第四节 平板应力分析3.4 平板应力分析3.4.1 概述3.4.2 圆平板对称弯曲微分方程3.4.3 圆平板中的应力3.4.4 承受对称载荷时环板中的应力3.4.1 概述1、应用：平封头：常压容器、高压容器； 贮槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等2、平板的几何特征及平板分类 几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸 分 类：厚板与薄板、大挠度板和小挠度板w/tWl/5时（小挠度）按小挠度薄板计算3、载荷与内力载荷：①平面载荷：作用于板中面内的载荷② 横向载荷垂直于板中面的载荷③ 复合载荷内力：①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形♦当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以, 大挠度分析要比小挠度分析复杂的多♦本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫 Kirchhoff① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法 线w的挠度只有横向力载荷② 变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上 各点间的距离不变。
类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍 然垂直于变形后的梁轴线③ 平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计 ♦研究: 弹性,薄板 / 受横向载荷 / 小挠度理论 / 近似双向弯曲问题3.4.2 圆平板对称弯曲微分方程分析模型b-分析模型：半径R,厚度t的圆平板受轴对称载荷Pz,在r、0、z圆柱坐标系中， 内力Mr、M0、Qr三个内力分量轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在r、0、z圆柱坐标系中，挠度w只 是 r 的函数，而与0 无关求解思路：经一系列推导（基于平衡、几何、物理方程）一弯曲挠度微分方程（pz w）一求w求一内力M、M0f求应力Qr、t/2oyzRrobd 0d 0z d0微元体：用半径为r和r+dr的圆柱面和夹角为d0的两个径向截面截取板上一微元 体微元体内力 ：径向： Mr、Mr+（dMr/dr）dr周向：MB、M0横向剪力： Qr、 Qr+（dQr/dr）dr微元体外力 ：drdrPrdr+drrtdrocyzM oM oQr +QrMrMrdMrdQr上表面P = p rd 0 dr zQrMT=01、平衡方程微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零，即工MrM0zL・dM+dr、dr (丿der + dr ) d e - M rd e= 2 M < r eQd e dr sin + Q 'd" rrd edr + p rd e drzdr=02(2—54)c.dMM + ,0r dr（圆平板在轴对称载荷下的平衡方程）yr+dr）・Qr+MeeMeoQrMrd.2、几何协调方程（旷8）dQrdrMr+drdr取AB = dr，径向截面上与中面相距为drrBnzarnzbn1n1d w申+d申tZAz,半径为r与r + dr两点A与B构成的微段板变形后：微段的径向应变为£ = z ° + d小―= z如（第2假设）r dr dr过A点的周向应变为£ =加（r + 2冗r = z 9 （第1假设）2冗r r作为小挠度p=-曲，带入以上两式，得dr应变与挠度关系的几何方程：d 2 w2-55)dr 2z dwr dr3、物理方程根据第 3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。
由广义虎克定律可得圆板物理方程为：（82-56)1-（84、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程(2-55)代入(2-56)式：Ezd2wdw1-dr2-57)Ez1 dwd2w1-dr 2通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩M和M表示成w的形式由式（2-57） r 0可见，ar和a0沿着厚度（即z方向）均为线性分布，图2-31中所示为径向应力的分布图M■2,o2t i图2-31圆平板内的应力与内力之间的关系o、o的线性分布力系便组成弯矩M、M单位长度上的径向弯矩为: r 0 r 0t 十 E=J 2 o zdz = —J 2—+r —十 1 — p 222同理叫=—D，Et 3z2 dz2-58a)2-58b)参照 38 页壳体的抗弯刚度，——“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关(2-58)代入(2-57)，得弯矩和应力的关系式为：12 Mo = - zr t 312Mo = z0 132-59)(2-58)代入平衡方程(2-54),得： 业+ 1 业—丄如=J dr3 r dr 2 r2 dr D'即：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程：ddr1 d ( d w、 r r dr ( dr 丿2-60)Qr 