学习必备欢迎下载初中数学竞赛资料（10）二元一次方程的整数解甲内容提要1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若 a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解即如果（ a,b）|c 则方程 ax+by=c 有整数解显然 a,b 互质时一定有整数解例如方程3x+5y=1,5x-2y=7,9x+3y=6 都有整数解返过来也成立，方程9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解，（ 9，3）3，而 3 不能整除 10； （4，2）2，而 2不能整除1一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值2， 二元一次方程整数解的求法：若方程 ax+by=c 有整数解， 一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解） k 叫做参变数方法一，整除法：求方程5x+11y=1 的整数解解： x=5111y=yyyy2515101(1) , 设kky(51是整数），则 y=1-5k (2) ,把（ 2）代入（ 1）得 x=k-2(1-5k)=11k-2 原方程所有的整数解是kykx51211（k 是整数）方法二，公式法：设 ax+by=c 有整数解00yyxx则通解是akyybkxx00（x0,y0可用观察法）3， 求二元一次方程的正整数解：出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值用观察法直接写出。
乙例题例 1 求方程 5x9y=18 整数解的能通解解 x=53235310155918yyyyy设ky53（k 为整数），y=35k,代入得 x=99k 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载原方程整数解是kykx5399（k 为整数）又解：当x=o 时， y=2，方程有一个整数解20yx它的通解是kyyx5290（k 为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的例 2，求方程5x+6y=100 的正整数解解： x=52056100yyy(1)，设ky5(k 为整数 )，则 y=5k,(2) 把（ 2）代入（ 1）得 x=20-6k ，00yx解不等式组050620kk得 0k620,k 的整数解是1，2，3，正整数解是514yx108yx152yx例 3，甲种书每本3元，乙种书每本5元， 38 元可买两种书各几本？解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得3x+5y=38（x,y 都是正整数）x1 时， y=7，71yx是一个整数解通解是kykx3751（k 为整数）解不等式组037051kk得解集是3751k整数 k=0，1，2 把 k=0,1,2 代入通解，得原方程所有的正整数解71yx46yx111yx答：甲、乙两种书分别买1 和 7 本或 6 和 4 本或 11 和 1 本。
精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载丙练习 10 1， 求下列方程的整数解公式法： x+7y=4, 5x-11y=3 整除法： 3x+10y=1, 11x+3y=4 2,求方程的正整数解：5x+7y=87,5x+3y=110 3，一根长 10000 毫米的钢材， 要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250 毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？4， 兄弟三人，老大20 岁，老二年龄的2 倍与老三年龄的5 倍的和是97，求兄弟三人的岁数5， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号）4x2y=11, 10 x-5y=70, 9x+3y=111, 18x-9y=98, 91x-13y=169, 120 x+121y=324. 6, 一张试巻有20 道选择题，选对每题得5 分，选错每题反扣2 分，不答得 0 分，小这军同学得48 分，他最多得几分？7用观察法写出方程3x+7y=1 几组整数解：y= 1 4 2 x=371y参考答案练习 10 1.公式法由特解04yx得通解kykx074（k 为整数）由特解25yx得通解kykx52115（为 k 整数）整除法 x=3101y=31y-3y, 通解是kykx31310（k 为整数）通解是kykx11513（k 为整数）精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2. 11669112yxyxyxkykx503220322k3.有 6 种截法345乙甲2810乙甲2215乙甲1620乙甲1025乙甲519乙甲4.16， 135.A，D. 6.127.（略）精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 。