数学科学与天体力学300年V. I. Arnold高非译;王继海校自从牛顿《自然哲学数学原理》问世至今，己整整三百年了牛顿这一著作奠定了现代 理论物理学基础，对科学发展全部进程，都产生了巨大影响书中不少章节，现己发展成为 理论，对此，已写出了成千上万的书1.牛顿的书，主要为了论述如何解决如下数学问题：证明在到与吸引中心的距离平方 成反比的引力作用下，被吸引物体沿椭圆运动，而吸引中心在其中一个焦点上（当初始速度 足够大时，物体也可能沿其它锥截曲线——抛物线和双曲线——运动）换句话说，即根据 牛顿万有引力定律，推出开普勒行星第一定律（行星沿备圆轨道运行，太阳位于其中一个焦 点上）为此目的，牛顿远远地发展了力学的数学工具，从大家熟知的牛顿三定律直到月球 摄动理论2.无论是万有引力定律还是牛顿定律，都不是牛顿发现的惯性定律（牛顿第一定律） 始于伽利略惠更斯在1659年推导了圆周运动的向心力公式（为此，需要掌握牛顿第二定 律）1663年，惠更斯在伦敦皇家科学院会议上，叙述了能量和动量守值规律开普勒（1609）写道：「如果地球停止吸引，所有海水都将涌入月球」引力平方反 比定律，已见于1645年1. Biot所著书中。
激发牛顿认真研究引力的推动力，是胡克的一封信胡克是始建于1662年的皇家科 学院的学监，根据规定，学监有责任在每间举行的科学院会议上演示二三种证明某些自然定 律的实验这些定律不一定是他本人的发现，也可得知于和其它学者的通讯，或取自出版物 等，只要求是由实验证明成立的定律胡克忠实地完成了自己的使命，在长达四十年的期间里，证明了大量自然规律他 个人，一生中发现的规律达五百以上其中一些规律，至今仍以胡克命名，如弹性基本定律: 回复力正比于对平衡位置的偏离其它一些规律，被归属于另外的作者（如气体弹性定律， 作为助手胡克的发现，首先在波义耳的书中发表，现称为波义耳一马略特定律）3.由于每周都必须证明几项自然规律，胡克常常很匆忙，无暇顾及自己所发现规律的 数学表述1679年底至1680年初，在与牛顿的通信中胡克把自己关于引力的一些想法告 知牛顿：⑴被中心力所吸引的物体，当力的大小反比于距离平方时,将沿偏心的类椭圆线（即 类似于椭圆的曲线）运动；（2） 实验已经证明，地球引力随高度增加而减小；（3） 如同弹性力在趋向平衡位置时变弱一样，当物体向矿井下落时，引力也将减弱， 因此（在无阻力情况下）落体轨道将类似椭圆，其中心即在地球中心处。
胡克未能精确确定轨 道形状看来，他用图解法积分运动方程，或者利用了某种特殊的模拟计算器（虎克曾对沿 平面、球面，或者其它曲面运动的摆进行实验，他指出，这些实验，视表面不同模拟的引力 规律亦不同）4.胡克希望，牛顿以其卓越的数学方法，定能证明轨道的椭圆性牛顿也的确完成了这一 任务他用几何方法的证明曾经是（而且仍然是）异常复杂，这使牛顿清楚地意识到，胡克「所 断定的比他所知道的要多」因此，在进一步的工作中，他避免引用胡克哈雷在1686年 曾劝说牛顿在《原理》中提及胡克（胡克在1666年和1674年就发表过关于引力的论文），在 与哈雷的通信中牛顿曾以一段话表达了自己关于数学家（牛顿）与物理学家（胡克）对待科学 的差异，这些话时至今日仍有现实意义，牛顿写道：「发现一切的数学家，应满足于驮重的 牲畜和枯燥无味的计算者的角色，而另一个人，他什么也不能证明，只是攫取一切，潜望一 切，并囊括其前辈及后人的全部荣誉」牛顿于1714年断言，他在1665或1666年发现了距离平方反比规律（关于苹果落地 的轶闻，是牛顿的外甥女大约在1726年向伏尔泰讲述的），而轨道的椭圆性，则是在1676 或1677年证明的（即在与胡克通讯之前）。
