数字信号处理 Digital Signal Processing第六章 无限脉冲响应 数字滤波器的设计基本内容n数字滤波器的基本概念n模拟滤波器的设计n用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器n用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器n其他类型数字滤波器设计 6.1 数字滤波器的基本概念1.定义数字滤波器是指输入、输出均为数字信号， 通过一定的运算关系改变输入信号所含频率成分 的相对比例或者滤除某些频率成分的器件2. 数字滤波器的分类经典滤波器:即指一般滤波器，只能滤除不与信号混叠的杂波现代滤波器：可按统计规律，用随机处理的方法，从干扰中最 佳的提取有用信号包括： 维纳滤波器卡尔曼滤波器自适应滤波器周期非 正弦波带通滤波器各种模拟滤波器的幅频特性从功能上分： 0低通Ω带通Ω0高通Ω0带阻0Ω理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 低通高通带通带阻各种数字滤波 器的幅频特性无限脉冲响应(IIR)滤波器有限脉冲响应(FIR)滤波器从网络结构上分：我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器假设 数字滤波器的频率响应H(e jω)用下式表示：3 数字滤波器的技术要求（低通）通带 截止频率3dB 截止频率阻带 截止频率幅频特性相频特性幅频特性表示信号通 过滤波器后各频率成 分衰减的情况。
相频特性表示各频率成分信号通过滤波器后在时间上的延时情况，对相同的输入信号，如果 滤波器幅频特性相同，而相频特性不同，得到的 输出信号也不同若想对每个频率成分信号的延时都一样，需要采用线性相位滤波器选频滤波器的技术指标： 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB表示，通带内 允许的最大衰减用αp表示，阻带内允许的最小衰减用αs表 示，αp和αs分别定义为：(6.1.3) (6.1.4 ) 如将 归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式可表示成：4. 数字滤波器设计方法 借助于模拟滤波器的设计方法直接在频域或时域进行设计FIR滤波器窗函数法频率采样法切比雪夫等波纹逼近法思考题n数字滤波器的优点及与模拟滤波器的区别n低通滤波器的通带范围、阻带范围、过渡带范围IIR滤波器6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相 当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们 选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切 比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波 器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设 计人员使用。
各种理想模拟滤波器的幅频特性 一.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法对于单调下降的幅度特性可表示为：设计指标Ωpαs通带截止频率阻带截止频率通带最大衰减 阻带最小衰减图6.2.2 低通滤波器的幅度特性处幅度归一化 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度函数满足给定的指标αp和αs 图6.2.2 低通滤波器的幅度特性图中 称为3dB截止频率注：关键问题由给定指标确定传输函数 方法：利用典型的传输函数 巴特沃斯幅度特性和N的关系★ 通带有最大平坦的幅度特性 ★ 阻带单调下降 ★ N越大，幅度下降越大，过渡带越窄通带、阻带特性 均为下降趋势针对 讨论频率特性二. 巴特沃斯模拟低通滤波器的设计方法1. 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数该式说明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：Sk等间隔分布在半径为 的圆上间隔为为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的 N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)图6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布s1XXXXXXs2s3s4s5s0σjΩN=3取s左半平面的极点s0、s1、s2组成Ha(s):为使设计统一，将所有的频率对 归一化，归一化后的Ha(s) 表示为：令：归一化频率归一化复变量归一化极点2. 设计方法(1)根据技术指标确定阶数N；(2)求归一化极点pk，将其代入归一化传输函数Ha(p)；(3)或查表得归一化系统函数Ha(p)； (4)确定Ωc，将p=s/Ωc代入Ha(p)，得实际的滤波器传输函数Ha(s) 3.设计方法说明（1）由技术指标确定N处幅度归一化 kspλsp阻带指标 有余量通带指标 有余量（2）确定（3）根据N查表得归一化系统函数（4）将 代入 ，去归一化得系统函数例 6.2.1 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率 fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz， 阻带最小衰减αs=30dB，求Ha(s)。
解（1）确定阶数N取N=5(2) 由 确定归一化极点 归一化函数为： 或由N=5查表得极点：式中：（3）将Ha(p)去归一化，需先求计算出的阻带截止频率 比题目给的小，因此过渡带 小于要求的，或者说，在 时衰减大于30dB，所以 说阻带指标有富裕量查表得fs=12kHz按通带确定将注：巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带还是在阻带都是频率的单调函数因此当通带边界处满足指标要 求时，通带内肯定会有余量这样，更有效的设计方法是 将精确度均匀的分布在整个频带内，从而可用阶数较低的 系统满足要求这可用具有等波纹特性的切比雪夫滤波器 实现三、切比雪夫Ⅰ型滤波器的设计方法切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性 1. 幅度平方函数ε为小于1的整数，表示通带内幅度波动的程度Ωp称为通 带截止频率令x=Ω/Ωp，称为对Ωp的归一化频率切比雪夫Ⅰ 型滤波器幅 频特性CN为N阶切比雪 夫多项式针对 讨论频率特性高阶切比雪夫多项式的递推公式C N+1 (x)=2xCN(x)－C N-1 (x)当N=0时，C0(x)=1当N=1时，C1(x)=x当N=2时，C2(x)=2x 2 _1当N=3时，C3(x)=4x 3_3x令 ，称为对 的归一化频率，CN(x)称为 N阶切比雪夫多项式切比雪夫多项式特性:(1)切比雪夫多项式的过零 点在|x|≤1的范围内；(2)当|x|1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。
