阿贝成像原理和空间滤波【实验目的】1．了解阿贝成像原理，懂得透镜孔径对成像的影响． 2．了解透镜的傅里叶变换功能及空间频谱的概念． 3．了解两种简单的空间滤波．For personal use only in study and research; not for commercial use 4．掌握在相干光条件下调节多透镜系统的共轴．【实验仪器】光具座，氦氖激光器，溴钨灯（12V, 50W）及直流电源，薄透镜若干，可变狭缝光阑，可变圆孔光 阑，0调制用光阑，光栅（一维、正交及0调制各一），光学物屏，游标卡尺，白屏，平面镜.【实验原理】阿贝在1873年为德国蔡斯工厂改进显微镜时发现，大孔径的物镜能导致较高的分辨 率，这是因为较大的孔径可以收集全部衍射光，这些衍射光到达像平面时相干叠加出较细的 细节．例如，用一定空间频率的光栅作为物，并且用单色光加以照明，物后的衍射光到达透镜 时（这里先考虑土 1级衍射），当0级与土 1级衍射光到达像平面时，相干叠加成干涉条纹， 就是光栅的像；如果单色光波长较长或者L孔径小，只接收了零级光而把土1级光挡去，那么到达像平面上的只有零级光，就没有条纹出现，我们说像中缺少了这种细节．根据光栅方程，不难算出，物体上细节d能得以在像平面有反映的限制为d 二sin 0(1)1 sin 00为透镜半径对物点所张的角•换句话说，可分辨的空间频率为d 入（2）物平面上细节越细微、即空间频率越高，其后衍射光的角度就越大，更不可能通过透镜的有限孔径到达像平面，当然图像就没有这些细节．透镜就成像光束所携带的空间sin0•/裁二频率而言，是低通滤波器，其截止频率就是（2）式所示的， .瑞利在1896年认为 物平面每一点都发出球面波，各点发出的波在透镜孔径上衍射，到达像面时成为爱里 斑，并给出分辨两个点物所成两个模糊像——两个爱里斑的判据.其实阿贝与瑞利两种方 法是等价的.波特在 1906年把一个细网格作物 （相当于正交光栅 ），但他在透镜的焦平面上设置一些孔式屏对焦平面上的衍射亮点 （即夫琅和费衍射花样 ）进行阻挡或允许通过时sin 0得到了许多不同的图像.设焦平面上坐标为£，那么£与空间频率 九 相应关系为 sin 0 _ £L万⑶sin 0 沁 tg0 =（这适用于角度较小时 f ， f 为焦距，）．焦平面中央亮点对应的是物平面上总 的亮度（称为直流分量），焦平面上离中央亮点较近（远）的光强反映物平面上频率较低（高） 的光栅调制度（或可见度）．1934 年译尼克在焦平面中央设置一块面积很小的相移板，使直 流分量产生 2 位相变化，从而使生物标本中的透明物质不须染色变成明暗图像，因而可研究 活的细胞，这种显微镜称为相衬显微镜．为此他在1993年获得诺贝尔奖．在20世纪50年代， 通信理论中常用的傅里叶变换被引入光学，60 年代激光出现后又提供了相干光源，一种新 观点（傅里叶光学）与新技术（光学信息处理）就此发展起来．物的内容中如含周期性结构，可以看成是各种频率的光栅组合而成，用数学语言讲就是 把物展开成空间的傅里叶级数．如物的内容不是周期性的，在数学上就要作傅里叶变换，在 物理上可由透镜来实 现.可以证明，由于透镜作为位相变换器能把平h H a n 面波转换为球面波，当单色平面波照射在透明 f （x, y）］时，如图1面上光场复振幅分布T-九片上［其振幅透射率为中光路所示，透镜后焦平即为其傅里叶变换(4)f (u, v) = JJ f (x, y )e - i 2n(ux+vy)dxdy图1u v —式中 ““，实际上这也就是t（x, y）的夫琅和费衍射•当t不在透镜前焦面上 时，后焦面上仍为其傅里叶变换，但要乘上位相弯曲因子．当入射的不是平面波，而是球面 波（发散、会聚均可），则在入射波经透镜（甚至不经透镜）后形成的会聚点所在平面上也是 傅里叶变换，只是也附加上了位相弯曲因子.