摘要：静电场的基本问题是求解给定边界条件下的泊松方程 或拉普拉斯方 程的解，本文分别阐述在求解区域内有和没有自 由电荷分布的情况下，应用镜像法和分离变量法求解；同时，举 例来演示应用镜像法和分离变量法的解题思路、步骤和结果讨论 以及一些注意点，并在相同情况下分别应用镜像法和分离变量法 进行对比讨论；深入理解镜像法和分离变量法及其特征关键词：静电场、镜像法、分离变量法The Method of Mirror Image and the Separate Variational Method in the Electrostatic FieldAbstract: The basic problem of electrostatic field is to explore the solution of Poisson equation or Laplace equation under its given boundary condition. This article respectively explains the approaches to explore the solution using mirror image and separate variational methods under the to-be-explore solution area situation which has and which lacks freedom electric charge distribution .Meanwhile, it takes some instances to demonstrate the problem-solving thoughts and steps applying mirror image and separate variational methods. It also provides some discussions about the result and the points needing to be noted in the process of this demonstration. This writer also tries to help the readers to deeply understand the methods of mirror image and separate variational methods and their characteristics by doing contrastdiscussion under the same condition. Keywords: the electrostatic field, the method of mirror image, the separate variational method.1、引言：静电场和电源外恒定电场的边值问题的求解，可 归纳为在给定 边界条件下，对拉普拉斯方程或泊松方程的求解。
很多文章已经就界面形状是比较简单的几何曲面的这类问题给 出了解析形式的求解，这种解析形式求解的常用方法分别是镜像 法和分离变量法本文在应用此方法求解边值问题的探讨基础 上，进一步地就镜像法和分离变量法的应用进行对比和讨论2、静电场中的静像法与分离变量法的介绍i）、镜像法 拉普拉斯方程仅适用于求解区域没有自由电 荷分布若求解区域有自由电荷分布，则必须求解泊松方程；一 种重要的特殊情形是区域内只有一个或几个点电荷，区域边界是 导体或介质界面下面介绍解这类问题的一种特殊方法一一镜像 法，镜像法也是电动力学中一种很重要的方法在区域特殊情形 下，许多复杂的问题使用该方法求解都会很简洁方便镜像法的基本思想：如果在原电荷产生的电场中存在着 导体或介质分界面，则由于静电感应或极化作用，在导体和介质 分界面上将出现感应或极化电荷，在我们研究的区域之外，用一 些假想的电荷来代替场问题的边界，如果这些电荷和场区域原有 的电荷一起产生的电场满足原问题的边界条件；那么，它们的电 位叠加起来，便得到我们所要求的电位解，这种方法就称为镜像 法，假想电荷就是镜像电荷ii）、分离变量法 静电学的基本问题就是求给定边界条 件下的泊松方程的解；如果在所研究的区域内，没有自由电荷分 布，即：p（x）=O因而泊松方程变成： 口 2口 =0 拉普拉斯方程） 那么区域内的场分布是通过区域边界条件反映出来 的,该类问题有一种非常重要的解析方法——分离变量法。
分离 变量法是数理方程中应用最广泛的一种方法，是解拉普拉斯方程 的最基本的方法它首先要求给定边界与一个适当坐标系面相结 合，或者至少分段地与坐标面相结合；其次在坐标系中待求偏微 分方程的解可表示为几个函数的乘积，其中每个函数分别仅是一 个坐标的函数，这样通过分离变量将微分方程化为常微分方程求 解并以给定的边界条件确定其中待定常数和函数，最终得到电 位函数解用分离变量法求口 2口 =（要根据边界的形状选择适 当的坐标系1）、直角坐标系中分离变量：电位函数的拉普拉斯方程为啦①皮 这在电位函数口只是x和y 的函数，沿 z 方向没有变化的二维直角坐标系中讨论拉普拉斯 的分离变量法，电位函数的拉普拉斯方程为：将待求的电位函数「 用二个函数的乘积表示为:(1-2)式中X仅为x的函数，,仅为y的函数将(1-2)式代入(1-1) 式，并用YX,除以方程式的两边，便得：上式左边与 y 无关，右边与 x 无关，而在 x、y 取任意值时 它们又恒等显然，这只能在两边均等于一常数时才可能，将此 常数写成 k2 n 称为分离常数当kn= 0时，上面两个常微分方程的解分别为:X〔工)=+好灯•和F 0)=即歹+ Dq而当knHO时，则解分别为：= A^hl^x + B^hk^x和F〔y) = q co昵卩+ 2 sin^y其中土 3. ： ： X. ： 3 .：匕广和D都是待定常数。
