二二 项项 式式 定定 理理建瓯一中：吴振旺数学网 搜集，仅供学习和研究使用！ 一、教材分析一、教材分析【教材的地位及作用教材的地位及作用】“二项式定理”是高中数学新教材第二册（下B ）第十章第四节，它是安排在排列组合内容后的自成 体系的知识块实际上，它是初中学习的多项式乘法 的继续，它所研究的是一种特殊的多项式-----二项式 乘方的展开式它与后面学习的概率理论中的二项分 布有内在联系，利用二项式定理可进一步深化对组合 数的认识，因此，二项式定理起着承上启下的作用， 是本章教学的一个重点本小节约需3个课时，本节课是第一课时学生情况分析】授课对象是高二中等程度班级的学生学生 具有一般的归纳推理能力，学生思维较活跃， 但创新思维能力较弱在学习过程中，大部分 学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形 成过程根据以上分析，结合新课标的理念，制 订如下的教学目标和教学重、难点）教学目标教学目标】】使学生掌握二项式定理及推导方法、二项展 开式、通项公式的特点，并能运用二项式定 理计算或证明一些简单的问题 1 1、知识目标：、知识目标：2 2、能力目标：、能力目标：在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过 程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力， 以及学生的化归意识与知识迁移的能力。
3 3、情感目标、情感目标 ：：通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数 学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在 的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美， 结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育 ，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤 奋学习的热情，培养学生勇于探索、勇于创 新的精神 【【教学重点、难点、关键教学重点、难点、关键】】重点重点 ：：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式定理；（2）能正确应用二项式定理解决一些简单的问题 难点难点 ：：（1）二项式系数与组合数之间的联系；（2）二项展开式的应用及一些易混淆的概念 突破难点的关键突破难点的关键 ：：（1）利用组合数及性质分析“杨辉三角”中各数的关系 ；（2）利用组合的知识归纳二项式系数；（3）充分利用二项展开式及通项公式 二、教法、学法分析二、教法、学法分析数学是一门培养人的思维发展的重要学科因此， 在教学中让学生自己发现规律是最好的途径正所谓“ 学问之道，问而得，不如求而得之，深固之本节课 的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极 探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探 索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多 项式乘法入手，进行分析，又可利用组合的有关知识加 以分析、归纳，通过对二项展开式规律的探索过程，培 养学生由特殊到一般，经过观察分析、猜想、归纳（证 明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察、联 想、归纳能力。
不仅重视知识的结果，而且注重了知识 的发生、发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教学 理念，培育了本节课内容最佳的“知识生长点”，这对 于学生建立完整的认知结构是有积极意义的 三、教学手段三、教学手段制作多媒体课件，以增加课堂容量， 提高学生的兴趣，使学生加深对定理、概 念的理解 四、教学过程设计四、教学过程设计【【复习引入：复习引入：】】复习回顾：复习回顾：［提问］初中学过的完全平方公式是什么？你能写出 ， 设计意图：设计意图：通过复习旧知识，自然引入，在这里设计 了层层递进多项式展开问题，目的是为了让学 生了解知识发生、发展的过程，激发学生的认 知的冲突，让学生明白 实质上是多项 式的乘法 思路一思路一 ：：提问提问 ：：(1)、以 为例，展开式中各项字母的形式是什 么？展开式项的次数是什么？有几项？(2)、 展开式中各项的系数与 展开式中 各项的系数有没有关系？(3)、你能猜想 展开式的形式吗？观察下列几个等式：【【设计意图设计意图：：】】由特殊的二项式来分析猜 想一般的 展开式，培养 学生由特殊到一般的思维方式 ，培养学生大胆探索的精神。
（１）、展开式中各项是 的形 式，可按a（或b）的降幂排成：（２）、展开式中各项系数的规律：将 中 展开式的系数列成表如下： 1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1… … … …发现发现 ：：发现每行两端都是１，后一行其它各数是 上一行肩上二数之和再从一个数等于另二数 之和联想到结合数及其性质： ， 于是各项系数可写成表中形式： 由此猜想 展开式的各项系数： 【【设计意图设计意图：：】】学生对各项是 形式不难猜到，但对二项式系 数不易想到通过“杨辉三角”中的数字规律，联想到 组合数及性质，进而可用组合数来表示表中的数，从 而猜想 各项系数为 ，让学 生的思维从特殊到一般，由迷茫到大悟，使学生深深 体会到数学内在的和谐、对称美。
