中考数学专题探究中考数学专题探究•第十二讲 探究性问题•主 讲 张 晓 兵•单 位 南通如东实验中学• 开放探究性问题：“八仙过海，各显神通八仙过海，各显神通” ？ 一、条件开放与探究一、条件开放与探究 ABQOPNM例一：（例一：（08南京）如图，已知南京）如图，已知⊙ ⊙O的半径为的半径为6cm，射线，射线PM经经过点过点O ，，OP=10cm,射线射线PN与与⊙ ⊙O相切于点相切于点Q．．A,B两点同时两点同时从点从点P出发，点出发，点A以以5cm/s的速的速度沿射线度沿射线PM方向运动，点方向运动，点B以以4cm/s的速度沿射线的速度沿射线PN方向运方向运动．设运动时间为动．设运动时间为ts．．（（1）求）求PQ的长；的长；（（2）当）当t为何值时，直线为何值时，直线AB与与⊙ ⊙O相切？相切？ 一、条件开放与探究一、条件开放与探究 ABQOPNMC直线直线AB与与⊙ ⊙O相切相切 一、条件开放与探究一、条件开放与探究 ABQOPNMC 一、条件开放与探究一、条件开放与探究 解这类问题的策略有二：第一，模仿分析法，解这类问题的策略有二：第一，模仿分析法，将题设和结论视为已知条件，分别进行演绎，再将题设和结论视为已知条件，分别进行演绎，再有机地结合起来，导出所需寻求的条件；第二，有机地结合起来，导出所需寻求的条件；第二，设出题目中指定的探索条件，将此假设条件作为设出题目中指定的探索条件，将此假设条件作为已知，结合题设条件列出满足结论的等量或不等已知，结合题设条件列出满足结论的等量或不等量关系。
通过解方程或不等式，求出所需寻找的量关系通过解方程或不等式，求出所需寻找的条件 二、结论开放与探究二、结论开放与探究 例二：（例二：（08镇江）如图，在镇江）如图，在△△ABC中，作中，作∠∠ABC的平分的平分线线BD，交，交AC于于D，作线段，作线段BD的垂直平分线的垂直平分线EF，分别，分别交交AB于于E，，BC于于F，垂足为，垂足为O，连结，连结DF．在所作图中，．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加寻找一对全等三角形，并加以证明．（不写作法，保留以证明．（不写作法，保留作图痕迹）作图痕迹）ABCABCDEFO 二、结论开放与探究二、结论开放与探究 例三：我们知道：有两条边相等的三角形叫做例三：我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．对边相等的四边形叫做等对边四边形．（（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；对边四边形的图形的名称；平行四边形、等腰梯形等平行四边形、等腰梯形等 二、结论开放与探究二、结论开放与探究 （（2）如图，在）如图，在△△ABC中，设中，设CD,BE相交于点相交于点O，，∠∠A=60°，，∠∠DCB=∠∠EBC= 0.5∠∠A ．请你写出图中一个与．请你写出图中一个与∠∠A相等的角，相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；ABCDEO与与∠∠A相等的角是相等的角是∠∠BOD（或（或∠∠COE），），四边形四边形DBCE是等对边四边是等对边四边形形 二、结论开放与探究二、结论开放与探究 （（3）在）在△△ABC中，如果中，如果∠∠A是不等于是不等于60°的锐角，点的锐角，点D，，E分别分别在在AB，，AC上，且上，且∠∠DCB=∠∠EBC= 0.5 ∠∠A ．探究：满足上述．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．ABCDEOABCDEOGFF△△BCF≌△≌△CBG △△BDF≌△≌△CEG 以以C为顶点作为顶点作∠∠FCB=∠∠DBC △△BDC≌△≌△CFB CF=CE 四边形四边形DBCE是等是等对边四边形对边四边形 二、结论开放与探究二、结论开放与探究 解此类题的策略是：有时可以根据定义和定理，解此类题的策略是：有时可以根据定义和定理，由条件直接进行演绎推理得到结论；有时可以通过具由条件直接进行演绎推理得到结论；有时可以通过具体到抽象，特殊到一般的归纳得到结论，再加以证明；体到抽象，特殊到一般的归纳得到结论，再加以证明；有时要通过类比、联想估计出结论，再进行证明；有有时要通过类比、联想估计出结论，再进行证明；有时要在两种可能中选取，可采用反证法的思想来确定；时要在两种可能中选取，可采用反证法的思想来确定；有时还可用分类讨论法、数形结合法、命题转换法等，有时还可用分类讨论法、数形结合法、命题转换法等，对于没有确定的结论，应由浅入深，多角度进行探求，对于没有确定的结论，应由浅入深，多角度进行探求，力求得到比较有意义的结论。
