数学物理方法3-5green函数法

第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法§3.5 Green函数法§3.5 Green函数法§3.5.1 方程解的积分表示及Green函数的引进§3.5.3 利用保角变换求平面区域的Green函数§3.5.2 Green函数的求法和物理意义第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法一 拉普拉斯方程边值问题的提法1 第一边值问题（狄氏问题）2 第二边值问题（牛曼问题）uf ufn3 内问题与外问题1. 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数复习:0u 2. 高斯公式：()xyzSVPdydzQdzdxRdxdyPQR dxdydz,( ) SSVP EQEdSE ndSdiv E dxdydz R uf0u §3.5.1 方程解的积分表示及Green函数的引进第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法3. 第二Green公式：22()d()d VSvuuvvuVuvSnn  ()d()d()dd SSVVvuSu v nSdiv u vVu vuv Vn   ()d()d()dd SSVVuvSv u nSdiv v uVv uuv Vn   n=3,：体积微元，边界面积微元：体积微元，边界面积微元d ,dVSn=2,：平面面积微元，边界弧长微元：平面面积微元，边界弧长微元d ,dVS二、格林公式的结论：1 调和函数的积分表达式 拉普拉斯方程的基本解222221111lnlnrxyzkrxy 三维二维第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法1. Poisson方程解的积分表达式、调和函数的积分表达式 拉普拉斯方程的基本解00222 00022 0011, ()()()()11lnln, ()()MMMMrxxyyzzw Mrxxyy 三维二维二、格林公式的结论000000(,,),(, ){,},MMMxyzB MM r 0()0,w MMM设是上三维Poisson方程的解，即设是上三维Poisson方程的解，即()u M(),uF MM 在上，对和用第二Green公式得：在上，对和用第二Green公式得：0\(, )VB Muw 000\(\)111()[()]d BBMMMMMMuF M dVuSrn rrn 第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法0000011111()[()]d()44MMMMMMuu MuSF M dVn rrnr 令，由积分中值定理得：----- 三维Poisson方程解的积分表达式000011111()[(ln)(ln)]d(ln) ()22MMMMMMuu MuSF M dVnrrnr ----- 二维Poisson方程解的积分表达式000111()[()]d4MMMMuu MuSn rrn ----- 三维二维Laplace方程解（调和函数）的积分表达式000111()[(ln)(ln)]d2MMMMuu MuSnrrn 三维二维第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法定理3.5.1设设()u M是是 上的调和函数,则 （上的调和函数,则 （1））0udSn    （（2））0()u M满足球面满足球面(圆圆)平均值公式：平均值公式： 002(, )1()()d ,34B Mu Mu MSn επ ε¶=-=ò，， 00(, )1()()d ,22B Mu Mu MSn επ ε¶=-=ò注（注（1）为调和函数的必要条件）为调和函数的必要条件第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法利用Poisson方程解的积分表达式不能求解（边界法向导数未知）三维(),,u MFMufMPoisson方程边值问题：方程边值问题：000011111()[()]d()44MMMMMMuu MuSF M dVn rrnr 设设()v M是是 上的任一调和函数（上的任一调和函数（0v  ） ，由 Green 第二 公式得： ） ，由 Green 第二 公式得： d[]dvuvF VuvSnn 0000()[(,)(,)]d(,) ()uu MuG M MG M MSG M MF M dVnn 001(,)(),4MMG M Mv MMr因此：其中：因此：其中： Poisson方程 第一边值问题 解的方程 第一边值问题 解的Green函 数表示公式函 数表示公式000()()(,)d(,) ()u Mf MG M MSG M MF M dVn 0(,)0,G M MM令得：令得：第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法000(,)(),(,)0,MG M MMMMG M MM Green函数：函数：定理3.5.2Green 函数的性质 （Green 函数的性质 （1））1GdSn    （（2））1221(,)(,)G MMG MM  （（3））0010(,),4MMG M MMr 第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法 §3.5.2 Green函数的求法和物理意义0(), 1,4MMv MMvMr   000(,)(),(,)0,MG M MMMMG M MM 0011(,)4MMG M Mvr(),,u MFMufMPoisson方程边值问题：方程边值问题：Poisson方程第一边值问题解的方程第一边值问题解的Green函数表示公式函数表示公式000()()(,)d(,) ()u Mf MG M MSG M MF M dVn 第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法镜像法求格林函数：镜像法求格林函数：内侧的静电感应负电荷产生的电场等效成 外部某点负电荷产生的电场。

内侧的静电感应负电荷产生的电场等效成 外部某点负电荷产生的电场要求：电位在曲面边界上相互 抵消要求：电位在曲面边界上相互 抵消））在区域内部处放置正电荷，将金属闭曲面接地，边界曲面外侧的静电感应正电荷消失，电位为零；内部的正电荷和边界内侧静电感应的负电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数M0——总电位M00(,)G M M第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法  1011 41),(0 MMMMrrMMG半空间的格林函数zddpxo0MMr1MMrzddxo0MMr1MMr1M0MM000(,)(),(,)0,MG M MMMMG M MM {( , , ):}x y zz 0第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法球内的格林函数OMPMPMOMR rrrCR r 0100001011(,)44MMOMMMRG M MrrrR0M1MoP1 4解：M0点处放置正电荷电量 C 4M1点处负电荷电量例例3.5.1求三维球域的求三维球域的Laplace方程第一边值问题的方程第一边值问题的Green函数。

函数{( , , ):}x y zxyzR2222要求： ,PMPMCPrr 101 44210RrrOMOM连接连接OM0延长至延长至M1，满足，则有△满足，则有△ OPM0∽ △△ OM1P第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法OMPMPMOMR rrrCR r 01000010111(,)lnln22OMMMMMRrG M MrrR0M1MoP解：例例3.5.2求二维圆域的求二维圆域的Poisson方程第一边值定解问题：方程第一边值定解问题：( , ){( , ):}BRx yxyR2220要求( , )lnlnPMPMPBR C rr 100 111 22()0,(0, )()() ,(0, )u MMBRu Mf MMBR 210RrrOMOM连接连接OM0延长至延长至M1，满足，则有△满足，则有△ OPM0∽ △△ OM1P00(0, )()()(,)d BRu Mf MG M MSn 第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法引入极坐标，设引入极坐标，设200010 0(,),( , )(0, ),(,)RMMBR M  1002 0 02 (0, )11(,)ln()22MMMMMMMBRRrG M MRnrrR (,)() ( , ) d( , )d ,cos()MMuR f RRrRRf RRRR  0220 00202220 0220001 21 22第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法000(,)(),(,)0,MG M MMMMG M MM   §3.5.3 利用保角变换求平面区域的Green函数取取2222 0(0,0),( , ),,{( , ):1}MM x y rxyx yxy    可以验证：可以验证：111(ln )( , ),( , )2 11ln0,2rx yM x yrMr            注：注：不是不是1 4 r 三维单位球上的 Green 函数三维单位球上的 Green 函数 第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法第三章偏微分方程的定解问题第五节 Green函数法导数导数f '(z0)的幅角的幅角Argf '(z0)是曲线经过是曲线经过w=f(z)映射后在映射后在z0 处的处的转动角转动角.00000(),( )t tt tdwdzfzzz tdtdt其中其中w=f(z)Argf'(z0)导数导数f '(z0)的模的模|f '(z0)|是经过是经过w=f(z)映射后通过映射后通过z0的任 何曲线在的任 何曲线在z0的的伸缩率伸缩率。

Z 平面平面w 平面平面复变函数的导数的几。