N=0,4,5切比雪夫多项式曲线与三个参数有 关1）2）3）定义允许通带波纹为δ，用下式表示4）已知δ，可 以求出ε过度带窄图6.2.7 切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的A2(Ω)曲线1) 确定技术要求αp、Ωp、αs、Ωs , 求滤波器阶数N和参数ε2) 求归一化传输函数Ha(p)3) 去归一化，求系统函数Ha(s)2. 切比雪夫Ⅰ型滤波器设计步骤αp是Ω＝Ωp时的衰减系数 αs是Ω＝Ωs时的衰减系数αp＝δ（1）确定技术指标，求滤波器阶数N和参数k=1,2,3…N(1)求归一化系统函数即极点为一组分布在椭圆上的点3)去归一化求系统函数例:设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止 频率fp=6kHz，通带最大衰减αp=3dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=25dB 解: (1)(2) 求归一化系统函数k=1,2,3…NN=3(3)去归一化求系统函数Na0a1a2a3…1-dB波纹(ε=0.5088, ε2=0.2589)1231.9652 1.10251.09770.49131.23840.98832-dB波纹(ε=0.7648, ε2=0.5849)11.307620.63680.803830.32691.02210.7378切比雪 夫滤波 器分母 多项式 的系数 表6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器(1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。
一、由模拟滤波器转换成数字滤波器的要求(2) 数字滤波器的频率响应能模仿模拟滤波器的频响 即：S平面的左平面应对应于Z平面的单位圆内即：S平面的虚轴映射Z平面的单位圆，响应的频率之间呈线性关系二、脉冲响应不变法原理该方法是使数字滤波器的单位取样响应h(n)模仿模拟滤波器 的冲激响应ha(t)，即： h(n)= ha(nT)，T为抽样间隔H(z)=ZT[h(n)]1. 设模拟滤波器系统函数Ha(s)2. 将Ha(s)进行拉氏逆变换得到ha(t)三、设计方法si为Ha(s)的单 阶极点3. 对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到4. 对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z) 四、转换特点五、S平面和Z平面的映射关系取样信号Z、S平面对应关系的具体体现S平面Z平面①σ↔rΩ-π/T0π/T2π/T3π/Tω-π0π2π3π图6.3.1 z=esT, s平面与z平面之间的映射关系②六、数字滤波器和模拟滤波器频率响应的关系图6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象如果原模拟信号ha(t)的频带不是限于 ， 则会在 的奇数倍 附近产生频率混叠七、优缺点缺点：可能产生频率混叠现象。
若用此法设计高通、带阻滤波器，需要预先加保护滤波器优点：频率坐标变换是线性的；时域特性逼近好例 6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为：用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H (z)解:将Ha(s)展开成部分分式极点为：H (z)的极点为：代入H (z)的表达式选取采样间隔T=1s和T=0.1s，分别得到将 的幅度特性用它们的最大值归一化后，如图6.3.3所示 T=1s时，产生失真nP182 6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器一、设计原理是一种非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围 压缩到 之间，再用 转换到Ｚ平面设Ha(s)，s=jΩ，经过非线性频率压缩后用Ha(s1)， s1=jΩ1表 示，且用正切变换实现频率压缩：当二、S与Z平面的关系三、模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系令s=jΩ, z=ejω，并代入图6.4.2 双线性变换法的频率变换关系四、优缺点 优点：克服了频率混叠现象 缺点：频率非线性关系，会带来幅度响应和相位响应的失真，适于片断常数滤波器设计P176幅频特性为常数1)确定数字低通滤波器的技术指标ωp、αp、ωs、αs。
2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标 (3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器 五、 数字滤波器设计步骤脉冲响应不变法：双线性变换法：(4)将模拟滤波器Ha(s)，从S平面转换到Z平面，得到数字低通 滤波器系统函数H(z)脉冲响应不变法：双线性变换法：对于双线性变换法，阶数高时将H(z)整理成需要的形式也不是一件容易的事，为简化设计，已将模拟滤波器各系数和双线性 变换得到的数字滤波器的各系数之间关系，列成表格供设计使 用表６.４.１）(5) 采样间隔Ｔ的选择１）脉冲响应不变法避免出现频率混叠要求模拟低通滤波器带限于 ，而实际滤波器有一定宽度的过渡带，可选择 ，若先 给定了数字低通的技术指标，由于 以 为周期，最 高频率在 处， ，按线性关系 ，一定满足 ，这样，可任意选择Ｔ，一般选Ｔ＝１２）双线性变换法不存在频率混叠现象，尤其对于片段常数滤波器设计，Ｔ可以任意选择n例6.4.2设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2πrad 时，允许幅度误差在1dB以内，在频率0.３π到π之间的阻带衰减 大于15dB指定模拟滤波器为巴特沃斯低通滤波器。
试分别用 脉冲响应不变法和双线性变换法设计数字低通滤波器解：１）用脉冲响应不变法设计①数字低通的技术指标为②模拟低通的技术指标为③设计巴特沃斯低通滤波器，a)先计算Ｎ及3dB截止频率 n将 代入， ，得此值小于 ，满足通带技术指标，同时给阻带衰减留一定余 量，可防止混叠 N=6，查表得：b)去归一化，将 代入上式：④用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)脉冲响应不变法适合于并 。