第1章 矢量分析例1.1 求标量场通过点M(1, 0, 1)的等值面方程解：点M的坐标是，则该点的标量场值为其等值面方程为 ： 或 例1.2 求矢量场的矢量线方程解： 矢量线应满足的微分方程为 ：从而有 解之即得矢量方程，c1和c2是积分常数例1.3 求函数在点（1，1，2）处沿方向角的方向导数 解：由于 , , , 所以 例1.4 求函数在点处沿着点到点的方向导数解：点到点的方向矢量为其单位矢量所求方向导数例1.5 已知，求在点和点处的梯度解：由于 所以 ，例1.6 运用散度定理计算下列积分：S是和所围成的半球区域的外表面解：设：则由散度定理 可得例1.7 试求和:(1) (2) (3) 解： 例1.8 在球坐标中，已知，其中、为常数，试求此标量场的负梯度构成的矢量场，即解：在球坐标戏中，例1.9 在由，和围成的圆柱形区域上，对矢量验证高斯散度定理解：因为要求验证高斯散度定理，即需要根据给出条件分别计算和，得到二者结果相同的结论。
在柱坐标系下，有在由，和围成的圆柱形区域内取一个小体积元，可知，其中、、，故 而，和围成的圆柱形区域的闭合外表面由三部分构成：圆柱上表面（面元矢量，、、）、圆柱下表面（面元矢量，、、）和圆柱侧表面（面元矢量，、、），故有： ，即证例1.10 现有三个矢量场、、,分别为：，，哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示？解：本题考查的是矢量场的场源关系，即：标量函数的梯度是一个有散无旋的场，并根据发散场旋度为零，漩涡场散度为零进行反推故先分别求出矢量的散度和旋度：故可以由一个标量函数的梯度表示，可以由一个矢量的旋度表示 55第2章 静电场与恒定电场例2.1 已知半径为a的球内、 外的电场强度为下式所示，求电荷分布解：由高斯定理的微分形式， 得电荷密度为 用球坐标中的散度公式可得：例2.2 一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是，求极化电荷分布解：建立球坐标系，让球心位于坐标原点 极化电荷体密度为 极化电荷面密度为 例2.3 一个半径为a的导体球，带电量为Q，在导体球外套有外半径为b的同心介质球壳， 壳外是空气，如图2.1所示求空间任一点的以及束缚电荷密度。
图 2.1解：由介质中的高斯定律可知，在区域内：，故 由本构方程得：介质内(a
正电荷在空腔内产生的电场为，负电荷在空腔内产生的电场为，其中单位向量，分别以大、小球体的球心为球面坐标的原点考虑到，最后得到空腔内的电场为：例2.7 一个半径为a的均匀带电圆柱体（无限长）的电荷密度是ρ，求圆柱体内、外的电场强度解：因为电荷分布是柱对称的，因而选取圆柱坐标系求解在半径为r的柱面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向计算柱内电场时，取半径为r，高度为1的圆柱面为高斯面在此柱面上，使用高斯定理，有 计算柱外电场时，取通过柱外待计算点的半径为r，高度为1的圆柱面为高斯面对此柱面使用高斯定理，有 例2.8 一个半径为的均匀带电圆盘，电荷面密度是，如图2.4所示求轴线上任一点的电场强度图2.4解：由电荷的电荷强度计算公式及其电荷的对称关系，可知电场仅有z的分量代入场点源点 电场的z向分量为上述结果适用于场点位于z>0时但场点位于z<0时，电场的z向量为例2.9 已知半径为a的球内,外电场分布为求电荷密度解：从电场分布计算计算电荷分布,应使用高斯定理的微分形式: 用球坐标中的散度公式,并注意电场仅仅有半径方向的分量,得出 例2.10 电荷分布如图2.5所示。
