一 拉格朗日中值定理1．定理内容拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧， 出现创新的一个进程 发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级用现代的语言来描述，在一个自变量x 从 x 变为 x+1 的过程中，如果函数f(x) 本身就是一个极限值，那么函数f(x+1) 的值也应该是一个极限值，其值就应该和 f(x) 的值近似相等，即f(x + 1) - f(x) 1≈0这就是非常著名的费马定律，当一个函数f(x) 在 x=a 处可以取得极值，并且函数是可导函数，则 f′x= 0著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段， 并没有很成熟的概念， 没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞在所有的微分中值定理中， 最重要的定理就是拉格朗日中值定理最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x) 在闭区间 [a,b]内任取两点 x0和x1，并且函数 f x 在此闭区间内是连续的，f′(x) 的最大值为 A，f′x 最小值为 B，则f(x1)- f(x0)x1- x0的值必须是 A和 B之间的一个值。
下述就是拉格朗日中值定理: 如果存在一个函数满足下面两个条件， （1）函数 f 在闭区间 [a ，b] 上连续；（2）函数 f 在开区间（ a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点 ，使得 f ′ ξ=f(b) - f(a)b- a. 2.定理意义拉格朗日中值定理在数学的微积分属于重要的定理，是微分中值定理中应用最为广泛的定理，在发展过程中推算出了其他的微分中值定理，在实际应用中，具有重要的使用价值其中，拉格朗日中值定理在几何运算中所具有的意义是：若一个连续函数 y = f(x) 在两点 A a,f a、B(b, f(b)) 之间不存在垂直于x 轴的切线，那么在这两点之间至少存在这一点C c,f c，这一点的切线平行于直线AB 在运动学中所具有的意义是， 在任意的一个曲线运动过程中至少存在着一个时间点的速度等于这个曲线运动的平均速度二 拉格朗日中值定理的应用在前人对微分中值定理的研究当中，统计经历了几百年的时间，由费马提出费马定理开始， 经历了从简单到复杂， 从特殊情况到一般情况， 从简单的概念到复杂的概念这样的发展阶段 在微积分当中， 拉格朗日中值定理是一个非常重要的基础知识。
拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念拉格朗日中值定理在属于微积分当中的微分中值定理中有着承前启后的作用，在研究理论上拉格朗日中值定理即是罗尔定理的延伸又衔接了柯西定理，因此，不言而喻的是拉格朗日中值定理在研究函数的进程中有着非常重要的作用在数学知识应用当中， 拉格朗日中值定理是对函数研究的一个重要工具，并且有着十分广泛的应用这些作用主要表现在以下几种情况，比如在求导极限定理、求函数极限、 证明不等式、 说明函数单调性、 讨论方程的根是否存在的情况和对导数估值等， 它在解决数学问题时通常将问题从难化简，对解决难题起到很好的作用本文着重讲解的是拉格朗日中值定理各种的应用1. 求极限例 1. 求解limx→axa- axa- x分析：我们先将此式子的分子加上一个aa，然后再减去一个 aa如，xa- ax a - x=xa- ax- aa+ aa a - x=aa- ax a - x=aa- ax a - x-aa- xa a - x此时，容易看出应该构建的函数的形式，令f t= at，g t= ta，假设这两个函数都在闭区间 [a,t]或者[t,a]上连续并且在相同开区间上面可导的，并且这两个函数的两个端点值都分别相等，就是满足拉格朗日中值定理的条件，这是就分别存在着两个点 μ ，ξ 在 x 和 a 之间，当 x → a时，有 μ→a，ξ → a 得limx→axa- ax a- x= limx→a[aa- ax a- x-aa- xa a - x]= limξ→ aaξln a - limμ→ aaaμ-1= aa(ln a - 1)例 2. 存在函数 f′′(x) 是连续的并且有 f′′(a) ≠0, 满足下列式子 f b + x = f b +xf′b + μ x (0 x21 + ξ2>x21 + (1 + x)2那么在 x →∞时，ξ →∞，则 lim x→∞x21+x2= 1， lim x→∞x21+(1+x)2= lim x→∞x21+x2= 1，通过夹逼定理就可以知道lim x→∞x2 1 + ξ2= 1所以，根据上面的计算，原函数= lim x→∞x2arctan ξ?11+ ξ2= limx→∞1arctan ξ?limx→∞x21+ ξ2=2π。
在运用拉格朗日中值定理求解极限的过程中，最主要的步骤就是找到函数f x 和其定义域的取值范围此时假设为闭区间[a,b] ，这个时候的拉格朗日中值定理公式就可以列为f b - f ab- a= f ′ ξ，这个式子的左边是这个函数在这个闭区间上面两个端点值的差与闭区间长度的比值因此公式在变成这种形式之后， 就可以得出相应的函数与区间当极限形式为00的未定式，就可以想到需要构建一个中间函数，此函数满足拉格朗日中值定理的需求条件， 然后对函数采用拉格朗日中值定理的方法去解决问题在解决这种类型的题目要采用罗尔定理的原因，在现目前大多数微积分的相关教材中，在解决类型问题时多采用构建中间函数运用罗尔定理解决问题在面对一些题目时， 这些函数有可能并不满足拉格朗日中值定理的条件，需要去构建一个中间函数， 去满足拉格朗日中值定理的需求条件，然后将构建的这一函数与原函数紧密联系起来， 再将构建的函数转化为原函数， 从而运用拉格朗日中值定理去解决问题当遇到典型的极限形式为 ∞?0型，在此我们应该先应用洛必达法则去求解但是在计算过程中会发现， 如果采用洛必达法则反而更加麻烦的时候，应该多观察题目是否可以运用拉格朗日中值定理来求解题目，简化题目，因此我们可以观察给出的式子中， 然后构建出拉格朗日中值定理的基本形式，运用拉格朗日中值定理去求解这道题目。
