第04讲五种裂项相消法求数列前n项和的方法考法呈现弘考法一：分式型裂项 例 题 分 析 例 1已知在等差数列%中，i +a5=18,a6=15.(1)求 a九 的通项公式；求数歹小屋而J 的前几项和S，【分析】(1)根据等差数列性质和通项公式可求得公差d,代入通项公式即可求得即；(2)采用裂项相消法可求得S n.【详解】(1)设等差数列 a力的公差为d,+5 =23=18,的=9,d=a63a3=2,册=的+(九3)d =9 +2(n -3)=2n +3.(2)由(1)得._-_=_-_=-(_L_A(2n+l)an(2n+l)(2n+3)2 2n+l 2n+37，Sn=-X(i-i +i-i +i-i+-+-)=2 X (i -)=n 2 3 5 5 7 7 9 2n-l 2n+l 2n+l 2n+37 2 3 2n+37 6 n+9满分秘籍利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能是前面剩两项，后面也剩两项，也有可能是间隔开的项剩下，一般来说是对称的2)将通项裂项后，一定要注意调整前面的系数，避免失误3)掌握常见的分式型裂项相消的公式：公式一：一-=2(工一-);公式二：-=-(-)n(n+k)k n n+kJ,、(2 n-l)(2n+l)2、如-1 如+J公式三：-=-n(n+l)(n+2)2 Ln(n+1)(n+l)(n+2)JIB变式训练【变 式 1-1 记 数 列 的 前 n 项和为Sn，对任意n e N*,有Sn=5 +1)(%n).(1)证明：a j 为等差数列；(2)求数列f-一)的前n 项和.ianan+1J【答案】(1)证明见解析【分析】(1)根据Sn=(n+l)(an-n),令 n=l 得到a1=2,令 n 2 2 最终得到an-an-i=2,结合等差数列定义即可证明；(2)根据等差数列定义得到an=2 n,结合裂项相消法求和即可.【详解】(1)因为Sn=(n+l)(an n),所以当n=l 时，a =Si=2(a1-1),所以ai=2,当 n 2 2 时，Si=n(an_!-n+1),两式相减得 Sn-Sn_j=(n+l)(an n)n(an_i n+1),即an=(n+l)an n2-n nai+n2-n,即 nan-nan_1=2n,因为n 2 2,所以an-an_T=2 为常数，所以 a j 是首项为2,公差为2 的等差数列(2)由(1)知，an=2+2(n 1)=2n,anan+l 4n(n+l)4 n n+17所以数列 康 的前n 项 和 屁(1-W-三)=乂 1-+)=4(n+l)【变 式 1-2】记Sn为数列 册 的前几项和.(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列 册 是等差数列；数歹W+是等差数列；Sn=生/G N*)(2)若数列 册 为等差数列，且的=1,。
3=5,求数歹耳温通 的前n项和7V【答案】(1)证明见解析 T-_2n+3()n-4-2(n+l)(n+2)【分析】(1)选择条件，利用an与Sn的关系式和等差中项的性质即可得证；选择条件，设数列 曰 的首项为b i，公差为P，求出Sn，表示出an，即可得证.(2)由(1)根 据 已 知 得 出 一 然 后 利 用 裂 项 相 消 法 即 可 求 解.(n+2)Sn 2 n n+2/【详解】(1)选择条件：Sn=曳*(n e N*),2Sn=nan+n,2Sn+1=(n 4-l)an+1+n+1,两式相减可得 2an+1=(n+l)an+1-nan+1,即 nan-1=(n-l)an+1,/.(n+l)an+1-l =nan+2,两式相减可得(n+l)an+1-nan=nan+2-(n-l)an+1,化简可得 2nan+1=n(an+2+an),2an+1=an+2+an,数列 a j 是等差数列选择条件：设数列 鼻 的首项为b i，公差为p,则,=N+(n-l)p=np+-p,故Sn=pn2+-p)n,当 n N 2 时，an=Sn-Sn_t=pn2+(bi-p)n-p(n-l)2 一 -p)(n-1)=bi+2(n-l)p,当 n=1 时，a=Si=b i,A an=bi+2(n l)p,X an+1-an=bi+2np-bx-2(n-l)p=2p.