第三章 流体运动学与动力学基础§3.1 研究流体流动的方法一、拉格朗日法1、方法概要：着眼于流体各质点的运动情况，研究各质点的运动历程，通过综合所有被研究流体 质点的运动情况来获得整个流体运动的规律2、研究对象 ：流体质点3、运动描述x = x(a, b, c, t) 流体质点坐标：< y二y(a,b, c, t)、z = z (a, b, c, t)二、欧拉法流体质点速度:uxdxdtdydtdzz dt流体质点加速度：a =仝，a =竺I,=空x dt 2 y dt 2 z dt 21、方法概要 流场:充满运动流体的空间着眼于流场中各空间点时的运动情况，通过综合流场中所有被研究空间点上流体质点的运动变化规律，来获得整个流场的运动特性2、 研究对象 :流场3、 运动描述u = u (x, y, z, t) < x x 流速场： < uy = uy (x, y, z, t)u = u (x, y, z, t)4•加速度及其他物理量的时间变化率压强场：P = p( x, y, z, t)密度场：P = P (x, y, z, t)其他物理量(N)^ = N( x, y, z, t)加速度du du du dx 6u dy Qu dza = 哥= x + x + x + x x dt dt dx dt dy dt dz dt或：a =詈 + (u ,v)udu xdtdu dx du dy+ x + x dx dt dy dtdz dtdu du dx du dy du dz< a = —y + —y + —y + —y y dt dx dt dy dt dz dtdu du dx du dy du dzz dt dx dt dy dt dz dt?:当地加速度。
表示通过固定空间点的流体质点速度随时间的变化率;(历-v)u:迁移加速度表示流体质点所在空间位置的变化所引起的速度变化率例：一容器的出水官中有A、B两点，试分析当容器的水位保持不变(恒定)和水位随时间变化(不恒定)时，流经A、B处的质点欧拉加速度解 设经At时段后，原在A、B处的质点 分别运动到A'、B'位置，那么1、 在水位恒定的情况下：(1) AtA，不存在时变加速度和迁移加速度2) BtB，不存在时变加速度，但存在迁移加速度2、 在水位变化的情况下：(1) AtA， 存在时变加速度，但不存在迁移加速度(2) BtB， 既存在时变加速度，又存在迁移加速度dN dN _ f(2)其他物理量的时间变化率 J = + u -VNdt dt宀 dp ap 丄(一 口、八 dp ap ap ap apdt at dt at x ax y ay y az§3.2 研究流体运动的若干基本概念一、恒定流动和非恒定流动1. 恒定流动 流动参量不随时间变化的流动u = u(x,y,z) p= p(x,y,z) p = p(x,y,z)特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，而与时间无关即：2. 非恒定流动atu = u(x,y,z,t)流动参量随时间变化的流动。
p= p(x, y, z,t) p = p(x,y,z,t)a( N) 特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且与时间有关即： 丰0at二、一维流动、二维流动和三维流动 a1. 定义流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动一维流动 V = V (x) 二维流动 V = v (x, y) 三维流动 V=V(x,y,z)2 .实际流体力学问题均为三元流动工程中一般根据具体情况加以简化 三、流线与迹线1、流线 定义：在同一瞬间，位于某条线上每一个流体微团的速度矢量都与此线在该点的切线重合， 则这条线称为流线适于欧拉方法流线微分方程：u=ui+u j+u kx y zds = dxi + dyj + dzkijku dy 一 u dx = 0x 丿 yn u x ds = uxuyuz=0 n u dz 一 u dy = 0y zdxdydzu dx 一 u dz = 0z xdx dy dzn =—= -uuuxyz2. 迹线定义：流体质点的运动轨迹适用于拉格朗日法根据迹线定义，迹线上任一微段均有： dx=uxdt,dy =uydt,dz =uzdt dx dy dz= = —dt故迹线方程为： u u u xyz 注意：ux , uy , uz , t均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。