值可依不同载荷情况用静力法求得3.4.3 圆平板中的应力(圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用) 承受均布载荷时圆平板中的应力：①简支②固支 承受集中载荷时圆平板中的应力一、承受均布载荷时圆平板中的应力O图2-32均布载荷作用时圆板内Qr的确定据图2-32,可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即：q =乞辺=匹r 2 冗 r 2代入 2-60 式中，得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为：ddr1 d ( dw、 r r dr ( dr 丿pr2 D'对r连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率:dw pr 3 C r C= + 1- + -2- dr 16 D' 2 r2-61)对 r 连续三次积分，得到中面在弯曲后的挠度。
w =巴 + + C ln r + C （2-62）64 D' 4 2 3C1、C2、C3 均为积分常数对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2 =0 ,于是上述方程改写为：dwdrpr 3 C r+16 D' 22-63)pr 4 C r2w = + 1 + C64 D' 4 3式中 C1、C3 由边界条件确定 下面讨论两种典型支承情况（两种边界条件）① 周边固支圆平板② 周边简支圆平板p p周边固支圆平板 周边简支圆平板图2-33承受均布横向载荷的圆板1、周边固支圆平板：（在支承处不允许有挠度和转角）p周边固支圆平板dwr = R, = 0drr = R, w = 0将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：pR 2C =--1 8 D'pR 4C =-3 64 D'代入式（2-63）得周边固支平板的斜率和挠度方程：dwdrpr2-64)(r 2 - r2将挠度w对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58）,便得固支条件下的周边固支 圆平板弯矩表达式：M = 「R2 (1 +y)-r2(3 +p)2-65)r 16 LM" = L R2 (1 +卩)-r2 (1 + 3 卩0 16 L由此（代入 2-59）弯曲应力计算试，可得 r 处上、下板面的应力表达式：_ M _Q = + - = +r 126MQ = + 旷=+0 1263 p「8 t 2 L3 JL「8 t 2 LR2 (1 + p ) — r2 (3 + p)]R2 (1 + p) — r2 (1 + 3p)]2-66)周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34（a）所示。
最大应力在板边缘上下表面，即G ） = ±1.0圆板的弯曲应力分布（板下表面）3(1-4)pR2t2 rR图 2-342、周边简支圆平板将上述边界条件代入式（2-63）,解得积分常数Cl、C3： 代入式（2-63）得周边简支平板的挠度方程：2 — r 2 ）(2—67)p周边简支圆平板弯矩表达式：Mu="（3 + 卩）（R2 — r2 ）16_ P2-68）16R2（3 + 卩）-r2 （1 + 3卩）］应力表达式：G = + P （3 + 卩）（R2 - r2）2-69）PR2 （3 + 卩）一r2 （1 + 3卩）］可以看出，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处r = 0，r maxmaxpR 216G ） = （cfi）=u3（3 + 卩）pR 2r maxmax周边简支板下表面的应力分布曲线见图 2-34(b)图2-34圆板的弯曲应力分布(板下表面)3、比较两种支承a. 边界条件r = R,dw=0 drr = R,w=0r = R ,w=0r = R ,M=周边固支时:周边简支时:b. 挠度周边固支时，最大挠度在板中心wf = pR4 （2-70）max 64 D '周边简支时，最大挠度在板中心ws = 5 +卩PR4 （2-71）max 1 + 卩 64 D '简支一 ws 5 + 0.3卩=0.3 max = = 4.08固支 wf 1 + 0.3m ax表明: 周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。
c. 应力周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为G ）f = 3pRl （2-72）r max 4 t 2周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为G ）s = 3（3 +卩）込 （2-73）r max 8 t 2简支一 G ）s 3.3 …卩 H 0.3 :~r、max = = 1.65固支 （o ） 2r m ax表明: 周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力内力引起的切应力：在均布载荷p作用下，圆板柱面上的最大剪力（Q ） = PR（ r = R处），r m ax 2近似采用矩形截面梁中最大切应力公式t = 3 Q，m ax 2 bh得至％ = 3 Plk = 3出max 2 1 X t 4 t最大正应力与（R卫同一量级；。