数列 aQ是等差数列.(2).数列 a j 是等差数列，且公差d=亨=2,Sn=呵 +nS：1)d=n+n(n1)x 2=n2.(n+2)Sn n(n+2)2 n n+2/故几1 13 21 1 _ 1 1 _ 1 4+3 5+n n+2/111 1-fl H-)2 2 n+1 n+23 1,1 1、3 2n+3-1-1-1 =-4 2 kn+l n+27 4 2(n+l)(n+2)【变 式 1-3已知等差数列 册 满足。
2=4,2a4 一5=7,等比数列 4 J 满足力3=4,九+阮=8(瓦+上)(1)求 每 与%的通项公式;O 一 ，(2)若 勾 0,设=-F bn,求 c九 的前几项和S九.nan+l【答案】(1)答案见解析【分析】(1)设 a j 的公差为d,由题意可得2(4+2d)(4+3d)=7,求得d=3,a1=1,进而可求an=3n-2；设 b j 的公比为q,由题意可得biq3(l+q)=8b式1+q),求得q=2 或 q=-1,再分q=2,q=-1两种情况求解即可.(2)利用裂项相消法和分组求和法即可求解.【详解】(1)设 a j 的公差为d,因为a2=4,2a4 as=7,所以 2(4+2d)(4+3d)=7,解得 d=3,从而ai=l,所以 an=3n 2.设 bn 的公比为 q,因为b4+bs=8(bi+b2),则有biq3(l+q)=8立(1+q)E H 0,q3(l+q)=8(1+q),解得 q=2 或 q=-l,当 q=2 时，因为b?=4,所 以 瓦=/=1,所以瓦,=2-1.当 q=l 时，因为bs=4,所以b=4,b?=4,所以为=4 X(I)1.(2)由(1)可 知,若 b n 0,则bn=2-1.3因为g(3n-2；(3n+l)+2 n T 所以d=在 一 +Z 】，所以S n =(l _3+W”，+*_)+(l +2+,“+2 n T)，所以=(1-*)+黑=2 高.【变 式 1-4已知数列 册 是公差为d 的等差数列，且 的=1,若 16 和 26 分别是 册 中的项.(1)当d 取最大值时，求通项an；(2)在(1)的条件下，求数列 诙%的前项和S a.【答案】(l)an =5 n-4【分析】(1)由等差数列的性质，可得d =驷 子=岑 1,找到m,n 与 d的关系，进而找到d取最大值时,m 1 n 1通项an；(2)裂项相消即可.【详解】(1)由已知得d 0,数列 aj 单调递增，不防设am =16,an =2 6,且 nml,d =并喘即总喑，.*=5(m-l),m与 n越小，d越大，弋二：二；C二，d =5,.=5(n C N*)(2)由(1)知：an=5 n-4,二 屋 面=(5n+i)U-4)=3一 在 F =第_:+3_5+高)4(1 -=I e N*)弘考法二：根式型裂项例题分析【例 2】已知等差数列 册 的前n 项和为%,a4+7=2 0,S9=2 7a2.(1)求 册 的通项公式；(2)设 =一一,数列 的前n 项和为7 ,证明：当3时，2 药?.V n+2+V n【答案】（l）an=2 n-l（2）证明见解析【分析】（1）设公差为d,利用等差数列的通项公式和求和公式列式，求出a1和d,可得a n；（2）分母有理化化简利用裂项求和求出几，作差比较可证不等式成立.【详解】（1）设公差为d,(a1+3d+a1+6d=2019al+d=2 7(a1+d)12al+9d=2018al=9d,解得 忆;所以 H n=a1+(n l)d=1+2(n 1)=2n 1.b _ 2 _ 2 _ _ _ _ _ _ _ _n -y/an+2+V n V2 n+3+-/2 n 1(V2 n+3+V2 n 1)(V2 n+3 /2 n 1)_ 2(V?