2 证明等式例 4. 假设函数 f x =ln1- ttx0dt在区间（ -1,1 ）有意义，证明： f x + f - x =12f x2证明：令 g x = f x + f - x -12f x2= 0，求得这个函数的导数g′x = f′x - f′- x - xf′x2= 0我们可以根据题意求得 f′x =ln 1- xx，因此，g′x =ln 1 - xx+ln 1 + xx-ln 1 - x2x2= 0根据常数的导数为0，可以得出 g x= 0，因此证明了原式成立例 5：假设函数 f x = arccosx + arcsinx在闭区间 [0,1] 上面是连续的，并且在开区间(0,1) 上面是可导函数，证明：f x = arccosx + arcsinx =π2证明：由于该函数 f x 闭区间 [0,1] 上面是连续的，并且在开区间(0,1) 上是可导函数，那么在该去间内存在着一点b，使得f′b =f 1 - f(0)1 - 0又 arccosx′= - 11- x2， arcsinx′=11- x2因此， arccosx′+arcsinx′= 0，得到 f′x = 0，则f x 是一个常数函数。
在零点有， f 0 = arccos0 + arcsin0 =π2所以， f x= arccosx + arcsinx =π2根据拉格朗日中值定理可以推导出一个结论，如下所示假设函数 f x 在一个固定区间内可导，设这个可导区间为A，则在点 x 处于区间 A中， 就存在着 f x 的导函数等于 0，那么就证明 f x 在区间 A中是一个常数利用拉格朗日中值定理去证明等式这是该定理十分重要的一项运用，在证明等式的过程中，用题目中给出的证明等式的式子去构建出类似于拉格朗日中值定理形式的式子在证明恒等式时，可以先假设这个恒等式两边的式子相减为0，构建出一个新的函数，然后根据常熟的导数为0 来证明这个恒等式成立2. 证明不等式例 6. 证明：x1- x20证明：先假设 f x = arcsinx，在区间 [0,x] 上运用拉格朗日中值定理可以得到arcsinx x=11 - ξ2? arcsinx =x1 - ξ2又因为 ξ 是存在于闭区间 [0,x] 内的，所以 ξ x1 - x2那么，x1- x20). 证 明 ： 令 f a = ln(1 + a) ， 由 题 意 可 知 0 0) 在求解不等式的时候， 把异于其他式子的函数用拉格朗日中值定理表示出来，推算出相似的式子进行比较，然后证明原式的大小。
求解不等式的基本思想是， 在拉格朗日中值定理中的公式形式为，存在一点ξ 在开区间 a,b 内，不管点 ξ 在该区间的哪一点，都可以根据拉格朗日中值定理计算出 f ′(x) 的值域的取值范围， 还可以利用导数 f′x 的两端点值，运用拉格朗日中值定理得出的 f ′(ξ )就可以得到所需的不等式，此时f′a+ θ c =f a + c - f ac(0 1 n可以推导出，ln 2 - ln 1 0，使β=αM，由于 m 、n 这两点在区间 (a,b) 内，则有 m - n ≤β ，运用拉格朗日中值定理可以得到f m - f n=m - n f′ξ≤ m - n M ≤α根据一致连续定理可以知道，函数在f x 在区间 (a,b) 是一致连续的例 11：函数 f x = 2x2- 8，即f′x = 4x当 x 在开区间 0,+ ∞ 时，有 f′x> 0，f x 在开区间 0,+ ∞ 单调递增；当 x 在开区间 - ∞,0 时，有 f′x 0，f x 在这个确定的区间内单调递增；f′x 0根据零点定理可以得到， g x 在开区间(0,1) 内至少存在着一个实根，即f x + x - 1 = 0。
在证明此方程是否在开区间(0,1) 内存在唯一实根， 采用反证法来证明 方程f x + x - 1 = 0在开区间 (0,1) 存在着两点a,b （0a，那么在闭区间 [a,b] 内，这个函数满足拉格朗日中值定理的需求条件，有f a = f b ，则在此区间内存在一点c 使得f ′ c = 0，则f′c = 3x2+ 1 = 0这是矛盾的，所以这个方程就只有一个根在证明方程根的存在性的过程中， 可以依据所给出的根的取值范围例如是闭区间[a,b] ，把函数假设为 f x ，然后利用拉格朗日中值定理对方程根的存在性进行证明， 在证明的过程中， 一般是证明函数是存在的用推导的方法，在证明根的存在性的时候，一般采用的是反证法8.拉格朗日中值定理使用误区在拉格朗日中值定理的实际运用当中，往往会出现一些错误的应用这种误区通常在：在用拉格朗日中值定理证明的过程中，可以推导出lim x→0cos1x= 0我们都知道 cos1x在x →0的极限值是不存在的因此，这就证明了该定理是错误的下面举例说明：（ 误 区 一 ） 例15. 证 明 ： 假 设 函 数 f x =x2sin1x(x ≠0)0(x = 0)， 那 么 函 数f x 在闭区间 0,x 上连续，在开区间0, x 上可导。
并且存在着一点a 在开区间(0,x) 内，使得f x - f 0 = f ’ a x那么根据题意，可以得到 xsin1x= 2asin1a- cos1a? cos1a= 2asin1a- xsin1x在 x→ 0，a →0，可以得出 cos1a→0，从而可以推到出 limx→0cos1x= 0但是limx→0cos1x。