满分题训练(3)—立体几何 - 副本

心能到 及不为远 1满分题规范训练（满分题规范训练（2)2)————立体几何立体几何 姓名姓名 【【温馨提示温馨提示】】类型一:证明平行（或垂直）问题答题的一般步骤：一般用几何法按要求证明类型二：利用空间向量求角问题答题的一般步骤：找垂直建系——写坐标——求向量——求夹角——得结论——作答题 1】正方形的边长为，分别为边的中点，是线ABCD2,E F,AD BCM 段的中点，如图，把正方形沿折起，EFEF 设.(0)AED（1）求证：无论取何值，与不可CMBD 能垂直； （2）设二面角的大小为，当DBMC时，求的值．tan42sin心能到 及不为远 2【题 2】如图，平行四边形与直角梯形所在的平面相互垂直，ABCDABEF且，，且，，112ABBEAF//BEAFABAF4CBA，2BC 为的中点.PDF（1）求证：平面；//PEABCD （2）求平面与平面所成的二面角（锐角）DEFABCD 的余弦值.心能到 及不为远 4心能到 及不为远 5心能到 及不为远 6【题 3】 如图所示，如图所示，⊥⊥平面平面，，PAABCD△△为等边三角形，为等边三角形，，，⊥⊥，，ABCPAABACCD为为中点．中点．MAC（（I）证明：）证明：∥∥平面平面；；BMPCD（（II）若）若与平面与平面所成角的正切值所成角的正切值 PDPAC为为，求二面角，求二面角--的正切值．的正切值．6 2CPDM9、解：（、解：（ⅠⅠ）证明：因为）证明：因为 M 为等边为等边△△ABC 的的 AC 边的中点，所以边的中点，所以 BM⊥⊥AC．． 依题意依题意 CD⊥⊥AC，且，且 A、、B、、C、、D 四点共面，所以四点共面，所以 BM∥∥CD．． …………3 分分 又因为又因为 BM 平面平面 PCD，，CD 平面平面 PCD，所以，所以 BM∥∥平面平面 PCD．． …………5 分分（（ⅡⅡ）因为）因为 CD⊥⊥AC，，CD⊥⊥PA，， 所以所以 CD⊥⊥平面平面 PAC，故，故 PD 与平面与平面 PAC 所成的角即为所成的角即为∠∠CPD．． ……………7 分分不妨设不妨设 PA=AB=1，则，则 PC=．．2由于由于，，6tan2CDCPDPC所以所以 CD=．．……………9 分分3（方法一）（方法一） 在等腰在等腰 Rt△△PAC 中，过点中，过点 M 作作 ME⊥⊥PC 于点于点 E，再在，再在 Rt△△PCD 中中 作作 EF⊥⊥PD 于点于点 F．因为．因为 ME⊥⊥PC，，ME⊥⊥CD，所以，所以 ME⊥⊥平面平面 PCD，可得，可得 ME⊥⊥PD．． 又又 EF⊥⊥PD，所以，所以∠∠EFM 即为二面角即为二面角 C-PD-M 的平面角．的平面角． ……………12 分分易知易知 PE=3EC，，ME=，，EF=2 4，， 3233 30 4205学科网所以所以 tan∠∠EFM=PABCDM（第 18 题图）FEPABCDM（第 18 题图）xyzPABCDM（第 20 题图）心能到 及不为远 7，， 2 154 93 30 20ME EF即二面角即二面角 C-PD-M 的正切值是的正切值是．．15 9 ……………15 分分（方法二）（方法二） 以以 A 点为坐标原点，点为坐标原点，AC 为为 x 轴，建立轴，建立 如图所示的空间直角坐标系如图所示的空间直角坐标系 A﹣﹣xyz．． 则则 P（（0,0,1）） ，，M（（）） ，，C（（1,0,0）） ，，D．．1,0,02(1, 3,0)则则，，，，．．(1,0, 1)PC uuu r(1, 3, 1)PD uuu r1( ,0, 1)2PM uuu u r若设若设和和分别是平面分别是平面 PCD 和平面和平面 PMD1111( ,,)nx y zu u r2222(,,)nxyzu u r的法向量，则的法向量，则，可，可111111100300xznPCxyznPDu u r uuu ru u r uuu r取取．．1(1,0,1)n u u r由由，可取，可取．． 22222221002 030xznPMnPDxyzu u r uuu u ru u r uuu r23(2,,1)3n u u r………12 分分所以所以，，12 12 12327cos,32||||1623nnn nnn u u r u u ru u r u u ru u ru u r故二面角故二面角 C-PD-M 的余弦值是的余弦值是，其正切值是，其正切值是．． 27 3215 9……………15 分分【题 4】在如图 4 所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面ABCDAEC平面，ABCD，∥，，，90ACBEFBCBCEF212 BCAC．ECAE （Ⅰ）求证：；CFAF 心能到 及不为远 8ABDCEFOxyz（Ⅱ）当二面角的平面角的余弦值为时，求三棱锥DECA33的体积．