•流线 迹线的性质：流线是同一时刻与许多质点的流速矢量相切的空间曲线, 而迹线则是同一质点在一段时间的运动轨迹1)流线是一条光滑的曲线,流线彼此不能相交,不可能出现折点2）流线充满整个流场3）恒定流动时流线形状不变，流线迹线重合4）流线簇的疏密程度反映了该时刻流场中各点的流速大小例1 试求xu = u已知流动速度场为x 1 + t， y1）在 t= t 0 瞬间，过 A（ x 0 ，y 0 ，z 0 ）点的流线方程；⑵在t= t0瞬间，位于A （ x0 , y0 , z0 ）点的迹线方程例2已知平面流动u = x +1, u = - y +1, u = 0x y z试求：（1） t=0时，过点M（-1， - 1）的流线（2）求在t=0时刻位于x= - 1，y= - 1点处流体质点的迹线四、流管、流束、元流、总流、过流断面1. 流管 流束 流管：在流场内任意作一封闭曲线（不是流线），通过封闭曲线上所有各点作流线，所形成的一个封闭的管状曲面称为流管流束：流管内所有流线的总和称为流束2. 元流元流：封闭曲线无限小时所形成的流管 元流的极限为流线3. 总流 总流：如果封闭曲线取在流场的周界上，所得流束称为总流，如管流、明渠等。
4. 过流断面 过流断面：处处与流线相垂直的流束的截面 五、流量、断面平均流速1.流量一一 -一^「 「流量：单位时间内流经过流断面的流体量元流dq2.平均流速总流dqJudAA流经过流断面的体积流量除以过流断面面积而得到的商六、均匀流、非均匀流（缓变流、急变流）J udAv = q ”A= v A均匀流：流场中同一流线上各质点的流速矢量沿程不变非均匀流：渐变流：流线接近平行的流动急变流：流线间相互不平行，有夹角的流动七、系统、控制体1. 系统：一团流体质点的集合，拉格朗日法研究流体运动的研究对象•始终包含确定的流体质点 •有确定的质量 •系统的表面常常是不断变形地2. 控制体：流场中某一确定的空间区域，欧拉法研究流体运动的研究对象一旦选定后，其形状和位置就固定不变，控制体的周界称为控制面，为封闭面 系统 控制体八、湿周、水力半径1.湿周：在过流断面上，流体同固体边界接触部分的周长A 2•水力半径：过流断面与湿周之比称为水力半径 R =—hX§3.3 流体运动的连续性方程连续性方程——质量守恒定律对流体运动的一个基本约束用欧拉观点对质量守恒原理的描述：连续介质的运动必须维持指点的连续性，即质点间不能发生空隙。
因此，净流入控制体内因流体密度变化而增加的质量b 点速度、密度c 点速度、密度1 du u — x dx1 du u + x dxx 2 dxx 2 dxp 1 dp 月p dx1 dp2 dxp+ dx2 dx、连续性微分方程单位时间内x方向流入、流出控制体的质量差为Amx. 1 du=(u — xx 2 dxdx)(p -1 dp2 dxdx)dydz -(ux1 dux2 dxdx)( p +-冀 dx)dydz= - d (pUx) dxdydz2 dx dx11—t, u — — 3 xy, u — p y p z (2)若式中 ux,1xz, p = t puy, p值不变，试求实际流场中uz值同理可知：在时间段dt里，沿着y方向和z方向净流入左右和上下两对表面的流体质量分d(pu ) d(pu )别为 一 y dxdydzdt , - Ldxdydzdtdy dz在时间段dt里，微元内流体质量的增加 T dxdydzdtdt根据质量守恒定理- 丄 dxdydzdt - / dxdydzdt - 纟 丄 dxdydzdt — — dxdydzdtdx dy dz dtxdx简化生+空口 + ^^2+竺2 — o或写成 乎+v(pu)- o三维流体的连续性微分方程 dt dx dy dz dt例1：有一种二兀流体，其流速可表示为:1) ux= -2y, uy=3x； 2)ux=0, uy=3xy,p=常数，试问这种 流动是否可能发生？u例 2：假设有一速度场 x试问(1)这种流动能否发生?二、连续性方程方程的积分dp + V»(pu )= 0dtJ 空dV + J V・Gu加—0V dt V dp d控制体不随时间变化：J〒dV = J pdVV dt dt Vj V • (pu= j pu dA咼斯疋理：V A nQj 恒定不可压缩总流p=c, JQt 总流侧表面上 u = 0－j u1dA1 + j u 2dA2 = 0A1 A 2pdV = 0V得：° J pdV + J pu dA = 0Qt v A nj p u dA = 0An所以：元流动的连续性方程•对于不可压缩流体，根据连续方程，容易理解为什么流线的疏密能够反映流速的大小。
•在有分流汇入及流出的情况下，连续方程只须作相应变化质量的总流入=质量的总流出例1】 假设有一不可压缩流体流动，其速度分布规律为)Ux=3(x+y3), Uy=4y+z2, Uz=x+y+2z 试分析该流动是否连续例2】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为u=x2siny, v=2xcosy,试分析该流动是否连续例3】 有一输水管道，如图所示水自截面1-1流向截面2-2V = 2 m/s，已知d1=0.5m, d2=1m，试求截面2-2处的平均流速 § 3-4理想流体的运动微分方程及积分 假设六面体形心的坐标为x、 y、z,压强为p,则左右两个 面压强为：Qp dxp —Qx 2以 x 方向为例测得截面1-1的水流平均流速Qp dxP怙T表面力： p dydz- p dydz 质量力：X- pdxdydz 根据牛顿第二定律得x轴方向 的运动微分方程： Xpdxdydz + f p-生竺］C Qx 2 丿V为多少？2Qp dxQx 2丿dydz = pdxdydz 。