逆用求导公式法则，合理构造函数求解抽象函数问题 函数与导数历来是高考的重点和热点问题，对一些具体函数的求导问题，只需正确运用和、差、积、商函数的求导公式即可解决，但是对于一类抽象函数的求导问题，尤其是需要逆用求导公式法则的题目，由于平时训练不多，因而求解起来觉得有点困难本文试图通过一些例题来揭示其一般规律，希望对大家有所帮助一、逆用和差函数求导公式构造函数例1：若定义在R上的函数f(x）满足f（0）=-1，f`（x）>k>1，则下列结论中一定错误的是（）A．f（）C．f（）分析：由f`(x）>k可联想差函数求导法则，构造函数f（x）=kx-1解：构造函数f（x）=2x-1若取k=，则f（）=f（）=<=，排除A若取k=，则f（）=f（10）=19>11=，排除D再构造函数f（x）=10x-1若取k=2，则f（）=f（）=4>1=，排除B例2：函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意的x∈R，f`（x）>2，则f（x）>2x+4的解集为（）A．（-1，2）B．（-1，+∞）C．（-∞，-1）D．R解：构造函数g（x）=f（x）-2x-4，则f（x）>2x+4等价g（x）>0。
由f`（x）>2得g`（x）=f`（x）-2>0，∴g（x）在（-∞，+∞）上单调递增又f（-1）=2，∴g（-1）=f（-1）+2-4=0，∴f（x）>2x+4等价于g（x）>g（-1），则x>-1，故选B评析：在处理可导函数问题时，若已知条件为af`（x）>bg`（x）或af`（x）m〕，则可构造函数f（x）=f（x）-mx这里还必须联合条件与结论之间的结构特征的关系，具体问题具体分析二、逆用积函数求导公式构造函数例3：设函数f（x）的定义域为R，且对任意的x∈R，f`（x）+f（x）>0，则（）A．f（2016）>e2016f（0）B．f（2016）解：由f`（x）+f（x）>0，可构造函数F（x）=exf（x），F`（x）=ex［f`（x）+f（x）］>0，∴F（x）在R上单调递增，∴F（2016）>F（0）即e2016f（2016）>e0f（0），∴f（2016）>，故选D例4：设函数f（x）满足x2f`（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x>0时，f（x）满足（）。
A.有极大值无极小值B.有极小值无极大值C.既有极大值又有极小值D.无极大值也无极小值解：构造函数g（x）=x2f（x），则g`(x）=[x2f（x）]`=x2f`（x）+2xf（x）=，∴g（2）=4f（2）=，∴x2f`（x）=-2xf（x）=，∴f`（x）=再令h(x)=ex-2g(x)，∴h`(x）=ex-2g`(x）=，∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（2）=e2-2g（2）=0，即h（x）≥0又当x>0时，f`（x）≥0，∴f（x）在（0，∞）上单调递增，∴f（x）既无极大值也无极小值，故选D评析：由求导公式[f（x）g（x）]`=f`（x）g（x）+f（x）g`（x）的逆用可知，类比该公式构造函数处理有关问题的常见形式有：1.若已知式子含有f`（x）g（x）+f（x）g`（x），则可构造函数F（x）=f（x）g（x）2.若已知式子含有f`（x）+nf（x），则可构造函数g（x）=xnf（x），于是g`（x）=xn-1[xf`（x）+nf（x）]，这样就可用到已知式子了特别当n=1时，已知式子为f`（x）+f（x），则构造函数g（x）=xnf（x）。
3.若已知式子含有f`（x）+f（x），则可构造函数g（x）=exf（x）三、逆用商函数求导公式构造函数例5：（2015年全国卷II）设函数f`（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时xf`（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（）A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（-1，0）∪（1，+∞）C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（0，1）∪（1，+∞）解：令F（x）=，∵f（x）为奇函数，∴F（x）为偶函数；又F`（x）=，当x>0时，x`f（x）-f（x）<0,∴F（x）=在（0，+∞）上单调递减据对称性知F（x）=在（-∞，0）上单调递增，又f（-1）=0，f（1）=0，由数形结合法可知，使f（x）>0成立的x的取值范围为（-∞，-1）∪（0，1），故选A例6：已知f（x）为R上的可导函数，且对任意x∈R均有f（x）>f`（x），则以下判断正确的是（）A.f（2017）>e2017f（0）B.f（2017）0可构造函数g（x）=，则g`（x）==［f`（x）-f（x）］<0，∴g（x）在R上递减，即g（2017）
评析：由求导公式[]`=的逆用可知，类比该公式构造函数处理有关问题的常见形式有：1.若已知式子含有f`（x）g（x）-f（x）g`（x）且g（x）≠0，则可构造函数F（x）=2.若已知式子含有xf`（x）-nf（x）且x≠0，则可构造函数g（x）=，从而g`（x）=特别当n=1时，若已知式子含有xf`（x）-f（x），则可构造函数g（x）=3.若已知式子含有f`（x）-f（x），则可构造函数 -全文完-。