二、同方向不同频率两个简谐振动的合成,一、同方向同频率两个简谐振动的合成,三、个互相垂直同频率简谐振动的合成,研究方法： 采用振动描述的三种方法来分析简谐振动的合成第27讲 简谐振动的合成和分解,本讲主要内容：,五、谐振分析和频谱,四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成,同方向同频率两个简谐振动的合成仍为简谐振动一、同方向同频率两个简谐振动的合成,讨论两个特例,(1)两个振动同相,由,由,(2)两个振动反相,合成振动,合成振动,,,上述结果说明两个振动的相位差对合振动起着重要作用合成振动,,例: 两个沿同一直线且具有相同振幅和周期的谐振动合成后，产生一个具有相同振幅的谐振动，求原来两个振动的相位差解：,,例: N个同方向，同频率的谐振动，若它们相位依次为， 2，…,试求它们的合振幅;并证明当N=2k 时的合振幅为零解： 合振幅A,由OPa可看出,当N=2k 时的合振幅为零请记住这个结论！,请大家自行练习！,,------仍为简谐振动,,,,若1= 2 ,则 不变；,若1 2 ,则 变；,------为一复杂运动,采用旋转矢量表示法,同方向同频率两个简谐振动的合成,二.同方向不同频率两个简谐振动的合成,同方向不同频率两个简谐振动的合成,,,设两振动振幅相同，并以它们的初相位都为零时为计时起点,采用解析法,振动曲线示意图,为一复杂振动,和频,差频,,,,振幅周期性变化,x1,——拍现象（Beat),即 1- 2 1 or 2,,解析式,振动曲线,振幅随时间的变化非常缓慢,振幅调制因子Amplitude modulation factor,应用cool edit来合成两频率相近的简谐振动,问题：两个拍现象中那个的差频大？,声音强弱的变化快,声音强弱的变化慢,6秒中变化了6次，有6 拍,6秒中变化了3次，有3 拍,,一个强弱变化所需的时间,,x1,x2,合振幅变化的频率即拍频,手风琴的中音簧： 键盘式手风琴（Accordion)的两排中音簧的频率大概相差6到8个赫兹，其作用就是产生“拍”频。
而俄罗斯的“巴扬”---纽扣式手风琴则是单簧片的，因此没有拍频造成的颤音效果利用拍频测速 从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效应要发生微小的变化，通过测量反射波与入射波所形成的拍频，可以算出物体的运动速度这种方法广泛应用于对卫星、各种交通工具的雷达测速装置中拍现象是一种很重要的物理现象仍为谐振动，但是振动方向改变了！,三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成,,轨迹为圆,,注意！,提问：若y方向振动落后x方向，则结果如何？,两个互相垂直不同振幅同频率简谐振动的合成,与合成相反：一个圆运动或椭圆运动可分解为相互垂直的两个简谐振动四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成,如果两个相互垂直的振动的频率不相同，它们的合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的下面只讨论简单的情形两振动的频率只有很小的差异,则可以近似地看做同频率的合成，不过相差在缓慢地变化，因此合成运动轨迹将要不断地按上图所示的次序，在图示的矩形范围内自直线变成椭圆再变成直线等等如果已知一个振动的周期，就可以根据李萨如图形求出另一个振动的周期，这是一种比较方便也是比较常用的测定频率的方法则合成运动又具有稳定的封闭的运动轨迹这种图称为李萨如图。
如果两振动的频率相差较大，但有简单的整数比,,,为合振幅随时间作缓慢变化的准简谐振动（拍）,两个同方向频率相近的简谐振动的合成,总结：,合振幅变化的频率即拍频,两个同方向频率相同的简谐振动的合成仍为简谐振动合振幅与两振动的相位差有关，可用旋转矢量图求得两个振动方向垂直频率相同的简谐振动的合成可能仍为直线振动（而且是谐振动）也可能是圆运动，和椭圆运动课后实验： 1. 请你测量一根吉他琴弦的振动频率 2. 敲击盛水的玻璃酒杯能产生清晰的音调.试用 音叉把这些音调校准到你所需要的频率看看是否能把他们排列起来构成一个八度音阶五、谐振分析和频谱,在自然界和工程技术中，我们所遇到的振动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动，这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶分析自学）,先看一个倍频谐振动的例子下图，两种虚线代表两份振动，频率之比为3:1，实线代表它们的合振动，图（a),(b), (c)分别表示三种不同的初相位所对应的合振动三种不同情况，和振动各有不同形式，它们不再是简谐振动，但仍然是周期运动，而且合振动的频率与分振动中的最低频率（基频）相等.,如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动，其频 率等于倍频。
按规律：,如果增加合成的项数，就可以得到方波形的振动：,既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之和的方法，称为谐振分析各系数可由公式得,其中：,为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情况（振幅、相位），常用图线把它表示出来若用横坐标表示各谐频振动 的频率，纵坐标表示相应的振幅，就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱不同的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分的频率都是基频的整数倍， 所以它的频谱是分立谱不同乐器奏出的统一音调的音色各不相同，就是由于各种乐器所包含的谐频振动的振幅不同所致下图表示小提琴和钢琴同奏基频为440Hz(A调）的振动曲线和相应的频谱：,近年来，配备有数字电子计算机的专用仪器相继问世，如频率分析仪、快速傅立叶变换处理机、信号处理机等， 使用这类仪器可以在很短的时间内完成频谱分析。