因拉普拉斯方程是线性的，适用叠加原理， kn 取所有可能值的解的线性组 合也将是它的解，所以由(1-2)式得到电位函数的一般解是:00泌兀=(血工 + BQ)(CGX + Dq)+ + SKsh(kKx)]\CK cos(^j^) +Dn sinfcj)：]2)、圆柱坐标系和球坐标系中的分离变量法面来讨论一下：圆柱坐标系中的拉普拉斯方程为我们只讨论二维平面场情况，即山与z无关的情况，这时的拉普拉斯方程变为：令待求电流函数的□试探解为)()()(□ 口 口 grfrQ,待入上式(2-2)(2-3)经整理得用 乘上式得:F © (淖沽=_ 1宠(0) /V) df dr 胃妙)8屛上式的第一项仅是r的函数，第二项仅是口的函数，要使上 式对于所有r、□值都成立；显然，这只能在两边均等于一常数 时才可能，令常数为k2,整理得：兀瞬+「穿-及当 k=0 时，fO(r)=AO In r+BO 和& +D当 kHO 时，：」；，*； _刁；一和g* y M曲：一£).止；p于是，由这些解的相应乘积叠加组成拉普拉斯方程的一般解 为：艸（仁0）=（血1口旷+爲）（50+2）+二（九尸+比尸）心上阴綁+D.t血疋0） 上式中各常数由具体问题的给定边界条件确定。
同理，在球面坐标系中，用分离变量法求v:^=0为::敖響+严爲丿叱》几鳥J我们只讨论场问题与坐标中无关的情况（极轴对称） 这时，拉普拉斯方程为：兰用分离变量法求其通解，令待求电流函数的&彳试探解为:"（一 以"煜⑺，口待入上式经整理得:FS曲［为勒让德多项式（勒让德函数）,11BA、为任意常数， 由边界条件和边值关系确定3、应用举例1）、无限大导体平面前的点电荷用镜像法解题，设在无限大接地导体平面（z=0）附近有一 点电荷q与平面距离为z=h导体平面是等位面所以这问题的边 界条件是■-=常数口 口 （导体面上）由于导体接地，因此可设电位为零，要求上半空间中的电场（如 下图）导体平面附近点电荷 导体平面附近点电荷及其镜像图显然，假设导体平面不存在，而在 z=0 平面下面与点电荷 q 对 称地放置一个点电荷（一q）,则z=0平面的电位仍为零电位面这 样，我们便可用q和其像电荷（-q）构成的系统来代替原来的边 值问题,上半空间内任点电位为：L即为给边值的问题的解原 问 题 的 平 面 上 的 导 体 感 应 电 荷 密 度 为负号表示该处的电场指向导体内，即向下 计算感应电荷总 量时，为简单起见，改用极坐标 审+厂二们，西二rdrdr ；于是,-—qh它与镜像电荷相等。
用镜像法解题时，要注意适用区域，这里（ 3-1）式适用区 域为导体平面上半空间内，下半空间内实际不存在电场；至于镜 像电荷应具有什么样的形式，原则上没有任何限制，即对确定的 原电荷，不必要求镜像电荷与之有形式的对应，个数的对应，大 小的对应等只要镜像电荷能等效的代替面电荷在求解区域之内 的场，又不改变原来的边界条件即可2）、导体球置于均匀的电场中半径为 R0 的导体球置于均匀外电场 E0 中，求电势由于导体球在静电平衡时是等势体，且球内场为零，只求球 外场，取球坐标 系，原点在球心且极轴上外场E口平行，显然， 此时电势□具有极轴对称，那么在球外：丹=0回 I feK>=0用球面坐标系，我们只讨论场问题与坐标中□无关的情况这 时 ， 拉 普 拉 斯 方 程 为 :用分离变量法求其通解,令待求电流函数的&试探解为：「(:「)八飞㈢，待入上式经整理得问题通解为代入条件：f〔 4样+爲二o iZd■»4疋丹(cosff)二—E 賦号(COS0)得到：4凡'+护节二° 贝心耳二-九时4 =-e:. (4■二 o,z 症 D ；贝 U b1 =ej<:- 西二 o(r症 D即寧=~EJ
真空中有一半径为 R0 的接地导体球，距球心为 a(a>R0)处有一点电荷Q;求空间各点电势我们先用镜像法来求解（如上图），假设可以用球内一个假 想的点电荷Q'来代替球面上感应电荷对空间电场的作用，由对 称性可知，Q'应在0Q连线上，关键是否能选择Q'的大小和 位置使得球面上 =0的条件得到满足，对球面上任一点P：-=-^-=常数f Q由图可知，只要选Q'的位置使厶OQ' P〜AOPQ贝I」:-=R°=常数r a设Q'距球心为b,两三角形相似的条件为：则球外P点的电势"那么，用分离变量法求解此题又是怎样的呢？如右图P点电势由Q在P点产生的电势和球在P点产生的电势 V 之和，即V二若 〔工+佔）卑仙砂 （图为一接地导体球）而有关 V 的定解问题为：▽匕0V I二0因此，又由勒让德母函数可知在球面上书 I y = 0在球面上卜£ :::恥如£幽To 推出：莎+邑—0 环少Ri+1~得到：即…亠(7^——了—一)Vj?2 + £32 -2RacosO +& -2RbcQsO(Q‘ 二-迟 I I < I Q I )a上述分离。