傅里叶变换的例子如§函数T 1，1函 数，rect函数—sinc函数及许多性质的标度、卷积定理都可以由此在物理上演示出来. 如图2所示，在透镜后再设一透镜，则在Q面上的复振幅分布又经过一次傅里叶变换， f （x',y'） = J!F（g，耳）ei2兀ux+vy）dgdq = f （-x,—y）Q P （5）物函数的倒置也就是f （x, y）的像.前述在平面波照射下在前焦平面上的f （x, y）时，在平而注-[丄吏换平山」照明光会聚点有其傅里叶变换，但要加上位相弯曲因子，该位相弯曲相当于会聚球面波 照在傅里叶变换上，到达该球面波会聚点所在平面 Q 时，也是完成第二次傅里叶变换， 只是标度有变化，即像是放大或缩小的．因此从波动光学的观点来看，正是透镜的傅里 叶变换功能造成了其成像的功能．这样，就用波动光学的观点叙述了成像过程．这不但说明 了几何光学已经说明的透镜成像功能，而且还预示了在频谱平面上设置滤波器可以改变图像 的结构，这后者是无法用几何光学来解释的.前述相衬显 微镜即是空间滤波的一个成功例子.除了下面实验中的 低通滤波、方向滤波及调制等较简单的滤波特例外，还 进行特征识别、图像合成、模糊图像复原等较复杂的光学 信息处理.因此透镜的傅里叶变换功能的涵义比其成像 功能更深刻、更广泛．图2实验内容】共轴调节.首先，要调激光束平行于光具座（图3）， 并位于光具座正上方，把屏Q插在光具座滑块上，并移近激 光架Ls，把Ls作上下、左右移动，使光束偏离0,调节Ls 的俯仰及侧转，使光束又穿过小孔；再把Q推至Ls边上，反［ 复调节，直到Q在光具座平移时激光束均穿过O为圆心的孔， 以后就不再需要改变Ls的位置。
在做以下几个实验时，都要用透镜，在加入透镜L后，如激光束正好射在L的光心上, 则在屏Q上的光斑以0为中心，如果光斑不以O为中心，则需调节L的高低 图3 及左右，直到经过L的光束不改变方向（即仍打在0上）为止；此时在Ls处再设带有 圆孔P的光屏，从L前后两个表面反射回去的光束回到此 P上，如二个光斑套准并正好以P为中心，则说明L的光轴正好就在P、0连线上.不然就要调整L的取向.如光 路中有几个透镜，先调离Ls最远的透镜，再逐个由远及近加入其他透镜，每次都保持两个 反射光斑套准在P上，透射光斑以0为中心，则光路就一直保持共轴.1．阿贝成像原理（1）按图4布置光路.G是空间频率为每毫米几十条的光栅，在实验中作为物.L是焦 距为10cm的透镜，移动L使光栅在3m处白屏上成放大的像（也可以用平面镜把光束 反射到实验桌上的自屏上，但要用涂金属的那面，不要用玻璃面去反射，为什么?可以试试．） ⑵用白纸插入G之后的光路中并从G处移到L可看到G后图4 衍射光束逐步分开；再从 L 移到 P 处，可看到光束又逐步合到一起，形成光栅像．（3）在L前设可变圆孔光阑P；在逐步减小光阑时在L后用白纸检查光束被挡去情况,如有三 束光通过，则Q上仍有条纹;如仅有一束光通过,Q上就无条纹，也就是不能分辨这个空间频率 的细节了 （P不一定紧贴在L之前）.⑷使P上某一圆孔刚能容纳三束光通过，测量G、P距离及圆孔半径，估算G的空间频 率．并估算能分辨此频率的最小透镜孔径．2．波特实验仍然使用图4中光路，但改为到L的焦平面F上来改变像的空间频率结构.把毛玻璃放在F面处可看到一系列光点，它们相应于物光栅夫琅和费衍射的0,±1,±2,… 级的衍射极大值.用直尺或游标卡尺测出各衍射级离中央亮点的距离,把透镜焦距f、所 用激光波长九与£代入（3）式，算出这些亮点对应的空间频率，并与通过物像关系算出的光 栅空间频率进行比较（由物距、像距，像上条纹宽度计算），说明物理意义．利用可变狭缝光 阑及小磁块，挡去某些衍射级，观察像屏 S 上图像的变化情况， 并作出解释（可以从傅里叶 光学与光波干涉两种观点来解释 ）．