第五章 定积分及其应用定积分及其应用是微积分的主要内容之一，是微积分的精华，在《高等数学》中占有重要的地位 ，也是各类《高等数学》研究生入学考试的必考的重要内容之一复习这部份内容，考生应着重掌握定积分的定义、性质及其计算方法，掌握“微元法”这一定积分应用的重要数学思想方法一、知识网络定积分 定积分的应用二、典型例题例1 . 求极限 [分析] 遇到极限中有可变上限有定积分，一般情况下可考虑应用洛必达法则，但由于现在被积函数中含有变量，因此先应将从被积函数中分离出来，对此题可用变量代换；另外，在求极限的过程中如能恰当地应用等价无穷小代换，可简化求极限的过程[解] 对定积分作变换 ，由于〜，〜， ，因此再利用洛必达法则有原式== =例2. 求极限 .[分析] 利用定积分的定义求极限，是一种常见的考研题型，难点在于如何将变型成和式[解] 令 则 ==因此 =所以 原式=例3．设在上连续，,求证 .[证明1] ′令 ，则从而 =由积分中值定理及的2的性知 故原题得证.[证明2] 由证明1可知= ( 洛必达法则 )=例4．设在[，]上连续，试证 [证明] 记 ，由连续性可知，存在 ，使 .当 时 对，选取 ，使得当 时，有 设 0 <<则 =因为 当 时,,故当充分大时有 因此当 充分大时有 由的任意性知 例5. 计算 [分析] 本题应用换元积分法,换元时应注意要换限.[解法1] 令 则 , 故 原式==│+=[解法2] 令 原式=[解法3] 记 ,分部积分得 原式===例6. 计算 [分析] 定积分的计算常常需要一定的特殊方法和技巧,这些方法和技巧只有通过平时多做习题并注意体会和积累来掌握.[解法1] 原式= =[解法2] 原式====+=例7. 证明柯西积分不等式，若和都在[，]上可积，则有 [分析] 这是代数中欧几里德空间中有关内积的柯西不等式的一个应用，证明方法也类似.[证明] 对任意的实数有 +上式右端是的非负的二次三项式,则其判别式非正,即故原式得证例8. 设和都在[，]上可积,试证[证明] == (柯西不等式)=故 例9．证明 [证明] 令 （第二个积分中令 ）当 时， 故 例10．设在 [0，] 上连续,且, ,证明 [分析] 应该先建立与之间的关系，然后再“放大”估值，拉格朗日微分中值定理和牛顿—莱布尼茨公式都可以建立两者之间的关系.[证明1] 由和微分中值定理有 , .故 [证明2] 由和牛顿—莱布尼茨公式有 ,于是 ,故 .例11. 设函数在 [0, ]上上连续,且, 。
试证：在（0, ）内至少存在两个不同的点和，使 .[分析] 如对的原函数 能找到三个点使，则使用两次罗尔定理就可以得两个（即和），使 .[证明] 令，，则有 ，.又 0===对 在[0, ] 上使用拉格朗日微分中值定理得 0=, 0<<.因为,所以 .再对在区间 [0, ], [, 0] 上分别应用罗尔定理, 知至少存在(0, ) ,(, ), 使,即 .例12. 设在[0，1]上连续且单调减，试证对任何有 [证明1] = = =其中 又单调减，则，故原式得证.[证明2] = =0故原得证.[证明3] 令 故原式得证.[证明4] 设=, .故当 ，单调增，;当 单调减, .故原不等式得证.例3. 设[解] 原等式两端分别从0到1和从0到2积分得即 从以上两式可解得，故 .例14. 设定义在上，且对上任意两点及，有试证 [证明] 在第二个积分中令 得 不等式左端得证.令 ( ) 得 =不等式右端得证. 故不等式得证.例15. 没在 [0, 1]上连续且.试证 .[证明1] 由于连续且,因此,在 [0, 1] 上可积,故有 = =[证明2] 设，则，又曲线下凹，则其上任一点的切线都在曲线上方，而在处的切线为对任一点，都有 则 故 [证明3] 易证当时有不等式令 ，得-1上式两边从0到1积分得对积分得 故 例16．求曲线的一条切线，使该曲线与切线及直线，所围成的图形面积最小.[解] 设切点为,则切线的方程为即 面积为 令 得驻点 .又,故时S取最大值. 此时的方程为 .例16. 设函数在闭区间[0, 1]上连续,在开区间(0, 1)内大于零,并满足 (为常数) ,又曲线与所围成的图形S的面积值为2,求,并问为何值时,图形S绕轴旋转一周秘得的旋转体的体积最小.[解] 由条件可得, 当 时有故 由边连续性知.又由已知条件得 2=故 因此所求函数旋转体的体积为,令 ,得 .又 ,故知当时,旋转体体积最小.例17. 计算 [分析] 计算带绝对值的被积函数的积分,先脱掉绝对值.脱掉的方法有两种,一是令含绝对值部分的函数为零,求出其实根,以其实根为分段点,将被积函数化成分段函数;二是利用函数的奇偶性、周期性等性质，使绝对值符号脱落.[解法1] 先令得分段点.于是原式=,再分别令 ,易得分段点,于是得到原式= +.[解法2] 注意到为偶函数,因此有原式= = = =.例18. 证明 .[证明] 令,显然 时,单调减少,于是++ <++ = =.即 .又 1+=1+++ >1+++ =1+ =.即 1+>.故原不等式得证.例19. 已知 , 计算 .[解] = = (令) =.例20. 已知 计算 .[解] 令, 则 , , 于是有原广义积分 =,由于 当时,, ,故 = == =.例21. 设 , 求 .[解] 显然 是个瑕积分,由分部积分法得==2 =2 =.例22. 设在[0, 1] 上连续,且单调减少,,证明: 对于满足的任何有 .[分析] 可得 ,将 换成(),于是辅助函数 .[证明] 令 , () =, (单减)故单调增加, 又 （），因此 ，即 .例23. 求一列积分(1) (2) (3) [分析] 作变量替换,使分母不变,而使分子为分母中另一项的积分.对前后两积分求和即可求积分值.[解] (1) (令 )=,故 ,所以 .[解] (2) ( 令 )====故 ,所以 .[解] (令 即 )故 =,所以 .。