单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,数学物理方法,傅立叶变换,傅里叶生平,1768年生于法国,,1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数的级数表示”,,1822年发表“热的分析理论”，首次提出“任何非周期信号都可用正弦函数的积分表示”,,,傅立叶变换,,傅立叶级数,,傅立叶变换,,狄拉克函数,,本章小结,,,傅立叶级数,,三角级数,,定义,,由周期为2π,的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数,基本函数族,,组成：,1,，,cos,(,nx,),，,sin(,nx,),,性质：任意两个在一个周期上的积分等于,0,，称为正交性；,,,傅立叶级数,,傅立叶展开,,傅立叶展开定理：,,周期为,2π,的函数,f(x),可以展开为三角级数，,,展开式系数为,狄利克雷收敛定理,,,收敛条件,,在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；,,,在一个周期内至多只有有限个极值点收敛结果,,当,x,是,连续点时，级数收敛于该点的函数值；,,,当,x,是,间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值傅立叶级数,,展开举例,,对称函数,,对奇函数：,对偶函数,：,函数,展开式,sgn(x),(4/,π,) (sin x + sin3x/3 + sin5x/5 +,,),x,2 (sin x,,sin2x/2 + sin3x/3,,sin4x/4 + sin5x/5 +,,),|x|,,π,/2,,(4/,π,)(cos x + cos3x/3,2,+ cos5x/5,2,+,,),典型周期函数,(,周期为,2,π),,,傅立叶级数,,傅立叶展开的意义：,,理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；,,应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。
例如：对称方波的傅立叶展开,,,,,,,傅立叶级数,,重要推广,,推广,1,：,,问题：把周期为T=,2L,的函数,f(t),的展开：,,,方法：对基本公式作变换,x→πt/L,，,,,傅立叶级数,,推广2,,问题：把定义在,[-L, L],上的函数,f(t)展开；,,方法：,先把它延拓为周期函数,(,即把它当成是一个周期,,为,2L,的函数的一部分,),，,,再按推广,1,展开；,,注意：所得到的级数仅在原定义范围中与,f(t),一致延拓前,,,,延拓后,,,傅立叶级数,,推广3,,问题：把定义在,[0, L],上的函数,f(x)展开；,,方法：,先把它延拓为[-L, L]上的奇函数或偶函数，,,再按推广2把它延拓为周期函数，,,最后按推广,1,展开；,,注意：所得到的级数仅在原定义范围中与,f(x),一致公式：,,,傅立叶级数,,展开的复数形式,,展开公式：,基本函数族：,正交性：,展开系数：,,,傅立叶变换,,非周期函数的傅立叶展开,,问题：,,把定义在（－∞，∞）中的非周期函数,f,(,x,)展开；,,思路：,,把该函数定义在（－L，L）中的部分展开，再令L→∞；,,实施：,,展开公式,展开系数：,困难,,展开系数,c,n,为无穷小；,,幂指数,n,,x,/L,不确定。
傅立叶变换,,解决方法：,,把,n,π/L,作为新变量，即定义ω,n,=,n,π/L ；,,把 c,n,L/π作为新的展开系数，即定义F(ω,n,)=c,n,L/π.,,公式的新形式：,,展开公式：,展开系数：,取极限：,,傅立叶变换：,傅立叶积分：,,,傅立叶变换,,例题1,,矩形函数的定义为,求矩形脉冲,x,(t) =,rect,(t/2T,1,),的傅立叶变换解：,,,傅立叶变换,,例题,2,,将矩形脉冲,f,(t) =,h,,rect,(t/2T),展开为傅立叶积分解：,,先求出,f,(t),的傅立叶变换,代入傅立叶积分公式，得,,,例题,3,,求对称指数函数,f(t),的傅立叶变换,傅立叶变换,,,傅立叶变换,,傅立叶变换的意义,,数学意义,,从一个函数空间(集合)到另一个函数空间(集合)的映射；,,f(x)称为变换的原函数(相当于自变量)，F(ω)称为象函数应用意义,,把任意函数分解为简单周期函数之和，F(ω)的自变量为频率，函数值为对应的振幅物理意义,,把一般运动分解为简谐运动的叠加；,,把一般电磁波(光)分解为单色电磁波(光)的叠加物理实现,,分解方法：棱镜光谱仪、光栅光谱仪；,,记录方式：(用照相底版)摄谱仪、(用光电探测器)光度计。