后一日期似乎是可疑的，至少，在1684年以前, 牛顿从未向任何人谈过自己的证明而且他什么也没有发表过早在1676年，牛顿就写道：「人应当作出抉择——或者什么都不发表，或者用一生 去保卫自己的发明权」看来，他两者都做到了：首先，他什么也未发表过；其次，不断进 行关于发明权的争辩（与胡克、莱布尼茨、弗莱斯蒂得、等等）5.证明轨道的椭圆性之后，牛顿仍然不认为引力定律己经证明他注意到，地球不是 一个点当然，在吸引物体远处，其引力接近于将该质量放于物体中心点的引力但是引力 定律的导出，是建立在地球对月球的吸引和向地面落石（或苹果）这两者对比基础上的，在计 算对月球的吸引时，地球尚可认为是一个点，但对石块，将是另外一种情况需要证明，虽 然地球的不同部位沿不同方向吸引石块，但其合力对石块的作用相当于将地球全部质量集中 于中心对这一事实的几何证明（如《原理》中所叙述的，其中包括关于完整的球壳对内部点 完全无吸引的证明）是要克服许多困难，这在当时也只有牛顿力所能及牛顿的这些定理的现代证明基于流体力学考虑，最早山拉普拉斯提出问题在于， 不可压缩流体唯一可能的球对称流，是沿径向的流，其速度与到中心的距离的平方成反比。
〔这是因为，单位时间通过半径为任何值的球面的流量均相等而球面积正比于半径平方与 此同理，从中心源向外飞散的粒子（例如太阳光子）通量强度反比于到源的距离平方于是，点质量的引力场在数学上与不可压缩流体速度场一致！在此意义上，超距作用「变 成」了近距作用由此立即可得牛顿关于球的引力定理的确，任意质量系统的引力场在质量之外具 有同样的「不可压缩性」（由于总场的通量等于分通量之和，所以，不可压缩场之和也是不 可压缩的）由球对称的质量分布所产生的引力场仍然是球对称的，在这些质量之外是不可压缩 的，因此，其强度反比于到质量中心的距离比例常数由以下条件确定：通过包含全部源的 球面的通量等于源的总强度因此，这一比例常数对于所有球对称的质量分布都是相同的, 其中包括集中于中心的质量6.牛顿的主要结果一一在按距离平方反比规律减弱的场中轨道为椭圆——可以从胡克 定律和牛顿定律之间的特殊对偶关系中得出般说，对正比于到吸引中心距离的次方的引力规律，存在看对应的规律，其次 方A由条件（a+3）（A+3）二4确定对于胡克定律，a=l,因此，牛顿定律（A=-2）与其对偶互偶的定律之间的联系在于：将按a次方规律运动的轨道乘以d=（a+3）/2次方，则 此轨道即过渡为按A次方规律运动的轨道（两种轨道均位于复数平面上）（《原理》出版后 三百年所发现的这一事实，可以通过二次微商验证）。
按胡克定律，运动轨迹为椭圆，而吸引点在其中心（简谐振动的初等理论）牛顿定律（A>2）与胡克定律（a=1）互偶，其轨道可通过将胡克的轨道乘以二次方得到 （d=2）原来，当对复数取二次方时，胡克的椭圆（中心在原点）即转化为牛顿的椭圆（焦点在 原点）!天文学家包林的这个定理，最简单的证明方法是利用闵可夫斯基函数3二z+l/z（此函 数也用于计算器翼升力）当变数z沿中心在原点的圆周取值时，变数s的复数值在焦点 为2的胡克的椭圆上，而闵可夫斯基函数的平方3“2二z“2+l/z"2+2,将仍沿椭圆取值，但 其焦点己移至原点于是，牛顿引力定律的椭圆性，可从胡克定律的椭圆性推导出来顺便指出，胡克定律 可作为均匀地球内的矿井中落体规律而得到实现胡克曾设想过这一规律，而牛顿证明了它 （《原理》中的定理XXXITDo锥截曲线理论是古希腊数学家建立的，两千年后，牛顿将其 应用于天体力学，成为一种基本工具这是「数学在自然科学中具有不可思议的效力J的一 个光辉例证1979年诺贝尔物理奖得者温伯格，对于数学家超前物理学家这一令人惊奇的 现象这样写道：「一些数学家出卖灵魂给魔鬼，以换取何种数学在许多年后将为物理学家所 应用的信息。
