第三章 复积分§1复积分的概念及其简单性质教学目的与要求: 掌握复变函数积分的概念,积分存在的条件及积分计算法和性质.重点：复变函数积分存在的条件及其计算法和性质.难点：复变函数计算法和性质.课时：2学时.1.复积分的定义 为了叙述上的方便，今后如无特别声明，所提到的曲线均制光滑或逐段光滑曲线， 逐段光滑的简单闭曲线简称为围线，其方向在第一章已经作过规定，不是闭的曲线的方向，则只须指出它的起点和终点即可．定义3.1 设有向曲线 以为起点，，沿有定义，在上从到的方向取分点：把曲线分成个弧段（图３.１）在从到（）的每一个弧段上任取一点，作和数其中（）且设若（为复常数），则称沿（从到）可积，称为沿的积分，记为 称为积分路径，同时表示沿的负方向的积分．显然，若沿可积，则沿有界，另一方面，我们有定理3.1 若沿曲线连续，则沿可积，且 （3.1）证明：设 则上式右端的两个和数是对应的两个曲线积分的积分和数，而在定理的假设条件下，及均沿连续，因而这两个曲线积分均存在，故积分存在且有（3.1）式公式（3.1）说明：复积分的计算问题可以转化为两个二元实函数的曲线积分的计算问题．表示连续点和的任一曲线，则 (1) (2) 证明：(1) 因为 所以故 (2) ，分别选取和，则得 及存在，因而存在 故所以 特别地，当为围线时，有，．２．复积分的计算设光滑曲线的参数方程为：又设沿连续，则且由公式 (3.1) 可得 即有 （3.2）公式（3.2）称为复积分的变量替换公式． 例3.2 （重要的例子） 其中是以为心，为半径的圆周．证明：因为的参数方程为：故由公式 (3.2) 得因此，时，，当为整数且时，注意：此积分值与半径无关．3. 复积分的基本性质．设，沿曲线连续，则复积分具有与实曲线积分相类似的下列性质：(1) (是复常数)(2) (3) ，其中由曲线和连续而成(4) ．定理3.2 设沿曲线连续，且，使得，均有，为的长度，则 （3.3） 证明：由不等式 取极限即得（3.3）式．例3.3 计算积分 其中积分路径（图３.２）为：(1) 连接由点到点的直线段．(2) 连接由点到的直线段及连接由到点的直线段所组成的折线． 解：(1) 连接及的直线段的参数方程为：故(2) 连接与的直线段的参数方程为：连接与的直线段的参数方程为：作业: 第141页 1 2 3 (1)§２ 柯西积分定理教学目的与要求: 掌握柯西积分定理及推广.重点：柯西积分定理及推广到复周线的情形.难点：柯西积分定理推广到复周线的情形.课时：4学时.1. 柯西积分定理 从§１所举的例子中可以看出，在例3.1(2)中，被积函数在单连通区域平面上解析，它沿连接起点与终点的任何路径的积分值都是相同，即积分与路径无关，但在例3.3中，被积函数在平面上处处不解析（见第二章习题１），而积分值却与连接起点与终点的路径无关．我们知道，积分值与路径有关或无关的问题，实质上就是函数沿区域任何闭曲线的积分值是否为零的问题．1825年，柯西得到了如下著名的柯西积分定理：定理3.3 设在平面上的单连通区域内解析，为内任意一条围线，则1851年，黎曼在附加条件“在内连续”的情况下，给出柯西积分定理一个简单的证明：黎曼证明：令，由公式 (3.1) 得 由假设在内连续，从而在内连续，且满足条件：根据格林（）定理有，，因此1900年，古莎（）在去掉在内连续的条件下证明了柯西积分定理，由于其证明较长，故略去不证．由柯西积分定理§１的性质 (3) 可得定理3.4 设在单连通区域内解析，为内任意一条闭曲线（不必为简单闭曲线），则推论3.5 设在单连通区域内解析，则对于内任意两点与，积分值与连接起点与终点的路径无关．证明：设与是内连接与的两条曲线，则正方向曲线与负方向曲线就连接成内的一条闭曲线，从而由柯西积分定理及§１的性质（３）有因此２．不定积分由推论3.5知道，如果在单连通区域内解析，则沿内任意一条曲线的积分只其起点和终点有关，因而当起点固定时，对于一个，就唯一地确定了一个积分值，这说明当固定时，积分就定义了内的一个单值函数，记为 (3.5) 定理3.6 设在单连通区域内解析，则由(3.5)定义的函数在内解析，且．证明：，作一个以为心，以充分小的为半径的圆，使得，在内取动点，则由于积分与路径无关，因而我们可取的积分路径为由沿与相同的路径到，再从沿直线段到（图３.3）图3.3从而有于是 但已知在内连续，所以对，可取上述的充分小，使得在内的一切点均有即 由以上的证明过程我们可得到一个更一般的定理：定理3.7 设 (1) 在单连通区域内连续．(2) 沿区域内任一条围线的积分为零，则函数（为内一定点）在内解析，且（）定义3.2 设在区域内连续，则称满足条件（）的函数为的一个原函数．对于的任意一个原函数，由定理3.7 知（）因此有 （为复常数）即 （3.6）在（3.6）中令，即得．因此我们得到若为的任意一个原函数，则定理3.8 （牛顿－莱布尼兹公式）在定理3.6或定理3.7的条件下， （） ( 3.7 )例3.5 求 解：因为在平面上解析，为的一个原函数，故由（3.7）式即得 .例3.6 求 解：因为在平面上解析，且为它的一个原函数，故 .作业: 第142页 4 (1) (3) 5３．柯西积分定理的推广首先，容易证明柯西积分定理3.3与以下定理是等价的：定理 设是一条围线，是的内部，在闭区域上解析，则．