一）函数1凹（凸）函数1.1凸集凸集：对于任意两点和，且对于每一种，当且仅当为真时，集合为凸集凸集规定集合内两点之间的连线必须也在集合内，即该集合不存在任何孔，它的边沿也不能有缩进例如，平面中，一条线段就是一种凸集，而一种圆圈则不是1.2凹（凸）函数简介凸集是为了引入凹（凸）函数：不管是凹函数还是凸函数都规定其定义域是凸集我们可以先举个例子直观感受下凹（凸）函数的特性，例如函数就是一种凹函数，它在定义域内呈现出峰形；函数就是一种凸函数，它在定义域内呈现谷底目前具体给出凹（凸）函数的定义：对于函数，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当时，函数f为凹函数对于函数，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当时，函数f为凸函数若将不等号“” 和“”分别变换成严格不等号“”和“”，上述定义便成了严格凹函数和严格凸函数的定义由于凹函数的定义域为凸集，因此点也一定在函数的定义域内我们可以运用凹（凸）函数和严格凹（凸）函数判断函数极值的状况凹函数一定存在绝对极大值，但绝对极大值也许不是唯一的，由于如果山峰涉及一种平顶，则也许存在多重绝对极大值仅当我们限定它为严格凹形函数时，绝对值才也许是唯一的1.3凹（凸）函数与凸集的关系一方面我们必须区别凸集与凸函数的概念。
根据定义，可知当“凸的”在描述集合时，它规定该集合不能浮现任何孔，边沿也不能有缩进这不同于之前的凹（凸）函数：当“凸的”在描述函数时，它拟定的是一条曲线或曲面是如何弯曲的但凹（凸）函数的确与凸集有关除了定义域都规定是凸集之外，它们都可以引致一种凸集定理是凹函数是凸集；是凸函数是凸集即，由函数上的点以及函数曲线（曲面）之下的点构成的集合若是凸集该函数为凹函数；由函数上的点以及函数曲线（曲面）之上的点构成的集合若是凸集该函数为凸函数2拟凹（拟凸）函数不管是凹（凸）函数还是严格凹（凸）函数，它们对函数均有比较强的设定但是一般，理论研究的工作之一是为保证获得成果，辨认出我们需要对函数进行的最弱的可行设定拟凹（拟凸）函数则是一种相对而言更弱的条件拟凹（拟凸）函数的定义如下：对于函数，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当时，函数f为拟凹函数对于函数，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当时，函数f为拟凸函数若将不等号“” 和“”分别变换成严格不等号“”和“”，上述定义便合用于严格拟凹函数和严格拟凸函数的定义我们也可以通过更直观的措施检查函数的拟凹性和拟凸性设 为函数在水平上的上等值集，为函数在水平上的下等值集。
定理对于值域内的所有y值，都是凸集是拟凹函数对于值域内的所有y值，都是凸集是拟凸函数经济学中常假设拟凹的效用函数根据定理，拟凹的效用函数保证了其上等值集为凸集这里有个问题，我的概念有些模糊，二元的效用函数下，介无差别曲线凸向原点也保证其上等值集为凸集，感觉那时上等值集是平面上可以画出来的但目前这里的上等值集为凸集应当是三维的，两个凸集有关系吗？3函数间关系（1）是（严格）凹函数是（严格）凸函数；（2）是（严格）拟凹函数是（严格）拟凸函数；（3）是（严格）凹函数是（严格）拟凹函数（反之不成立）；（4）是（严格）凸函数是（严格）拟凸函数（反之不成立）；（5）单调函数既是拟凹函数也是拟凸函数（6）凹（凸）函数相加仍为凹（凸）函数，拟凹和拟凸函数则没有类似关系二）无约束的最优化问题1一元函数的无约束极值本讲义将讨论的函数范畴限定在二次持续可微函数的范畴里给定一种二次持续可微的一元函数,易知，它在处获得极值的一阶必要条件为：而该极值究竟是极大值还是极小值得看的符号：若，则为唯一的绝对极大值；若，则为唯一的绝对极小值运用上述极值的导数条件，我们可以推导出极值的微分条件，即：极值的一阶必要条件：对于任意非零，函数的一阶全微分为零；对于任意非零，我们也可以通过计算函数的二阶全微分来判断极值的状况。
