108 级． 2 120 3 90 x y x y 108 6 x y 【巩固】 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走， 男孩由上往下走，结果女孩走了 级到达楼上，男孩走了 级到达楼下．如果男孩单位时间 40 80 内走的扶梯级数是女孩的 倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？ 2 【【【【 当电梯静止时，无论 是由下往上，还是由上往下，两个孩子走的阶数都是电梯的可见阶数．当电梯 运行时，女孩所走的 阶数与电 梯同时间内所走的阶数之和等于 电梯可见阶数，男孩所走的 阶 数与 电梯同时间内所走的阶数之差也等于电梯可见阶数. 因为男孩的速度是女孩速度的 2 倍，所以男孩走 80 阶到达楼下与女孩走 40 阶到达楼上所用时间 相同，则在这段时间内，电梯所走的阶数也相同.有： 电梯走的阶数 电梯走的阶数， 40 80 可得电梯走的阶数为 （阶），所以 电梯可见阶 数为 （阶）. (80 40) 2 20 40 20 60 【巩固】 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走， 男孩由上往下走，结果女孩走了 40 级到达楼上，男孩走了 80 级到达楼下．如果男孩单位时间 内走的扶梯级数是女孩的 3 倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？ 【【【【 男孩与女孩走完电梯的时间比为： ． 80 40 : 2 : 3 3 1 所以有 电梯可见部分级数 电梯运行速度 80 2 电梯可见部分级数 电梯运行速度 40 3 解得 电梯运行速度 (级) ． 8 所以电梯可见部分级数为： (级) ． 80 2 8 64 【点评】本题的关键是求出男孩和女孩走完电梯的时间比，另外 结合二元一次方程比较容易理解数量关 系．请对比原例题，体会其中的数量关系． 【例 3】 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级 台阶，那么他走过 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 级台阶到达 20 30 地面．从站台到地面有 级台阶． 【【【【 小强每秒走一阶，需要 秒；每秒走 2 阶 ，需要 秒． 20 1 20 30 2 15 设电梯每秒钟需要走 阶，由 电梯长度可得： ，解得 ． x 20 (1 ) 15 (2 ) x x 2 x 那么扶梯长度为 （阶）． 20 (1 2) 60 本题非常类似于“ 牛吃草问题”，如将题目改为：“ 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自 动扶梯．小 强乘坐扶梯时，如果每秒向上 迈一级台阶， 那么他走过 20 秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 15 秒到达地面． 问：从站台到3-2-7.扶梯问题.题库 教师版 page 3 of 4 地面有多少级台阶？” 采用牛吃草问题的方法，电梯 秒内所走的阶数等于小强多走的阶数： 20 15 5 阶，电梯的速度 为 阶/ 秒，扶梯长度为 （阶）． 2 15 1 20 10 10 5 2 20 (1 2) 60 【巩固】 在地铁车站中，从站台到地面架设有向上的自动扶梯．小强想逆行从上到下，如果每秒向下迈 两级台阶，那么他走过 级台阶后到达站台；如果每秒向下迈三级台阶，那么走过 级台阶 100 75 到达站台．自动扶梯有多少级台阶? 【【【【 设 50 秒扶梯向上走 级， 则 25 秒走 级．由扶梯长度可得 ． x 2 x 100 75 2 x x 解得 ．扶梯长 (级) 。
50 x 100 50 50 【例 4】 小志与小刚两个孩在电梯上的行走速度分别为每秒 个台阶和每秒 个台阶，电梯运行后，他 2 3 俩沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼，分别用时 秒和 秒，那么如果小志攀登静 28 20 止的电梯需要用时多少秒？ 【【【【 小志和小刚顺向攀登运行的电梯分别都攀登了 级和 级，小刚比小志多走了 28 2 56 20 3 60 级， 这 4 级台阶实际 上是小志多走的 8 秒钟内，电梯“缩”进去的，因此电梯的运行速度 60 56 4 为每秒半个台阶，那么在小 刚 登梯的 20 秒内，电梯也“缩” 了 10 级，所以 电梯所能见到的部分是 60+10=70 级，所以，小志攀登静止的电梯分别需要用 时 70÷2=35 秒． 【例 5】 小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要走 级．如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端(很危险哦，不要效仿!)，需要用下楼时 倍的 36 5 速度走 级才能走到上端．请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级? 60 【【【【 小淘气上楼走 60 级的时间，下楼只能走 (级)．而下楼走了 36 级，所以下楼用的时间是 60 5 12 上楼时间的 (倍). 36 12 3 设小淘气上楼的时间自动扶梯走了 级，则下楼的 时间内自动扶梯走了 级． x 3x 根据自动扶梯的级数可列方程： ，解得 ( 级) ， 36 3 60 x x 6 x 自动扶梯有 ( 级)． 60 54 x 【例 6】 自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走 级，女孩每分走 级，结果男孩用了 分到达楼上，女孩用了 分到达楼上．问该扶梯露在 20 15 5 6 外面的部分共有多少级？ 【【【【 男孩每分钟比女孩每分钟多行扶梯级数的 ，相差 级，因此自动扶梯露在外面 1 1 1 5 6 30 20 15 5 的部分共有 级． 1 5 150 30 【例 7】 （2008 年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛）小丁在捷运站搭一座电扶梯下楼．如果他向下走 阶，则需时 秒即可由电扶梯顶到达底部；如果他向下走 阶，则需时 秒即可由电扶梯 14 30 28 18 顶到达底部．请问这座电扶梯有几阶？ 【【【【 首先从题中可以看出两种情况下小丁的速度是不相同的，否 则两次走过的阶数之比为 ，时间 1: 23-2-7.扶梯问题.题库 教师版 page 4 of 4 之比也应该为 才对． 1: 2 既然小丁的速度有变化，那么 应该考虑其中的不变量，也就是电扶梯的速度不变．假设这座电扶 梯有 阶，那么在第一种情况下 电扶梯走了 阶，第二种情况下电扶梯走了 阶，根据 x ( 14) x ( 28) x 电扶梯的速度相同可得 ，解得 ． 14 28 30 18 x x 49 x 即这座电扶梯有 49 阶． 【例 8】 甲在商场中乘自动扶梯从一层到二层，并在顺扶梯运行方向向上走，同时乙站在速度相等的并 排扶梯从二层到一层．当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他走了 60 级到达一 层．如果他到了顶端再从“上行扶梯”返回，则要往下走 80 级．那么，自动扶梯不动时甲从下 到上要走多少级？ 【【【【 首先，由于第一种情况下甲往下走 时走的总台阶 数是第二种情况下的 ，也就是说在相 3 60 80 4 同时间内，自 动扶梯由上往下走了两 层高度的 ，而甲和自动扶梯共同走了两层高度的 ，说明 1 4 3 4 第一种情况下，甲乙相遇时甲的高度是两 层之间高度的 ．那么可知甲和自 动扶梯的速度和与自 3 4 动扶梯的速度之比是 ， 说明甲走动的速度是扶梯速度的 2 倍． 3 3 : 1 3:1 4 4 如果甲沿着扶梯向下走，那么整体的速度就和自动扶梯的速度一 样，是整体向上走 时速度的 ， 1 3 所用的时间就是向上走所用时间的 3 倍，那么甲所走的台阶数就是向上时所走台阶数的 3 倍．因 此甲向上走时实际走了 级台阶．甲走 级台阶的同时自动扶梯向上移动了 级台阶， 80 80 3 3 80 3 40 3 因此如果扶梯不动，甲从下到上要走 级台阶． 80 40 40 3 3 课后练习。