」7.无论是世界体系的发现，无论是理论物理的创建，也无论是天体力学的建立，在公 元1700年以前，都未纳入剑桥大学或皇家科学院的年度计划或远景规划长达七百页的《原 理》是牛顿在哈雷的坚持请求下，用一年半的时间完成的由于此书不在计划之内，哈雷不 得不自己出钱出版在此期间，牛顿在特立尼蒂学院任教授当时他只有三名学生他讲授算术、地理、 光学以及其它一些课程仅在秋季学期授课，（每年十讲）每次讲一个半小时，有时，没有一 个学生来上课（牛顿的课以难懂著称），牛顿只好回家牛顿把更多的时间和精力用于研究炼 金术和神学，他的主要发现都是在他23到24岁时这两个学年中作出的在《原理》之后（当 时牛顿44岁），他脱离了科学工作1696年，牛顿被任命为伦敦造币厂管事，后来又升任厂长，并在山他过去的学生 Halifax勋爵所领导的经济改革中发挥了重要作用Halifax是英国银行的创建者，3位英 国勋爵大法官（Lord Justice）之一，当威廉三世不在时，3位大法官负责管理国家始于内战，终于1688年的「光荣革命」，在英国延续了儿十年的革命变革，使国家 的经济陷入困境过去几十年积累的各种弊端，要求经济改革在这一过程中，不得不及时 停止旧的无声望货币的流通。
牛顿在短期内未增加一台新机床就把货币的铸造增加8倍与此同时，进行了搜寻和侦 察，仅在1697年一年，就同法院提出一些案件，结果约有20名造伪币者被处决1703年胡克去世，牛顿成为皇家科学院院长，直至1727年逝世8.在《原理》一书所包含的一些最重要的物理原理中，需要指出关于时空相对性的思 想（「在自然界中既不存在静止的物体，……也不存在均匀的运动」）；关于存在惯性坐标 系的假设；决定性原理——世界上所有粒子的初始位置和速度，决定其未来和过去过去表现为混沌的宇宙，在《原理》之后似乎变成了某种调整好了的钟表基本原 理的这种规律性和简单性（据此可推导出各种观测到的复杂的运动），在当时被认为是存在上 帝的证明牛顿写道：「太阳、行星和彗星如此美妙的联合，只有按照智慧超群、威力无边 的人的旨意才能发生他掌管一切，不是作为世界的灵魂，而是作为宇宙的统治者，即占有 一切的上帝」理论物理在牛顿建造的天堂中逗留了二百余年，直到量子力学和相对论粉碎了这些 幻觉在这里，甚至简要地罗列《原理》的主要具体成就，也都是不可能的，故仅限于指出 以下几点：极限理论的建立（与现代理论仅有符号上的差异），阿贝尔积分超越性的拓扑证明 （引理XXVIII）,稀薄介质中高超音速运动阻力的计算（仅在宇航时代才得到应用），太阳引 起的月球摄动的计算。
9.牛顿之后天体力学的发展，表现为万有引力定律所取得的一系列巨大成就：观测上 的偏离，被解释为没有精确计算摄动所造成（著名的例夕I——水星近日点的进动：观测值为 每百年576〃，而摄动理论仅给出533〃不足的43〃只能由广义相对论予以说明新物理学 常常诞生于对最后几位数的修正！）引力论的第一个巨大成就是预言哈雷彗星的回归哈雷并未发现公正地以他的名字命名 的彗星他觉察出1456、1531、1607和1682年彗星轨道的相似性,并且大胆预言彗星将在 76年后，即在1758年回归但是，由于木星和土星的摄动，彗星的回来迟了，实际上是在 1759年4月经过近日点的（根据Klero的计算，对75年的周期，它将迟到618天），这与 Klero的预言儿乎一致引起对引力定律的普遍性和精确性产生怀疑的另一现象是缓慢的但却是毫无疑义的 木星加速和土星的减速（开普勒1625；哈雷1695） o如果这一过程继续千万年，它将使太阳 系完全改观；木星将接近太阳，土星将远离太阳全部行星质量总和仅约为太阳质量的千分之一，因此，行星运动中相互吸引所造成 的摄动可达其所经过路程的千分之几如果摄动积累几千年，行星可能损落在太阳之上，并 相互碰撞，地球也可能因远离太阳而冻结。
为什么所有这一切均未发生？问题在于，行星在不同时间所经历的摄动，不总是沿 同一方向，而且具有振荡的性质数学上，这种。