数字信号处理教程课后习题及答案目录第一章离散时间信号与系统第二章 Z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法第七章 有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应第一章离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和y(n) = x(n)*h(n)….0 < n < N - \h(n)= < ,[0 ，其他〃,、 J p …4 〃x (〃)= J 0 ,/7<〃()请用公式表示分析：①注意卷枳和公式中求和式中是哑变量机( n看作参量)，结果y(〃)中变量是n,00 8y(w) = x(m)h(n - m) = h(m)x(n - m); m = —oo m = oo②分为四步(1)翻褶(-加)，(2)移位(〃)，(3)相乘， (4)相加，求得一个〃的歹(〃)值，如此可求得所有勿值的y(〃);③一定要注意某些题中在〃的不同时间段上求和范围的不同解：00y{ri) = x(w) * h(n) =，x(=)力(〃 —m)m=-oo 解：⑴》(〃) = %(")*%(〃)= &(〃)⑴当〃 < 〃o时y{n} = 0⑵ 当〃o"4〃o+N-l时，部分重叠 y(n) =m=nn=f夕”"。
m=n0P m=n0(立- 0厂p_a〃+i-〃o _ 4a — 0y(n) = an~n° (w +1 - w0) , (a -(3) 当〃 2〃o + N — l时，全重叠ny(n) = ^x(m)h(n - m)m=n-N+lJ条 t& m—n-N+\ P m=n-N+\便)"-N+l_ 便y+l v _ Z7.V=ccn 0~n° ") = 6〃+]一2_〃0 - p" 1-1 a-By(n) = Na"-"", (a =尸)(a h 夕)如此题所示，因而要分段求解2 .已知线性移不变系统的输入为“〃),系统的单位抽样响应 为h(n),试求系统的输出“〃人并画图1)x(〃)= 5 (〃)(2)x(〃)= &3(〃)(3)x(〃)= S (〃-2)(4)x(〃)= 2" 〃(_〃_])力(〃)=&(〃)h[n} = &(〃) 力(〃)=0.5"&(〃) 〃(“)=0.5""(〃)分析：①如果是因果序列y(〃)可表示成y(〃)={ j(0), y(l), y(2) },例如小题(2)为y(〃)={l, 2, 3, 3, 2, 1);② b(〃)* x(〃)= x(〃), <^(w-/w)*x(w) = x(n - w);③卷积和求解时，n的分段处理。
2) y(〃) = x(〃)*%(〃)= {123,3,2,1}(3) y{ri) = 3(n-2)*0.5"&(〃)= 0.5""&_2)(4) x(n) = 2n u(-n -1) h(n) = 0.5nu(n)当〃 20 y(n)= X0.5n-m2m=-^-n7W=—00 3w 4当〃(一1 y(n)= £0.5〃f 2加二± 2〃 /W=-00 33 .已知, 0一1时 y(n)= Ya-m =-^—mr 1 - a4 .判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：(a ) x ( h ) = A cos( n ——)7 813 j(!L _ 冗)(b ) x (n ) = A sin( -^―4 n) (c) x (n ) = e 6分析：序列为x(w) = A cos( +—)或x(〃)= Asin(690h +材)时，不一定是周期序列,①当24/ 69=整数，则周期为2万②当红=C ,(有理数P、。
为互素的整数)则周期为Q； 5 Q③当2万/00=无理数，则x(〃)不是周期序列解：(q)x(〃)=/lcos(¥〃-9 7 o2万/2万/爷=号・•.是周期的，周期为14 o(b)x(〃)= A sin(—^77)2万/=2乃/ —冗=—♦9周瑞，->鼠率乃+外呜-%)n .・ 〃=-cos g■一 / sin 一6 62万//=12乃 T是无理数5 .设系统屐打朝帆：y(n) = ay(n - 1) + x(n)其中x(〃)为输入，y(〃)为输出当边界条件选为(1)歹(0) = 0⑵ y(-l) = 0试判断系统是否是线性的?是否是移不变的？ 分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型(例如因果序列、反因果序列等), 则递推求解必须向两个方向进行(n > 0及n < 0)解：⑴%(0) = 0时,(a)设 %1 (n) = S(n),按 yl(n) = ayl(n-l) + xl(n)z)向〃>0处递推，%⑴=%()+匹⑴=0%⑵=生⑴+ Xi⑵=0yx (〃)= ayi(n-l) + X| (〃)= 0 y1 (〃)= 0 , n > 0ii)向〃 < 0处递推，将原方程加以变换 %(〃+1)=/(〃) + X](〃 + l)则必(〃)=?乂(〃 + 1) - X] (〃 +1)] 因而必(一 1) = ![必(0) — 玉(0)] = — qT 必(-2)=5[必(一1) 一 七(一1)] = I2 必(-3) = 3M (-2) -%1 (-2)] = -a-3I I I必(〃)=5 Ui 5 +1) - X| (〃 + 1)] = - a" 综上i),")可知：yt(n) = -a"u(-n-1)(6)设 x(m) = 3(n - 1) i)向〃 > 0处递推， 按为(〃)=叩2(〃 - D + 3(”) y2(l) = ay2(0) + x2(l) = l 为⑵=什2⑴+与⑵=。