试证明，在r>>l处的电场为证明：用点电荷电场强度的公式及叠加原理，有当r>>l时,将以上结果带入电场强度表达式并忽略高阶小量，得出图2.5例2.11 真空中有两个点电荷，一个电荷位于原点，另一个电荷位于处，求电位为零的等位面方程解：由点电荷产生的电位公式得电位为零的等位面为其中， 等位面方程简化为即此方程可以改写为这是球心在,半径为的球面例2.12 如图2.6所示，一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴方向，介质柱的高度为L，半径为a，且均匀极化，求束缚体电荷分布及束缚面电荷分布图2.6解：选取圆柱坐标系计算，并假设极化强度沿其轴向方向，如图示，由于均匀极化，束缚体电荷为在圆柱的侧面，注意介质的外法向沿半径方向，极化强度在z方向，故在顶面，外法向为，故在底面，外法向为，故例2.13 假设x<0的区域为空气，x>0的区域为电解质，电解质的介电常数为，如果空气中的电场强度（V/m），求电介质中的电场强度解：在电介质与空气的界面上没有自由电荷，因而电场强度的切向分量连续，电位移矢量的法向分量连续在空气中，由电场强度的切向分量，可以得出介质中电场强度的切向分量；对于法向分量，用，即 ，并注意，得出。
将所得到的切向分量相叠加，得介质中的电场为例2.14 一个半径为a的导体球面套一层厚度为b-a的电解质，电解质的介电常数为ε，假设导体球带电q，求任意点的电位解：在导体球的内部，电场强度为0对于电介质和空气中的电场分布，用高斯定理计算在电介质或空气中的电场取球面为高斯面，由得出电场为： 在介质中（ab）电位为 （ab)例2.15 真空中有两个导体球的半径都为a，两球心之间距离为d，且d>>a,试计算两个导体之间的电容解：因为球心间距远大于导体的球的半径，球面的电荷可以看作是均匀分布由电位系数的定义，可得， 让第一个导体带电q, 第二个导体带电-q，则 ， 由 化简得例2.16 球形电容器内，外极板的半径分别为a,b，其间媒质的电导率为，当外加电压为时，计算功率损耗并求电阻解：设内,外极板之间的总电流为，由对称性，可以得到极板间的电流密度为 ==从而 =，单位体积内功率损耗为 ==总功率耗损为 P===由P=，得 R=例2.17 一个半径为a的导体球作为作为电极深埋地下，土壤的电导率为。
略去地面的影响，求电极的接地电阻解：当不考虑地面影响时，这个问题就相当于计算位于无限大均匀点媒质中的导体球的恒定电流问题设导体球的电流为,则任意点的电流密度为 ，导体球面的电位为（去无穷远处为电位零点） ==接地电阻为 ==例2.18 如图2.7所示，平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分别为和，介电常数分别为和，电导率分别为和，当外加电压U时，求分界面上的自由电荷面密度解：设电容器极板之间的电流密度为J，则 于是 即 分界面上的自由面电荷密度为 图2.7例2.19 在电场强度的电场中把带电量为的点电荷从点移到点，试计算电场沿下列路径移动电荷所做的功1)沿曲线；(2)沿连接该两点的直线解：本题要求电场力移动电荷所做的功，最直接的办法就是根据功=作用力×作用距离，由给出的电场强度确定电荷所受电场力，再在对应的移动路径C上进行线积分，即。
但注意到题目给出的场强为静电场的电场强度，则可根据静电场为保守场，由静电力所做的功与电荷移动路径无关，至于电荷运动起止点的电位差有关这一特点进行计算方法一：，此电场为静电场，电场力所做的功与电荷移动路径无关由可得，电位，其中C为常数点到点之间的电位差故无论是沿曲线还是沿连接该两点的直线，电场力移动电荷所做的功方法二：电场力，点移到点变化的只是x和y，故有，(1)曲线C： 有 (2)曲线C：，即，有例2.20 球形电容器内外导体球半径分别为a和b，如果保持内外导体间电位差U不变，试证明当内外导体球半径满足关系a=b/2时，内导体球表面的电场最小，并求此最小电场强度解：要求得内导体球表面的最小电场强度，需先求出空间各点电场强度的分布，再根据高等数学中函数最小值出现在函数一阶导数零点的知识，求出内导体球表面的电场强度最小值，并得到此时内外导体球半径之间的关系由于内外导体球间存在电位差，故内导体球表面存在电荷，可设在内导体球面上均匀分布有总量为Q的电荷，因此以导体球球心为坐标原点建立球坐标系，内导体球面为，外导体球面为在的区间包围原点做一个半径为的闭合球面S，由于电荷和电场的分布满足球对称，在S上应用高斯定理，有设外导体电位为0，则内导体电位为U。