AEFC（Ⅰ）证明：因为，平面平面，所以平面o90ACBAECABCDBC,AEC又∥，所以平面，所以,又EFBCEFAECCEEFAEEF,，所以≌,； ECAE CEFAEFCFAF  ………………………………………………5 分（Ⅱ）取的中点，因为，所以,又平面平面ACOECAE ACEO AEC ，ABCD所以平面, EOABCD ……………………………………………………………6 分如图建立空间直角坐标系，则，，,设)0 , 0 , 1 (C)0 , 0 , 1(A)0 , 2 , 1(D), 0 , 0(mE，), 2 , 1(),, 0 , 1 (mEDmEC设平面的法向量为，ECD) 1 ,,(1yxn 则由,即， 0011 EDnECn 020myxmx得， …………9 分mymx,) 1 ,,(1mmn 由（Ⅰ）知平面，所以平面的法向量为,EFAECAEC2(0,1,0)nFEu u ruuu rABDCEF图 4心能到 及不为远 9， ………10 分12 122 123cos,3||||21nnmn nnnm u u r u u ru u r u u ru u ru u r1m所以 …………………121 3A EFCFAECACEVVEF S11111 2323  分【题 5】如图，三棱柱中，点在平面111ABCABC1A内的射影段上，，ABCDAC090ACB .11,2BCACCC（I）证明：；11ACAB（II）设直线与平面所成角为，1AAABC060求二面角的平面角的余弦值．1AABC（I）证明：因为平面，平面，1AD ABC1AD 1A AC所以二面角为直二面角，，1AACBBCAC所以平面，----------2 分BC 11ACC A所以，1BCAC平行四边形中，，11ACC A12ACCC所以为菱形，所以，------4 分11ACC A11ACAC所以平面，----------6 分1AC 1CBA而平面，1AB 1CBA所以．------------7 分11ACAB（II） （解法一）由于平面，1AD ABC所以即为直线与平面所成的角，故，----------1A AD1AAABC1A AD060--------9 分作于，连结，则，所以即为二面角DKABK1AK1AKAB1AKD心能到 及不为远 10的平面角，-------------------------------11 分1AABC中，--------12 分1Rt A AD0 11sin603ADA A中，------13 分Rt AKD1sin5DKADCAB中，，---------14 分1Rt AKD1 11tan5ADAKDADDK15所以11cos4AKD即二面角的平面角的余弦值为-------------15 分1AABC1 4（解法二）由于平面，1AD ABC所以即为直线与平面所成的角，故1A AD1AAABC，，-----------------9 分1A AD0601ADDC13DA 在平面内，过点作的垂线，则ABCDACDy两两垂直，建立空间直角坐标系如图，1,,Dy DA DA则，，--------11 分1,0,0A1,1,0B 10,0, 3A所以，，平面的一个法向量为2,1,0AB  uuu r11,0, 3AA  uuu r1A AB3,2 3,1m u r平面的一个法向量为-------13 分ABC0,0,1n r---------------------14 分1cos,4m nm n m nu r ru r r u r r即二面角的平面角的余弦值为-------------15 分1AABC1 4心能到 及不为远 11【题 3】如图如图,四棱锥四棱锥,侧面侧面是边长为是边长为的正三角形的正三角形,且与底且与底6PABCDPAD2面垂直面垂直,底面底面是是的菱形的菱形,为棱为棱上的动点上的动点,且且ABCDABC 60MPC().PM PC0,1(ⅠⅠ) 求证求证:△△为直角三角形；为直角三角形；PBC(ⅡⅡ) 试确定试确定的值的值,使得二面角使得二面角的平面角余弦值为的平面角余弦值为.PADM2 5 5【【解析解析】】(ⅠⅠ)取取中点中点,连结连结,依题意可知依题意可知△△,△△均均ADO,,OP OC ACPADACD为正三角形为正三角形,所以所以,,又又,平面平面,平平OCADOPADOCOPOIOC POCOP 面面,POC所以所以平面平面,又又平面平面,所以所以,AD POCPC POCADPC因为因为,所以所以,即即,从而从而△△为直角三角为直角三角//BCADBCPC90PCBPBC形形.………………5 分分说明说明:利用利用平面平面证明正确证明正确,同样满分同样满分!PC AMD(ⅡⅡ)[向量法向量法]由由(ⅠⅠ)可知可知,又平面又平面平面平面,POADPAD ABCDPABCDMOxyz心能到 及不为远 12平面平面平面平面,PADIABCDAD平面平面,所以所以平面平面.………………6 分分PO PADPO ABCD以以为原点为原点,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系如图所示如图所示,则则OOxyz,,,,0,0, 3P0, 1,0A0,1,0D3,0,0C………………7 分分3,0,3PC uuu r由由可得点可得点的坐标为的坐标为,3,0,3PMPCuuu u ruuu rM3 ,0, 33………………9 分分所以所以,,3 ,1, 33AMuuuu r3 , 1, 33DMuuuu r设平面设平面的法向量为的法向量为,则则,即即MAD, ,x y zn00AMDMuuuu ruuuu rnn  33303330xyzxyz 解得解得,令令,得得,………………11 分分10xzy  z1,0,n显然平面显然平面的一个法向量为的一个法向量为,………………12 分分。