杭杭 州州 师师 范范 大大 学学 硕硕 士士 研研 究究 生生 入入 学学 考考 试试 命命 题题 纸纸 2018 年年 考试科目代码考试科目代码 817 考试科目名称考试科目名称 高等代数高等代数 （本考试科目共（本考试科目共 3 页，第页，第 1 页）页）杭杭 州州 师师 范范 大大 学学 2018 年招收攻读硕士研究生入学考试题年招收攻读硕士研究生入学考试题 考试科目代码：考试科目代码：817 考试科目名称：考试科目名称：高等代数 说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负每题每题 15 分，分，共共 150 分分 1.将多项式分别在实数域与复数域上分解成不可约多项式的乘积1nx 2.设与的最大公因式是一个二次32()(1)42f xxt xxu32()2g xxtxu多项式，求的值t u3.求下列行列式的值：211122222111111111nnnnnnaaaaaaaaa4.讨论：当 取何值时，二次型是t222123123121323(,)42106f x xxxxxtx xx xx x正定二次型5.已知，1(7,10,1,1,1)T2(6,8,2,3,1)T3(5,6,5,5,1)T都是线性方程组 4(1,2,3,2,0)T 123451234523451234503230226054330 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx的解向量。
杭杭 州州 师师 范范 大大 学学 硕硕 士士 研研 究究 生生 入入 学学 考考 试试 命命 题题 纸纸 2018 年年 考试科目代码考试科目代码 817 考试科目名称考试科目名称 高等代数高等代数 （本考试科目共（本考试科目共 3 页，第页，第 2 页）页）（1）求的一个极大无关组1234,（2）判断（1）中所求得的极大无关组是否是方程组的一个基础解系；若不是，将其扩充成方程组的一个基础解系6.设 A 是 n 阶方阵，证明：（其中表示 A 的伴随矩阵）1*nAA*A7.设是 n 个实数，A 是 n 阶方阵01-1,na aa 0122101000001000000000001nnAaaaaa（1）若是 A 的特征根，试证是属于的特征向量；21(1,)nT（2）若已知 A 有 n 个两两互异的特征根，求可逆阵 P，使得是12,n 1P AP对角阵8.设为有限维欧氏空间 V 上的正交变换1(),VV 2()VV 证明：（1）和都是 V 的线性子空间；（2）1V2V12VVV9.设为实数域上次数小于 4 的23401230123()|,R xf xaa xa xa xa a a aR多项式构成的向量空间，定义上二元运算如下 4 R x，11(),()()()f x g xf x g x dx证明：（1）上述二元运算是上的内积；4 R x（2）求在上述内积下，欧氏空间的一组规范正交基。
4 R x 杭杭 州州 师师 范范 大大 学学 硕硕 士士 研研 究究 生生 入入 学学 考考 试试 命命 题题 纸纸 2018 年年 考试科目代码考试科目代码 817 考试科目名称考试科目名称 高等代数高等代数 （本考试科目共（本考试科目共 3 页，第页，第 3 页）页）10.设 V 是全体 2 阶实方阵构成的向量空间，定义 V 到 V 的映射：，其中)()xAxxV abAVcd（1）证明：是 V 上的线性变换；（2）当时，分别求的核和像的基和维数1224A 。