分解因式知识点总结及例题第二章 分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式 , 这种变形叫做把这个多项式分解因式. 2. 因式分解与整式乘法是互逆关系因式分解与整式乘法的区别和联系: (1)整式乘法是把 几个整式相乘, 化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二. 提公共因式法1. 如果一个多项式的各项含有公因式, 那么就可以把这个公因式提出来, 从而将多 项式化成两个因式乘积的形式. 这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: ab +ac =a (b +c )2. 概念内涵:(1) 因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式, 也可 能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律, 即: ma +mb -mc =m (a +b -c ) 3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”; (3)多项式中某一项恰为公因式, 提出后, 括号中这一项为+1,不漏掉. 三. 运用公式法1. 如果把乘法公式反过来, 就可以用来把某些多项式分解因式. 这种分解因式的方 法叫做运用公式法. 2. 主要公式: (1)平方差公式: a2-b 2=(a +b )(a -b )2(2) 完全平方公式: a 补充：欧拉公式：+2ab +b 2=(a +b ) 2 a 2-2ab +b 2=(a -b ) 2a +b +c -3a b c =(a +b +c ) (a +b +c -a b -b c -c a ) (a +b +c ) [(a -b ) +(b -c ) +(c -a ) ]33322212222++b c =3a b c 特别地：(1 )当 abc 时，有 a ++=0(2)当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
3.因式分解要分解到底.如x 4. 运用公式法:(1) 平方差公式：①应是二项式或视作二项式的多项式；②二项式的每项(不含符号) 都是一个单项式(或多4333-y 4=(x 2+y 2)(x 2-y 2)就没有分解到底.项式) 的平方； ③二项是异号.(2) 完全平方公式:①应是三项式；②其中两项同号，且各为一整式的平方；③还有一 项可正负, 且它是前两项幂的底数乘积的2倍. 5.因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式，若有， 则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用 分组分解法， 即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积， 否则不是因式分解; (5)因式分解的 结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 四. 分组分解法:1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如: am +an +bm +bn =a (m +n ) +b (m +n ) =(a +b )(m +n )2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组，要尝试通过分组后是否有公因式可提， 并且可继续分解， 分组后是否可利用公式法继续分解因式. 3. 注意: 分组时要注意符号 的变化.五.十字相乘法：1.对于二次三项式ax2+bx +c ,将a和c分别分解成两个因数的乘积，a =a 1-a 2 , c =c 1-c 2,且满a c 1c 2足 b =a 1c 2如： ax+a 2c 1,往往写成的形式, 将二次三项式进行分解.+bx +c =(a 1x +c 1)(a 2x +c 2)22. 二次三项式 x +px +q 的分解:q =ab 112p =a +bbx 2+px +q =(x +a )(x +b )分解因式时, 如果常数项 q 是正数, 那么把它分解成3. 规律内涵:(1) 理解: 把 x +px +q两个同号因数, 它们的符号与一次项系数 p 的符号相同.(2) 如果常数项 q 是负数 , 那么把它分解成两个异号因数, 其中绝对值较大的因数与 一次项系数 p 的符号相同, 对于分解的两个因数, 还要看它们的和是不是等于一次项系数 p.4. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等, 这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.提公因式法1. 把下列各式因式分解(1)- a x +a b x --a c x a x322m +1m m +32)a (a -+b ) 2a (b --a ) 2a b (b -a ) 2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算 123[1**********]7+268 +456 +521*1<* *1<* *1<* *1<* *1<* *1<* *1<* *1<* *1<* *1<* *1<* *1<* *1<* *1<* \»z[**************]83. 在多项式恒等变形中的应用(2x +y =3例：不解方程组｛，求代数式(的值。