综上，当函数为二次持续可微时，它获得极值的必要条件为：（1）函数在获得绝对极大值，对于任意非零都成立； （2）函数在获得绝对极小值，对于任意非零都成立在满足必要条件的前提下，函数获得唯一的绝对极值时充足条件为，对于任意非零都成立函数在获得唯一绝对极大值；，对于任意非零都成立函数在获得唯一绝对极小值只要将改为一阶微分向量，以上极值的微分条件能直接从单变量的状况推广至两个甚至多种变量的状况2多元函数的最优化问题2.1一阶条件稳态值稳态值是指选择变量的最优解还是指函数的最优解?产生疑问是由于蒋中一那本书里提到的是稳定值的概念，用的是后一种表述前一种表述是高微笔记上记的 ：上的函数的稳态值，在该点处，下面几种等式同步成立：定理如果在点最优解能不能这样表达？在Reny的附录里有体现式，我们也许得到局部最大（小）值，即对于一种尽量小的邻域内，所有点均有 ，那么稳态条件必然满足2.2二阶条件直觉上，多元函数与一元函数同样，在稳态值获得最大值还是最小值与的符号有关我们先对进行微分，可得：其中，为海塞矩阵根据杨格定理：，因此海塞矩阵为对称矩阵在判断的符号之前，我们先正（负）定矩阵及其鉴定措施定义若对于所有的，始终成立，则称正定，A为正定矩阵；若对于所有的，始终成立，则称负定，A为负定矩阵；若对于所有的，始终成立，则称半正定，A为半正定矩阵；若对于所有的，始终成立，则称半负定，A为半负定矩阵。
根据以上定义，若要判断的符号，我们只需鉴定与其相应的海塞矩阵的正（负）定其实，通过鉴定海塞矩阵的正（负）定，我们也可以鉴定函数的凹（凸）性，即对于二次持续可微函数， （1）其海塞矩阵负定函数为严格凹函数存在唯一绝对极大值；（2）其海塞矩阵正定函数为严格凸函数存在唯一绝对极小值接下来简介正负定的鉴定措施定义主子阵：对矩阵A，由A 的 k个主对角线元素及其相应的非对角线元素来得到的矩阵，称为A的k阶主子阵；由A 的 前k个主对角线元素及其相应的非对角线元素来得到的矩阵，为k阶前主子阵高微笔记里是前主子阵看后来感觉那里记的概念不精确，就用了金教师上课用的解释，但只有顺序主子式的简介，不懂得适不适合前主子阵主子阵的行列式为主子式；前主子阵的行列式为顺序主子式我们用表达的k阶顺序主子式（其中），如:，,…定理对于二次持续可微函数，（1）海塞矩阵正定；（2）海塞矩阵负定用表达海塞矩阵H的指标（1,2,3，…，n）的任意排序，为的k阶顺序主子式，则（3）海塞矩阵半正定；（4）海塞矩阵半负定从而，我们给出极值的充足条件：已知二次持续可微函数， (1)其海塞矩阵负定严格凹函数 为函数的唯一绝对极大值；(2)其海塞矩阵正定严格凸函数 为函数的唯一绝对极小值。
3举例：二元函数的无约束极值问题有一种二次持续可微函数，可知其海塞矩阵为，则，,，根据之前的鉴定规则， (1) ，为严格凹函数；(2) ，为严格凸函数；(3) ，为凹函数；(4) ，为凸函数；若，我们就可以根据函数的凹凸性来鉴定函数在点获得的是绝对极大值还是绝对极小值三）具有约束条件的最优化问题之前的部分只是考虑了无约束条件的最优化问题，这即是说在求极值的过程中，我们没有对选择变量的值进行约束，从而求得的解也许是负值，也也许很大然而考虑到经济学是建立在稀缺的资源如何配备的问题上的，