3.透镜的傅里 叶变换功能 按图5（a）布置 光路，N、l2构成 扩束准直系统， 扩束后光束截 面直径增大（倍 数为两透镜焦距之比）.输入至输出共距四倍焦距，故可称为4f系统，是典型的光束信息 处理光路，能进行二次傅里叶变换．用4f系统直接观察傅里叶变换，有时感到花样较小，不易看清，图5（b）光路中的物屏可 放在位置 1 到 2 之间，在照明光的会聚点上都可以看到它的夫琅和费衍射，或者说傅里叶 变换.自己选择一个位置（在2处，物离Q远，则花样分布较大，便于观察），先后插入圆孔、 双缝、单缝，观察其傅里叶变换光强分布情况并对傅里叶变换的标度性质、卷积定理作出物理 解释.设此时P、Q距离为z,则Q空间频率标度为弘.图54．空间滤波实验（1）低通滤波前述阿贝--波特实验中狭缝起的是方向滤波器的作用，可以滤去图像中某个方向的结构．而 圆孔可作低通滤波器，滤去图像中高频成分，只让低频成分通过．①按图6布置好光路,先放人L2,再放入L，每次都调共轴，经L］扩束后光斑应打在L2中央.放人物屏P后注意P、Q的物像关系，在照明光会聚点设圆孔滤波器F. 2图6本实验物屏中央是透光的“光”字与细网格叠加在一起，网格空间频率约为10条/ mm,调P、Q 位置，使 Q 上有清晰的放大像，能看清其网格结构.②观察F面上频谱分布，可以看到排成十字形的点阵.改变F上圆孔，逐步缩小，在圆孔直 径2lmm时（可以通过多个光点），仍可看到像中有网格结构，而换到0. 5mm直径圆孔时，只P L P 卩ib：允许中央亮点通过，则 在 Q 面上看到了没有 网格的“光”字.这是因 为“光”的空间频率低 就集中在光轴附近很 小范围内.可见小圆 孔起到只通过低频的作用.在更换圆孔时，要特别细心，光轴必须严格穿过小圆孔圆心，才能有良好的实际效果，否则可能 “光”字不完整.如试验一段时间未能奏效，可以改用下法：把字屏 P 移走，把 F 屏上 0.5mm 圆孔移在中央，然后细心地用手上下移动圆孔，左右调节滑块座上微动螺旋及前后推移滑 块位置，同时观察 Q 上衍射花样以决定如何移动小圆孔，直到最后出现大而均匀的光斑， 再插入物屏P，像屏Q上必有清晰字样（不带网格）.因为此时光束会聚点正好在小圆孔圆心上．把小圆孔移到中央亮点以 带网格的''光”字，只是较 格的乘积时，其傅里叶谱是 此每个亮点周围都是'光” 字.这就演示了傅里叶变外的亮点上，在Q屏上仍能看到不 暗淡一些.这说明当物为'光”与网 “光”的谱与网格的谱的卷积，因 的谱，再作傅里叶变换就还原“成光” 换的乘积定理．Li P叛帶生城樱-频谱1：无咆一1^10 0 O】频谱絹地—（2）用 调制产生假 彩色①类似于通信技术中 把信号与载波相乘以 调制振幅与位相，便 于发送；光学信息处理中把图像（信号）与空间载频（光栅）相乘，也起到调制作用，便于进行处理． 本实验中所用的物是由方向不同的一维光栅组合而成的 （图 7）．用激光束 照射不同部位，就可在其后看到不同取向的衍射光线．光栅空间频率约为100 条/ mm，三组光栅取向各相差600。
图7② 按图8（a）布置光路,S为溴钨灯,.起聚光作用，在.后聚光亮点处设滤波器F, 注意使SJ距离大于L「F距离，以获得较小的亮点.物P紧靠在.后,F后设L2， L2把P的像成在Q屏上，为了得到较亮的像，最好P、L2距离大于或等于L2、Q2距离.③ 观察F面频谱的特点：第一，由于输入图像由三个取向不同的光栅构成，每组光栅对应一个衍射方向，衍射光线所在平面垂直于光栅的取向.如把该方向频谱全部挡去，则输出面上相应区域光强就转为零，例如把水平方向的频谱挡去，可以 看到像上天空呈黑暗.其余类推.第二，由于照明光是白光，根 据光栅方程，每组频谱零频的各色光衍射角均为0。