I I I y2(n) = ay2(n-l) + x2(w) = a"~' y2(w)= a"~'〃)向〃 < 0处递推，按变换后的乃(〃)%(〃)=-%(〃 + 1)- X2(n + DI^2(-D = 1[y2(o)-x2(o)] = o为(-2) = 5[为(一1)一叼(-1)]=° II I»2(〃)= - [%(〃 + 1)— 乂2 (〃 + 1)] = 0 U综上 z), ii)可得:%(〃)=-1) 由(a),S)结果可知，X(〃)与乙(〃)是移一位的关系，但 必5)与歹2(〃)不是移一位的关系，所以在 义0)=0条件下，系统不是移不变系统c)设 x(n) = 6(〃) + 8(n -1) i)向〃 >0处递推^3(l) = av3(0) + x3(l) = l^3(2) = oy3(l) + x3(2) = a为⑶=戏③(2) +%⑶=/I I I% (〃) = % (〃-1) + 必(〃)=an~'y3(w) = an-1ii)向"<0处递推%(-1)=抑3(0)-巧(0)] = 一18 (-2) = J % (-1) - X3 (-1)] = -a-2I I I"(")= !(〃 +D 一 /(〃 + D]=-a" , w < -1综上可得:力(〃)=a"T m(m — 1) — a"u(-n — 1)= yt(n) + y2(n)所给系统在y(0) = 0条件下是线性系统。
6 .试判断：是否是线性系统?并判断(2), (3)是否是移不变系统？分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性，T[a}xt(n) + a2x2(n)] = aj[xt(n)] + a2T[x2(n)]移不变性：输入与输出的移位应相同TEx(n-m) ] =y (n-m)解：(1)n y (〃)= Z x(m ) m = —oonh5)= t[xG)]= X xi(w)m =-oony2(w)=r[x2(H)]= Z[2(加)w = -oon就(〃)+"(〃)=m二snT\axx (w)+bx2 («)] = Z[*i(")+b%2(")] "7 = -87[ar1(rt)+bx2 (/?)] =町(〃)+ by2 (〃)系统是线性系统解.⑵「( \12M5)= 7卜1(〃)]=卜(〃)尸%(〃)= *(〃)]=卜2(〃)「ay\(«) + by2(n) = [ax[ (w)]2 + [bxl («)]2T\axx (w)+bx2 (»)] =加(〃)+如(〃)『=\axx (»)]2 + [bx2 (w)]2 + 2abxx(n)x2{n} 即 T\axx{n}+ bx2 (n )] H 敷[(〃)+ by2 (n)••・系统不是线性系统T\x(n - w)] = \x(n - w)]2 y(n - w) = [x(/7 — w)]2 即 T\x[n — w)] = y[n — m) ：.系统是移不变的力(〃)=再(〃)向停+手) 歹2(〃)= %2(〃)sin 序+ 爷)解：(3)y(〃) = x(〃)sin(警+ ,) ayx(n)+by2(n)=%(小皿警+5)+7.试判断以下每一系统是否是(1)线性，(2)移不变的?T\x[n — m)] = x{n — + 冷)y(n - w) = x(n — zw)sin(^ + y) 即 - w)] = y(« - w)•••系统是移不变的r[ax1(w) + Z>x2(w)]=[6](〃)+ 姐 5)]sin(警 + 手)即有 T\axx (»)+bx2 (»)]=研(〃)+如2(〃)••・系统是线性系统(1) T[x(〃)] = g(〃)x(〃) (2) T[x(〃)] = £x(%)k=n«(3) r[x(«)] = x(rt-M0) (4) T[x(n)] = ex(n)分析：注意：T [x(n)] = g(n) x(n)这一类表达式，若输入移位m,则有x(n)移位变成 x(n-m),而g(n)并不移位，但y (n)移位m则x (n)和g(n)均要移位m 。
解：⑴小(〃)] = g(〃)x(〃)T\axx (w) 4- bx2 (w)]=g(n)[axi (n) + bx2 (/7)]=g(〃)x axx (〃)+ g(H)x bx2(n)=aT[xx (〃)] + bT[x2(n)]二.系统是线性系统T[x(n — m)] = g(n)x(n-m) y(n-m) = g(n - m)x{n - m) 即 T\x(n — w)] y(n -m) ：.系统不是移不变的T[x(n - m)]= ex(n-m) y(n - w )= ex(n-m) 即 T \x[n - m )]=y [n — m：.系统是移不变的解：(2)r[x(»)]= Z x(k) % = "oT \ax, (») + bx 2 («)]=火卬i") + bx2(k)]k = nX axNk) + X bx2(k) k = n0 k = n„=aT [Xj («)] +。