在此，适时对学生 进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感和学习数 学的热情 思路二思路二 ：：观察下式 ：由多项式乘法知，其展开式的每一项是由4个括号各取一项相乘而得，故每一项都是 形 式，即 .各项系数是由相同的项合并而成的，有几项其系数就是几，故 含 的项只能由每个括号取a不取b（或说取0个b） 而得，即 ，系数为；含 的项只能由3个括号取a，余下的1个括号取b而 得，即 ，系数为；含 的项只能由2个括号取a，余下的2个括号取b而 得，即 ，系数为；含 的项只能由1个括号取a，余下的3个括号取b而 得，即 ，系数为；含 的项只能由4个括号都取b而得，即 ，系数 为； 从而可得从而可得 ：：提问：提问： 的展开式怎么写呢？的展开式怎么写呢？ 引导学生回答：可以对b分类： 不取b，得 取1个b，得 取2个b，得 ………… 取k个b，得 ………… 取n-1个b，得取n个b，得 将这将这n+1n+1个式子相加，可得二项式定理个式子相加，可得二项式定理 【【设计意图设计意图：：】】本环节以问题为中心，由浅入深地引导学生大胆猜想。
利用组合知识， 充分揭示二项展开式的内涵和外延帮 助学生建构和完善自己的认知结构，既 显得合情合理，又科学严谨进一步强 化学生的逻辑思维能力和归纳能力 完善结论完善结论 ：：把上述探索得到的结果叫做二项式 定理，右边的多项式，共有n+1项 ，其中各项系数 叫做 二项式系数，其通项公式为： . 说明说明 ：：（1）、猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全 归纳法得出，需加以证明其证明因目前知识所限， 留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用 （2）、二项式定理是个恒等式，定理中字母a、b可表 示数或式，其中 . （3）、展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母 a降幂，b升幂排列 （4）、通项公式表示的是第r+1项，不是第r项，且a、 b位置不能对换 （5）、二项式系数为 ，注意与项的系数的区别 例如： 的第三项是 ，其二项式 系数为： ，第三项的系数为： 【【设计意图设计意图：：】】对定理的特点加以说明，可使学生能熟练掌握定理的特点， 以便今后在应用定理解决问题时 能得心应手。
应用解析应用解析 ：： 例：（1）、展开（2）、求 展开式的第3项 （学生练习:） （3）、求 展开式的第3项 【【设计意图设计意图：：】】例（1）是对二项式定理的简单应用，目的在于 对定理字母a、b所表示的数或式的领会及运用定理的能力；例（2）、（3）二题着重于学生对通项公式的掌握，体会二项式定理 的 展开式中a与b位置不能对换，并注意到例（3） 的结论正是例（2）展开式中的倒数第3项 应用解析应用解析 ：：例（4）、 的展开式中， 项的系数是多少？ 【【设计意图设计意图：：】】本题可先将其中的二项看成一个整体，再用二 项式定理展开，进而求出其系数，这种解法体现了 化归的意识，但本题如能根据二项式定理的形成过 程中项的系数的探究，可得如下解法：从7个括号的 2个里取“a”得 ，再从余下的5个括号中的3个取 “2b”得 ，最后剩下的2个括号里取“3c”得： ，由分步计数原理得：通过本题的学习，有利于学生对知识的串联、 累积、加工，使学生的思维有一个升华过程，从而 达到举一反三的效果，加深学生对数学本质的理解 。
小结小结 思路一： 由特殊的二项式 来分析猜想一般 的 展开式 思路二： 根据多项式乘法、 结合组合知识，通 过猜想归纳得到 二项式定理：及通项公式： 注意事项注意事项 （a）、注意观察、分析、猜想、归纳（证明）的数 学方法 （b）、二项式定理是个恒等式，定理中字母a、b可 表示数或式，其中 . （c）、展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字 母a降幂，b升幂排列 （d）、通项公式表示的是第r+1项，不是第r项，且a 、b位置不能对换e）、二项式系数为 ，注意与项的系数的区别 布置作业布置作业1 1、课本作业：、课本作业：Ｐ113 1、（1），2、（2），3、（3 ） 2 2、思考题、思考题 ：：求 的展开式中x的系数 3 3、研究性题、研究性题 ：：的展开式 中x的系数为19，求 的系数的最小值及此时展开式中 的系数 【【设计意图设计意图：：】】（1）、本节课从知识上学习了二项式定理及通项公式，从方法上通过二项式定理的形成过程，学会了观察、分析、猜想、归纳（证明）的 数学方法，通过小结，使学生对本节课的知识 脉络更加清晰。
2）、通过作业巩固所学知识，发现和弥补教学中的疏漏与不足，强化基本技能训练，培养 学生良好的学习习惯和品质 五、课后反思 本节课是二项式定理的第一节课，在教学中注意以下几点： 1、本节课以“二项式定理”的形成过程为主线，让学生思维由特 殊到一般，演绎、归纳，得出定理培养学生猜想、归纳，整节课 以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念 2、在例题、练习、作业的配备上，我认为高中学习的特点是跨 度大，思维能力要求高因此，在题目的设置上，加大了思维的含 量，如例4，让学生体会到二项式定理形成过程中的思维方式，培 养了学生的知识迁移能力，因此，我认为习题的搭配应力求让学生 处理每一个问题都必须有所思考，使学生体会到：数学不能生搬硬 套，应该用数学的思想方法去学习数学、认识数学 3、以学生为主体，让学生自己去探索、发现、再创造，最能调 动学生的积极性，最有利于培养数学能力，特别是创造性能力，从 数学教育对人的发展的意义看。