第第6 6、、7 7讲讲 机器人位置运动学机器人位置运动学Kinematics of Robotics机器人正向运动学（运动学正解）机器人正向运动学（运动学正解）已知所有连杆长度和关节角度，计算机器人手的位姿已知所有连杆长度和关节角度，计算机器人手的位姿机器人逆向运动学（运动学逆解）机器人逆向运动学（运动学逆解）已知机器人手的位姿，计算所有连杆长度和关节角度已知机器人手的位姿，计算所有连杆长度和关节角度 机器人运动学分析步骤和内容机器人运动学分析步骤和内容一、机器人连杆参数及其一、机器人连杆参数及其D-HD-H坐标变换坐标变换 ( (连杆参数连杆参数/ /连杆坐标系及连杆坐标系及D-HD-H连杆变换连杆变换) )二、机器人运动学方程二、机器人运动学方程 ( (运动学方程运动学方程/ /典型机器人运动学方程典型机器人运动学方程) )三、机器人逆运动学三、机器人逆运动学 ( (机器人运动学逆解有关问题机器人运动学逆解有关问题/ /典型臂运动学逆解典型臂运动学逆解) ) 一、机器人连杆参数及其一、机器人连杆参数及其D-HD-H坐标变换坐标变换在驱动装置带动下，连杆将绕或沿关节轴线，在驱动装置带动下，连杆将绕或沿关节轴线，相对于前一临近连杆转动或移动。
相对于前一临近连杆转动或移动 （一）连杆参数（一）连杆参数 （一）连杆参数（一）连杆参数•连杆的尺寸参数 连杆长度ai：两个关节轴线i和i+1 沿共垂线的距离； 连杆扭角αi ：两个关节轴线i和i+1的夹角；•相邻连杆的关系参数 连杆偏置di ：沿关节i轴线方向，两个共垂线之间的距离； 关节转角θi ：垂直于关节轴线的平面内，两个共垂线之间的夹角； 关节变量•旋转关节： 关节转角θi是关节变量，连杆长度ai、连杆扭角αi 、连杆偏置di 是固定不变的；•移动关节： 连杆偏置di是关节变量，连杆长度ai 、连杆扭角αi 、关节转角 θi是固定不变的； （二）转动连杆坐标系及连杆的D-H坐标变换 转动连杆坐标系的建立•坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合；•坐标轴Xi：沿连杆i两关节轴线的公垂线,指向i+1关节；•坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定；•坐标原点Oi：（1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点；（2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂线与关节i+1轴线的交点；（3）当关节i轴线和关节i+1轴线平行时，取关节i+1轴线与关节i+2轴线的公垂线与关节i+1轴线的交点； 转动连杆坐标系的建立•首连杆0：基座坐标系{0}是固定不动的；Z0轴取关节1的轴线，O0的设置任意，通常与O1重合；•末连杆n：工具坐标系{n}固定在机器人的终端，由于连杆n的终端不再有关节，约定坐标系{n}与{n-1}平行； 再看转动连杆参数的含义•连杆的尺寸参数 连杆长度ai：Zi和Zi-1沿Xi的距离，总为正；； 连杆扭角αi ：Z Zi-1i-1绕Xi转至Zi的转角，符号根据右手定则确定；•相邻连杆的关系参数 连杆偏置di ： Xi-1沿Z Zi-1i-1至Xi的距离，沿Z Zi-1i-1正向时为正； 关节转角θi ：Xi-1绕Z Zi-1i-1转至Xi的转角，符号根据右手定则确定； 转动连杆坐标系的D-H变换•转动连杆的D-H参数为θi、ai、αi 、di，其中关节变量是θi 。
这四个参数确定了连杆i相对于连杆i-1的位姿，即D-H坐标变换矩阵Ai•坐标系{i-1}经过下面四次有序的相对变换可得到坐标系{i}：（1）绕Zi-1轴转θi ；Rot(Zi-1,θi)（2）沿Zi-1轴移动di ；Trans(Zi-1,di)（3）沿Xi轴移动ai ；Trans(Xi,ai)（4）绕Xi轴转αi ；Rot(Xi,αi)•由于以上变换都是相对于动坐标系的，根据“由左向右”的原则可求出变换矩阵： （三）移动连杆坐标系及连杆的D-H坐标变换 移动连杆坐标系的建立移动连杆坐标系的规定：•坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合；•坐标轴Xi：沿移动关节i轴线与关节i+1轴线的公垂线,指向i+1关节；•坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定；•坐标原点Oi：（1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点；（2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂线与关节i轴线的交点；（3）当关节i轴线和关节i+1轴线平行时，取关节i+1轴线与关节i+2轴线的公垂线与关节i+1轴线的交点； 