傅立叶变换,,傅立叶变换的性质,,一般假定,,f(x) → F(ω)， g(x) → G(ω),,奇偶虚实性,,f(x)为偶函数，F(ω)=∫f(x)cos(ωx)dx/(2π)为实函数；,,f(x)为奇函数，F(ω)=-i∫f(x)sin(ωx)dx/(2π)为虚函数,,线性性质,,k f(x) → k F(ω)；,,f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω),,分析性质,,f,’(x) → iωF(ω)；,,,傅立叶变换,,位移性质,,f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ；,,exp(iφx)f(x) → F(ω-φ),,相似性质,,f(ax) → F(ω/a)/a；,,f(x/b)/b → F(bω) 卷积性质,,f(x)*g(x)≡∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω)；,,f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡∫ F(φ)G(ω-φ)dφ,,对称性质,,正变换与逆变换具有某种对称性；,,适当调整定义中的系数后，可以使对称性更加明显傅立叶变换,,应用举例,,,傅立叶变换,,推广,,推广1,,问题：把定义在,[0, ∞),上的函数,f(t)展开；,,方法：,先把它延拓为(-∞,∞)上的奇函数或偶函数，,,再按公式进行傅立叶变换；,,注意：,,偶函数满足条件f’(0)=0，形式为 f(|t|)；,,奇函数满足条件f(0)=0，形式为 sgn(t)f(|t|).,,结果：所得到的傅立叶积分仅在原定义范围中与,f(t),一致。
傅立叶变换,,推广2,,问题：多元函数的傅立叶变换,,公式：,,,狄拉克函数,,概念,,问题,,质点的密度函数如何表示？,,思路,,质点是物体在尺度趋于零时的理想模型；,,一个位于原点的单位质点，可以看成一个线密度为,h,rect(,h,x)的物体在宽度d=1/,h,趋向零时的极限；,,极限密度为δ(x)=lim,h→∞,,h,rect(,h,x),,一般定义,,,狄拉克函数,,,,狄拉克函数,,性质,,奇偶性质,,δ(-x)=δ(x)， δ’(-x)=δ’(x),,分析性质,选择性质,,∫,f(x),δ,(x-a),dx,=f(a),，∫,f ’(x),δ,(x-a),dx,=-f’(a),,变换性质,,,狄拉克函数,,狄拉克函数的应用,,描述功能,,位于x=a处质量为m的质点，质量线密度为mδ(x-a)；,,位于x=a处电量为q的点电荷，电荷线密度为qδ(x-a)；,,位于t=a时刻强度为I的脉冲信号，信号函数为Iδ(t-a)；,,分解功能,,质量密度为ρ(x)的物体，可分解为质点的空间叠加,,ρ(x) = ∫ρ(a)δ(a-x)da,,电荷密度为ρ(x)的带电体，可分解为点电荷的空间叠加,,ρ(x) = ∫ρ(a)δ(a-x)da,,信号函数为ρ(t)的信号，可分解为脉冲信号的时间叠加,,ρ(t) = ∫ρ(a)δ(a-t)da,,,狄拉克函数,,计算功能,,计算函数在间断点的导数；,,计算特别函数的傅立叶变换。
例题1,,计算f(x) = sgn(x)的导函数解： sgn(x) = 2 H(x) - 1,,sgn’(x) = 2 H’(x) = 2δ(x),,例题2,,计算 f(x) = |x| 的傅立叶变换解：,,,狄拉克函数,,狄拉克函数的,推广,,问题：,,三维空间中的质点的密度、点电荷的电荷密度三维狄拉克函数：,,δ(,r,)=δ(x,y,z)=δ(x)δ(y)δ(z),,应用,,位于,r=a,处质量为m的质点，质量体密度为mδ(,r-a,)；,,位于,r=a,处电量为q的点电荷，电荷体密度为qδ(,r-a,)；,,,本章小结,,傅立叶级数,,周期函数的三角展开公式；,,基本三角函数的性质傅立叶变换,,非周期函数的三角展开公式；,,傅立叶变换的性质狄拉克函数,,狄拉克函数概念；,,狄拉克函数性质；,,狄拉克函数功能作 业,P73,,6-2,,6-4,:(3),,6-5:(1),,6-6:(3),,6-7:(1),,,。