力求得到比较有意义的结论 二、结论开放与探究二、结论开放与探究 例四：如图，抛物线例四：如图，抛物线y=a（（x+1）（）（x-5）与）与x轴的交点为轴的交点为M、、N．直线．直线y=kx+b与与x轴交于轴交于P(－－2，，0)．与．与y轴交于轴交于C，若，若A、、B两点在直线两点在直线y=kx+b上．且上．且AO=BO= ，，AO⊥⊥BO．．D为线段为线段MN的中点OH为为Rt△△OPC斜边上的高．斜边上的高． (1)OH的长度等于的长度等于 ；；k= ，，b= ．．yP-2AHCBOMND·x 二、结论开放与探究二、结论开放与探究 (2)是否存在实数是否存在实数a，使得抛物线，使得抛物线y=a（（x+1）（）（x-5）上有一点）上有一点E．满足以．满足以D、、N、、E为顶点的三角形与为顶点的三角形与△△AOB相似相似?若不存在，若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式．同时说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式．同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点点(简要说明理由简要说明理由)．并进一步探索对符合条件的每一个．并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线点，直线NE与直线与直线AB的的交点交点G是否总满足是否总满足PB·PG<10 ，写出探索过程。
写出探索过程yP-2AHCBOMND·x 二、结论开放与探究二、结论开放与探究 yP-2AHCBOMND·x①①若以若以DN为直角边的等腰为直角边的等腰直角三角形直角三角形②②若以若以DN为斜边的等腰直为斜边的等腰直角三角形角三角形EE 二、结论开放与探究二、结论开放与探究 yP-2AHCBOMND·x由相似三角形证得：由相似三角形证得：一定满足一定满足PB·PG<10 EG 二、结论开放与探究二、结论开放与探究 此类题求解的一般思路是：假设此类题求解的一般思路是：假设“存在存在”→演绎推理演绎推理→得出结论（合理或矛盾）若合理，就得出结论（合理或矛盾）若合理，就“存在存在”，，这种方法为演绎法；若矛盾，就这种方法为演绎法；若矛盾，就“不存在不存在”，这种方，这种方法为反证法法为反证法 三、策略探究型三、策略探究型例五：（例五：（08连云港）如图所示，连云港）如图所示，①①中多边形（边数中多边形（边数为为12）是由正三角形）是由正三角形“扩展扩展”而来的，而来的，②②中多边形中多边形是由正方形是由正方形“扩展扩展”而来的，依此类推，则由正而来的，依此类推，则由正n边边形形“扩展扩展”而来的多边形的边数为而来的多边形的边数为 ．．…… 三、策略探究型三、策略探究型例六：（例六：（08常州）如图常州）如图,这是一张等腰梯形纸片这是一张等腰梯形纸片,它的它的上底长为上底长为2,下底长为下底长为4,腰长为腰长为2,这样的纸片共有这样的纸片共有5张张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图分别画出它们的示意图,并写出它们的周长并写出它们的周长.. 2224 三、策略探究型三、策略探究型223420222224 三、策略探究型三、策略探究型例七：（例七：（08连云港）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称连云港）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是的最小覆盖圆就是以线段以线段AB为直径的圆．为直径的圆．（（1）请分别作出图）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；作图，保留作图痕迹，不写作法）；（（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）；结论（不要求证明）；AABBCC80°100° 三、策略探究型三、策略探究型AABBCC80°100°（（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． 三、策略探究型三、策略探究型（（3）某地有四个村庄）某地有四个村庄E，，F，，G，，H（其位置如图（其位置如图2所示），所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．GHEF32.4°50.0°49.8°53.8°44.0°47.1°47.8°35.1° 三、策略探究型三、策略探究型GHEF32.4°50.0°49.8°53.8°44.0°47.1°47.8°35.1°M中转站建在的外接圆圆心处中转站建在的外接圆圆心处 （线段的垂直平分线与线段的垂（线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点处）直平分线的交点处） 是锐角三角形，所以其最是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为三角形的外接圆小覆盖圆为三角形的外接圆 理由：理由：点点G在在⊙ ⊙O内，从而内，从而⊙ ⊙O也是四边也是四边形的最小覆盖圆．形的最小覆盖圆． 解题思路点拨解题思路点拨: 1.特殊值（特殊点、特殊数量、特殊特殊值（特殊点、特殊数量、特殊 线段、特殊位置等）线段、特殊位置等） 2.反演推理法反演推理法(反证法反证法) 3．分类讨论法．分类讨论法 4．类比猜想法．类比猜想法 。