第二十九章 几何的回顾l 应知一、基本概念证明的必要性对于一个命题，仅靠直观感受、或者测量来判断其真假是不可靠的，只有通过逻辑推理来判断，才能得出可靠的结果二、基本法则1. 证明的基本方法：证明的本质是逻辑推理，其依据是各种已经经过证明是正确的命题，即定理而定理的本源根据是公理，公理是不需要证明的，而被认为是正确的命题2. 用推理的方法研究三角形、四边形的性质（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等4）全等三角形的对应边、对应角分别相等5）三角形的内角和等于180°．（6）等腰三角形的两个底角相等简写成“等边对等角”）（7）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）（8）平行四边形性质：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等，平行四边形的对角线互相平分9）特殊平行四边形的性质和判定（10）四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形矩形是有一个内角为直角的平行四边形；菱形是有一对邻边相等的平行四边形；正方形是有一个内角为直角、有一组邻边相等的平行四边形，正方形既是矩形，又是菱形。
3. 反证法反证法是数学中常用的一种方法，反证法也称为归谬法用反证法证明一个命题常采用以下步骤：（1）假定命题的结论不成立，（2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的4）肯定原来命题的结论是正确的用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立“，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾的方式暴露出来的这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定结论不成立”与“结论成立”必然有一个正确既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了用反证法证明文字叙述的命题，需写出已知、求证，根据命题要求画出图形，再经过推理论证，得出与所学过的知识相矛盾的结论．从而否定原来的假设．l 应会1. 用逻辑推理的方法，依据已知条件、公理、定理证明几何命题是否真命题2. 用反证法证明几何命题是否真命题l 例题1. 已知：△ABC的AB．BC边上的垂直平分线DF、EF交于点F证明：点F在AC边的垂直平分线上2. 如图，点C为线段AB延长线上一点，ΔAMC, △BNC是等边三角形，且段AB的同侧，求证：AN=MB．3. 如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3，D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF//AB，交直线DE于F，设CD=x． (1)当x取何值时，四边形EACF是菱形?请说明理由； (2)当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？4. 如图，在△ABC中，∠A的外角平分线与BC的延长线交于E，求证：AB＞AC．l 参考答案观察与分析：要证明三条边的垂直平分线交于一点，只需证明两条边的垂直平分线的交点在第三条边的垂直平分线上即可。
1.证明：连接FA、FB、FC(如图) ∵DF、EF为AB、BC边上的垂直平分线 （已知） ∴FA=FB （线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） 同理FB=FC ∴FC=FA （等量代换） ∴点F在AC的垂直平分线上（到线段两端点的距离相等的点在其垂直平分线上）观察与分析：要证AN＝BM，只需证明△ABN≌△MNB，已知△AMC, △BNC是等边三角形，易得△ABN≌△MNB 2.证明： ∵△BNC是等边三角形 （已知） ∴∠NBC=∠BNC，BC=NC （等边三角形三边相等，三内角相等） 同理：AC=MC ∴AB=MN（等量代换） ∠NBA=∠BNM （等角的补角相等） ∵BN=NB（公共边） ∴△ABN≌△MNB （SAS） ∴AN=MB （全等三角形的对应边相等） 3. 解： (1)∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC． 又∵DE⊥BC，∴EF//AC． ∵AE//CF，∴四边形EACF是平行四边形． 当CF=AC时，四边形ACFE是菱形． 此时CF=AC=2，BD=3－x，tan B=， ∴ED=BD·tan B=(3－x)． ∴DF=EF－ED=2－(3－x)=x． 在Rt△CDF中，CD2＋DF2=CF2， ∴x2＋(x)2=22， ∴(负值不合题意，舍去)。
即,此时，四边形ACFE是菱形 (2)由已知条件可知四边形EACD是直角梯形， 根据题意，得：，即解得：，∵不合题意，舍去∴，此时，梯形EACD的面积等于2.观察与分析：用反证法，AB＞AC的否定是AB≤AC，即AB=AC或AB＜AC．根据这两种情况推出矛盾即可获得证明4. 证明：如果AB≯AC，则AB≤AC(1)若AB=AC，则∠B=∠3．又∠1=∠2，所以∠B+∠3=∠1+∠2． 所以 ∠3=∠2，所以AE∥BE，此与AE与BC交于E矛盾，所以AB≠AC． (2)若AB＜AC，则∠B＞∠3，所以2∠B＞∠B+∠3．又∠B+∠3=∠1+∠2，∠1=∠2，所以∠B+∠3=2∠1，所以2∠B＞2∠1，所以∠B＞∠1．此与外角定理∠B＜∠1相矛盾，所以AB＜AC不成立．由(1)，(2)得AB＞AC．【注意】本题结论的否定出现两种情况，即AB=AC和AB＜AC．利用反证法证明时，必须对原结论否定得彻底，即把原结论的所有可能方面一一否定后，分别推出矛盾，最后才能肯定待证结论的正确性．一般地，待证命题的结论中出现“至多”、“至少”、“相等”、“不等”、“存在”、“不存在”、“唯一”、“不唯一”、“有理”、“无理”等断语时，常可考虑用反证法．- 5 -用心 爱心 专心。