-A/2 n-l)_2 n+3-(2 n-l)-2 所以 T n =也+b 2 +b?+bn1 _=-(V 5-l +V 7-V 3+V 9-V 5+-+V2n+3-V2n-1)所以 2Tn=V2n+3+V2n+1-V 3-1,所以 2Tn ,Hn+i 72n+3+y/2n+T y/3 1 V2n+1=A/2n+3 V3 1,当 n N 3 时，V2n+3-V3-1 ,2 x 3 +3-V 3-l=3-V 3-l=2-V 3 0,所以当n 2 3 时，2Tn Va7.满分秘籍变式训练【变 式 2-1已知等比数列 册 的前n项和为Sa，an+1=Sa+2（n e N*）.(1)求数列 册 的通项公式；(2)在“与册+i之间插入几个数，使这n +2个数组成一个等差数列，记插入的这几个数之和为如，若不等式(-l)nA 2 -券对一切几e N*恒成立，求实数2 的取值范围；1 n(3)记%=4,求证：号+空+l&(neN)10g 2 成 弧 廊【答案】(1)%=2 九 E)(3)详见解析.【分析】(1)根据“和S n 的关系即可求解；(2)根据等差数列前n 项和公式求出代入化简即可解决；(3)求 出 与 瞥，进行适当放缩后用裂项相消求和解决.y/bn【详解】(1)设等比数列 册 的公比为0当九=1 时，有。
2 =1+2,贝！U iq =%+2 当712 2时，?？；,1：1,两式相减可得：an+1-an Sn-Sn -an,1az i on-i i-乙整理得与+i=2%,可知q =2,代入可得的=2,所以等比数列 a j 的通项公式为0 n=2 (n e N*).(2)由已知在册与0n+i之间插入n 个数，组 成 以 即=2 几为首项的等差数列，所以=生 曾 段 扫)一与一 a+1=迎以=3 n-2 -1,贝鼠-1)92一 患=2一急1 n N设=2-京，则&是递增数列，当n 为偶数时，4 2奈恒成立，即4(2卷)=c2=1,所以当n 为奇数时，一 4 2亘成立，即一 4 1；Z Z m in综上所述，曲取值范围是(3)证明：由(1)得“=白=；,l o g2 2n则有%二强1-1=遮=-涯-遮-、yb V2n(n+1)2 VH(n+1)y/n(n+l)+y/n(n+l)nVn +1+Vn(n+1)_ _ _ _ _ _ _V2 _ _ _ _ _.(ns)_ ；2 z j_ _ i VnVn+l(V+Vn+l)y/n-Vn+1 y/n Vn+17J 2丁3+十 踵 二生 迎 叶 _ 目 +化一目+1.)-Jb yb yb L Vl V2/V2 V3/5 5+1 J2),可得 b j为首项为1，公差为1 的等差数列，可得22n,a2=i+(n_1)xi=n,进而求解；(2)根据裂项相消求和，进而即可得证.【详解】(1)由22n.aR=l+22n-2.a-I(n 2 2),得22n._ 22n-2.a i=1,令bn=22n,a2；则几-bn_t=l(n 2),且bi=4ag=1,b j为首项为1,公差为1 的等差数列，22n a三=1+(n 1)x 1=n,又an 0,证 明：W：(时 需)=(?+管-5+(上 黑)=黑吟【变 式 2-4在 二；=一-一；“=2nan,这三个条件中任选一个补充在下面横线上,y J C Ln-yiln+1%1an+1并解答问题.己知数列%的前n项和Sn=nan-|n2+|n.(1)证明：数列 an 是等差数列；(2)若%=2,设,求数列%的前n项和7.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】(1)利用数列通项an与前n 项和Sn的关系证明.(2)利用裂项相消法、错位相减法计算求解.【详解】因 为 Sn=n a n-+|n 9,所以Sn+1=(n+l)an+i-9 n+1)2+|(n+1)，一得an+i=(n+l)an+1-nan-3n,整理得an+1-an=3,由等差数列的定义可知 a。