定理3.9 设是一条围线，是的内部，在内解析，在上连续，则.下面我们从另一个方面推广柯西积分定理,即将柯西积分定理从以一条(单)围线为边界的有界单连通区域,推广到以多条围线组成的”复围线”为边界的有界多连通区域.定义 考虑条围线,其中中每一条都在其余各条的外部,而它们又全都在的内部. 在的内部同时又 在外部的点集构成一个有界的多连通区域,以为它的边界.在这种情况下,我们称区域的边界是一条复围线,它包括取正方向的,以及取负方向的.换句话说,假如观察者沿复围线的正方向绕行时,区域的点总在它的左手边.定理 设是由复围线所围成的有界多连通区域, 在内解析,在上连续,则: ,或写成: , (3.8)或写成 . (3.9) 证 取条互不相交且全在内(端点除外)的光滑弧作为割线.用它们顺次的与连接.设想将沿割线割破,于是就被分成两个单连通区域(如图3.4)是的情形),其边界各是一条围线,分别记为和.而由定理3.9,我们有 图3.4将这两个等式想加,并注意到沿着的积分,各从相反的两个方向取了一次,在相加的过程中互相抵消.于是,由复积分的基本性质(3)就得到 .从而有(3.8)和(3.9).作业: 第142页 4 (2) (4)§３ 柯西积分公式及其推论教学目的与要求: 掌握柯西积分公式;解析函数的高阶导数;理解柯西不等式;掌握刘维尔定理.重点：柯西积分公式；刘维尔定理.难点：柯西积分公式.课时：4学时.１．柯西积分公式定理3.10 （柯西积分公式）设围线是区域的边界，在内解析，在上连续，则 （） （3.9）证明：对于任意固定一点，则函数作为的函数在内除点外解析．现以点为心，充分小的为半径作圆周，使．对于复围线及函数，应用定理3.10的（3.8）式有因此 又根据的连续性知对，只要时，就有 （）由的任意性即知，有 （） （3.10）故有 例3.7 求，其中为圆周. 解：因为在闭圆上解析．所以满足定理3.11的条件，故由（3.10）式有又知这是因为在平面上解析．当区域为圆的特殊情形，我们可得到如下的解析函数的平均值定理：定理3.12 若函数在圆内解析，在闭圆上连续，则即在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均值．证明：设表示圆周，则，（）故 根据柯西积分公式（3.10）得 2. 解析函数的无穷可微性我们将柯西积分公式（3.10）形式地在积分号下求导后得： （） （3.14）再求导一次得 （）由此我们推得定理3.13 在定理3.10的条件下，函数在区域内有各阶导数，且有 （） （3.15）证明：首先，当时，我们证明（3.14）式成立，应用（3.10）我们有() 因此 ，使得均有，从而故对，只要，有即有于是（3.14）式成立．可以用数学归纳法类似于的情形，在假设时（3.15）成立，证明时（3.15）式也成立，只是稍微复杂一些，故略去不证．例3.8 计算 其中是绕一周的围线．解：因为在平面上解析，故应用公式（3.15）得由定理3.13，我们可得到解析函数的无穷可微性：定理3.14 设在区域内解析，则在内具有各阶导数，并且它们也都在内解析．证明：，则我们作一个以为心，以充分小的为半径的圆使得此闭圆全含于在此圆内有各阶导数，特别地在有各阶导呼，再由的任意性即推得在内有各阶导数．定理3.14说明，只要在区域内解析，（仅假设在内存在），就可推出的各阶导数在内存在且连续，而在数学分析中，由在上存在且连续，还不能推出在上存在，这就是复变函数较之实变函数优越的地方．作业:第142页8 9 (1) 10３．柯西不等式与刘维（）定理利用定理3.13我们可以得到一个重要的导数估计式：定理3.15 （柯西不等式）设在区域内解析，为内一点，区域包含于，则有 （）其中．上，则有（）由柯西不等式，我们又可得到：刘维尔定理：平面上解析且有界的函数必为常数．证明：设的上界为，则对任意的，均有，于是在柯西不等式中当时有（为平面上任意一点）由的任意性即知有，再由的任意性知在平面上有故在平面上恒为常数（见第二章习题３）我们现在利用刘维尔定理来简洁地证明代数基本定理．代数基本定理 在平面上，次多项式（）至少有一个零点．证明：（反证法）假设在平面上无零点，由于在平面上解析，从而在平面上也是解析的．其次，由于所以于是，使得，又因为在上连续，故，使得（）从而在平面上有即在平面上解析且有界，因此根据刘维尔定理，为常数，故亦为常数，与已知为多项式矛盾，定理得证．４．摩勒拉（）定理柯西积分定理说明，只要在单连通区域内解析，则对内任一围线均有，我们现在证明其逆也是正确的．摩勒拉定理 设函数在单连通区域内连续，且对内任一围线，有，则在内解析．证明：在假设条件下，由定理3.7知，函数（）在内解析，且（在内还是解析的，此即说明在内解析的．摩勒拉定理从另一方面刻划了解析函数的性质，因此亦可用它作为解析函数的等价定义．作业:第143页 11 12 15§4 解析函数与调和函数的关系教学目的与要求: 了解解析函数与调和函数的关系；掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法.重点: 掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法.难点。