因而在经济学的最优化求解过程中，我们一般不得不面临资源的稀缺性——即对选择变量的值加上约束条件约束条件大体分三类：等式约束、非负约束以及更普遍的，其他形式的不等式约束我们将依次简介相应的求解措施从目前开始，讨论将以最大化问题为主，在解决最大化问题后会稍微提及解决最小化问题的措施1等式约束有关解决等式约束的措施，其实我们已经学过了，就是运用拉格朗日措施求解的过程目前简要回忆拉格朗日函数1.1二元目的函数、一种等式约束的约束最优化条件考虑二元函数下，具有约束条件的最优化问题其中c是一种常数，z和g都是二次持续可微函数。
该问题的拉格朗日函数为：一阶条件规定：求出上述一阶条件，可得二阶条件：将拉格朗日乘子也看作是变量，则最大化拉格朗日函数的过程可视为无约束最优化过程这也就是说，如果解满足L的无约束极值中极大值的二阶条件，我们便可拟定 是我们约束最优化问题的解事实上在二阶条件求导过程中，这里与无约束最优化核心区别在于， 与的取值不再是任意非零即可，等式约束中与的取值有关对等式约束两边求一阶全微分，可得：， 因此等式约束规定对函数进行二阶全微分可得：对进行二阶全微分，化简可得：将上式代入，可得：而定义 为加边海塞矩阵, 它是由海塞矩阵和一阶导数（边）构成的矩阵，用表达，H上面的-表达边则综上，我们可以得到目的为二元函数、仅涉及一种等式约束的最优化条件：当满足拉格朗日函数的一阶条件时，为约束极小（大）值1.1.1严格拟凹（拟凸）函数与约束极值的关系当函数y是二次持续可微时，我们还可以用函数的一阶导数和二阶导数（整顿成加边行列式）的措施来检查：设（1）z为严格拟凹函数；（2）z为严格拟凸函数将B与之前的加边海塞矩阵进行比较，可以发现两个不同之处：一为B中的加边元素是函数f而非g的一阶偏导数，二为B中的其他元素是f而非拉格朗日函数L的二阶偏导数。
然而，性等式约束的特定状况下（此类等式约束在经济学中常常遇到），可简化为,即从而，拉格朗日函数为从而且回到“边”，我们注意到线性约束函数产生一阶导数，因而一阶条件可写为因此B中的边只但是是的边被正的标量乘通过顺序提取的横边和纵边的公因子，得到成果，性约束状况下，与总有相似的符号由此可知，性约束的条件下，我们可以通过直接判断目的函数的严格拟凹（凸）性去判断约束极值的状况：(1)目的函数为严格拟凹函数函数在稳态值获得唯一的约束绝对极大值；(2)目的函数为严格拟凸函数函数在稳态值获得唯一的约束绝对极小值1.1.2拟凹（凸）函数与凹（凸）函数的关系平滑、递增、拟凹的效用函数上等值集为凸集凸的向下倾斜的无差别曲线由于等产量曲线的概念几乎与无差别曲线是一致的，我们可以类推：平滑、递增、拟凹的生产函数上等值集为凸集凸的向下倾斜的等产量曲线自己的总结，逻辑对么？1.2多元目的函数、m个等式约束的约束最优化条件目前将拉格朗日措施应用于多元函数面临的最优化问题为：拉格朗日函数为：一阶条件：二阶条件：此时加边海塞矩阵为：定义运用我们直接给出多元目的函数、m个等式约束的约束最优化条件：为满足一阶必要条件的解，则(1)函数在点获得唯一的约束绝对极大值；(2) 函数在点获得唯一的约束绝对极小值。
2非负约束考虑一元可微函数：由于约束条件，因此也许会浮现三种状况：（1）在x不小于零时获得绝对极大值此时我们得到了一种内点解在这种状况下，一阶条件是，和典型问题同样2）x等于零时获得绝对极大值此时我们得到了一种边界解，但仍然成立3）x不不小于零时获得绝对极大值此时我们也得到了边界解，但由于作为非线性约束问题中的一种局部极大值，候选点必须必可行域中的邻近点高，从而规定综上，为了在内找到的极大值， 必须满足如下三个条件中的一种：（1）且； （2）且；。