移动连杆坐标系的建立移动连杆前的相邻连杆坐标系的规定：•坐标轴Zi-1：过原点Oi且平行于移动关节i的轴线；•坐标轴Xi-1：沿移动关节i-1轴线与Zi-1轴线的公垂线,指向Zi-1轴线；•坐标轴Yi-1：按右手直角坐标系法则确定；•坐标原点Oi-1：关节轴线i-1和Zi-1轴的公垂线与Zi-1轴的交点； 移动连杆坐标系的建立•首连杆0：基座坐标系{0}是固定不动的；Z0轴取关节1的轴线，O0的设置任意，通常与O1重合；•末连杆n：工具坐标系{n}固定在机器人的终端，由于连杆n的终端不再有关节，约定坐标系{n}与{n-1}平行； 再看移动连杆参数的含义•由于移动连杆的OiZi轴线平行于移动关节轴线移动， OiZi在空间的位置是变化的，因而ai参数无意义。
连杆i的长度在坐标系{i-1}中考虑， 故参数ai=0 原点Oi的零位与Oi-1重合，此时移动连杆的变量di=0 移动连杆坐标系的D-H变换•移动连杆的D-H参数为θi、ai、αi 、di，其中关节变量是di 用与求转动连杆坐标系相同的方法可求出移动连杆的D-H变换矩阵： 二、机器人运动学方程二、机器人运动学方程（一）运动学方程• 机械手可以看成由一系列关节连接起来的连杆组构成• 给每一个连杆在关节处设置一个连杆坐标系，该连杆坐标系随关节运动而运动 二、二、 机器人运动学方程机器人运动学方程1 1、、A A矩阵和矩阵和T T矩阵矩阵•用A矩阵描述连杆坐标系间相对平移和旋转的齐次变换•A1表示第一连杆对基坐标的位姿， A2表示第二连杆对第一连杆位姿……•则第二连杆对基坐标的位姿为•手爪相对于基座的位姿手爪相对于基座的位姿注意前后注意前后顺序顺序 二、二、 机器人运动学方程机器人运动学方程2 2、手爪位姿的表示、手爪位姿的表示位置矢量位置矢量P P：两手指连线的中点（手爪坐标系的原点）；：两手指连线的中点（手爪坐标系的原点）；接近矢量接近矢量a a：夹持器进入物体的方向（手爪坐标系的：夹持器进入物体的方向（手爪坐标系的Z Z轴）；轴）；方向矢量方向矢量o o：指尖互相指向（手爪坐标系的：指尖互相指向（手爪坐标系的Y Y轴）；轴）；法线矢量法线矢量n n：垂直手掌面的方向（手爪坐标系的：垂直手掌面的方向（手爪坐标系的X X轴）；轴）； 二、二、 机器人运动学方程机器人运动学方程3 3、机器人运动学方程、机器人运动学方程•由手爪相对于基座的两种位姿表示，可得：•方程左边是手爪相对基座的位置和姿态，方程右边是各连杆A矩阵的乘积（是n个关节变量的函数），上式称为机器人的运动学方程。
典型机器人运动学方程典型机器人运动学方程•圆柱坐标臂（PRP） 参数连杆θidiaiαi10d1002θ20a2-90º30d300 球面（极）坐标臂（RRP）x x0 0z z0 0y y0 0z z1 1z z2 2x x1 1x x2 2z z3 3x x3 3 参数连杆θidiaiαi1θ1d10-90º2θ2d2090º30d300θ1θ2三个连杆长度分别为：d1、d2、d3 ，其中d3是变量 转动坐标臂（RRR）Z3X3Z1Z2X X1 1 X X0 0X2Z0 参数连杆θidiaiαi1θ10090º2θ20a203θ30a30 •PUMA560六自由度机械手 该机械手末端的位置方程如下： 三、机器人逆运动学•1)问题:已知手部位姿,求各关节位置•2)意义:是机械手控制的关键 （一）机器人运动学逆解有关问题•存在性：对于给定的位姿，至少存在一组关节变量来产生希望的机器人位姿；如果给定机械手位置在工作空间外，则解不存在 （一）机器人运动学逆解有关问题•唯一性：对于给定的位姿，仅有一组关节变量来产生希望的机器人位姿对于机器人，可能出现多解•机器人运动学逆解的数目取决于关节数目、连杆参数和关节变量的活动范围。
一般，非零连杆参数越多，运动学逆解数目越多（多至16个）•如何从多重解中选择出其中的一组？应根据具体情况而定，在避免碰撞的前提下，通常按最短行程的准则来择优，使每个关节的移动量为最小•由于工业机器人前面三个连杆的尺寸较大，后面三个较小，故应加权处理，遵循多移动小关节、少移动大关节的原则 （一）机器人运动学逆解有关问题•解法：封闭解法和数值解法•在终端位姿已知的条件下，封闭解法可给出每个关节变量的数学函数表达式；•数值解法则用递推算法给出关节变量的具体数值；•封闭解法计算速度快，效率高，便于实时控制；但不容易求解经研究证明：若机器人有三个相邻关节的轴线平行或交于一点，则可求得封闭解 （二）典型臂运动学逆解•圆柱坐标臂（PRP）：关节变量是d1 、θ2 、d3 •球坐标臂（RRP）关节变量是θ1 、θ2 、d3 •转动坐标臂（RRR） 作为作业课堂完成•PUMA560型机器人 “机器人运动学逆解一般解法”有兴趣者自学 课后作业•具有转动关节的三连杆平面机械手如图，关节变量为θ1 θ2θ3，试规定各连杆的坐标系，列出D-H参数表并列出运动学方程，求逆解。