2x +y ) (2x -3yx ) +3(2x +y )5x -3y =-2 I4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数 n ，3-一定是 10 的倍数2+-325、中考点拨：例 1.因式分解3 x (x ---2) (2x ) 例2．分解因式：计算：2 000 20012001-2001 20002000 例 2.4q (1-题型展示：已知： x 求 b 、c 的值例 3. 战模拟】设 x 为整数，试判断 1 是质数还是合数，请说明理由 0+5x +x (x +2) 【实1. 分解因式：4242c 为整数)是 x + 及 3x +4x +28x +5 的公因 式， +b x +c 6x +25+2+2) 3+2(p -1) 24m n +12m n -2m n (1)-x +a b x --a c x a d x (2) a (n 为正整数)(3)a (a -+b ) 2a (b --a ) 2a b (b -a ) 2.计算：(-2) A. 21002n +2n +1nn -1233232221110的结果是( ) +-(2)B. -210C. -2D. -13. 已知x、y都是正整数，且x，求x、y。
(x -y ) -y (y -x ) =124.证明： 81-27-9能被45整除5. 化简：1时，求原式的值x +xx (1+) +xx (1+) +„xx (1+)，且当x =0公式 法 【分类解析】1. 把 a 分解因式的结果是()+2ab --2b A. ( ab -) (a +2) (b +2) C. ( a - ba ) (+b ) +2B. ( ab -) (ab ++2) D. ( a -2bb ) (-2a )2791321995已知已知2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例 多项式 2 有一个因式是2，求 m 的值 x -x +m x +13. 在几何题中的应用 例： a、b、c是的形状AA B C 4.在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数 5、中考点拨： 例1：因式分解3222，试判断+b +c -a b -b c -a c =0AA B C的二条边，且满足a 32-4x y 2= 3223例 2：分解因式：2 x y +8x y +8x y =题型展示：例 1.已知：a ， m +1b m +2c m +3121212+2b +ba -2c +c -2b c 求 aa 的值。
例 2. 已知 a ， +b +c =0， a ++=b c 03222b +c =0 求证：a +例 3. 若 x ，求 x +=y 27，x -+x yy =9【实战模拟】33222555+y 2 的值1. 分解因式：(1)(a +2)2-(3a -1) 2 (2)xx 5(-2y ) +x 2(2y -x ) (3)a 2(x -y ) 2+2a (x -y ) 3+(x -y ) 42. 已知： x +1=-3，求 x 41x +x4 的值3. 若 a ，b ，c 是三角形的三条边，求证： a 2---b 2c 22b cw 2+3 +1=0，求 w 2001的值5.已知a , b , c是不全相等的实数，且a b c HO, a 3++=b 3c 33a b c，试求(1) a +b +c 的值；(2) 1b 1c ) +1c 1a ) +11a b)的值分组分解法【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例 1.把多项式 2a (a 2+a ++1) a 4+a 2+1分解因式，所得的结果为( )A . (a 2+-a 1)2B . (a 2-+a 1)2C . (a 2++a 1)2D . (a 2--a 1)2例2.分解因式xx 5-+-+4xx 3x -1 2. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足aba >, 2+c 2+2a c证明：以 a 、 b 、 c 为三边能构成三角形 3. 在方程中的应用 例：求方程 x -y =x y 的整数解4、中考点拨例 1. 分解因式： 1-mn 2-2+2m n = 。
例 2．分解因式： x 2-y 2-x +y = 例 3. 分解因式： x 3+3x 2-4x -12= 5、题型展示：例 1. 分解因式： m 2（n 2-+1） 4m nn -2+1例 2. 已知： ab 2+2=1， cd 2+2=1，且 a c +b d =0，求 ab+cd 的值例 3. 分解因式： x + 2x -3【实战模拟】 1. 填空题：22（1） 分解因式： a -3a -b +3b =3（2） 分解因式： x -2x -4x y +4y +4y =33（3）分解因式： 1-m n （1-m n ） -m n =222. 已知： a +b +c =0，求 a +a c -abc +b c +b 的值 3. 分解因式： a3223+a +13334. 已知：x , -y -zA =0,是一个关于x , y , z的一次多项式，且x -y -z =(x - y ) (x -z ) A 试求 A 的表达式222a +b -2a b ) (a +b -2) +(1-a b )(=a -1) (b -1) 5. 证明： (十字相乘法 【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例 1. 已知： x -，求 x 的取值范围。
11x +24>0例2.如果x能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个-x +m x -2m x -2 多项式分解因式 2. 在几何学中的应用例.已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足22，求长方形的面积 xyx --+2x yy -+20=43222223、在代数证明题中的应用例•证明：若4x -y是7的倍数，其中x，y都是整数，则8x 4、中考点拨例1. 把 4x 例 2.4是49的倍数 +10x y -3y。