天线原理第第6章 电偶极子和细直天线章 电偶极子和细直天线朱旗中国科学技术大学——朱旗天线原理-第五章（下） （续）本章包含下列主题：1.短电偶极子的场2.短电偶极子的辐射电阻3.细直天线：λ/2，λ，3λ/24.λ／2偶极子的辐射电阻5.两个λ／2偶极子的阵列6.边射、端射和密排阵7.非电流最大点的辐射电阻8.行波天线本章包含下列主题：1.短电偶极子的场2.短电偶极子的辐射电阻3.细直天线：λ/2，λ，3λ/24.λ／2偶极子的辐射电阻5.两个λ／2偶极子的阵列6.边射、端射和密排阵7.非电流最大点的辐射电阻8.行波天线中国科学技术大学——朱旗6.1 短电偶极子6.1 短电偶极子因为任何直天线都可认为是由大量很短的导体串接而成的，因为任何直天线都可认为是由大量很短的导体串接而成的，所以需要首先阐明短导体的辐射性能，然后再研究实际使用的长直导体所以需要首先阐明短导体的辐射性能，然后再研究实际使用的长直导体天线原理-第六章（续）短的直导体通常称为短偶极子，尽管很短但仍是有限长度的对于短而趋零的情况，则称无限小偶极子考虑图6.1(a)所示的短电偶极子，其长度短的直导体通常称为短偶极子，尽管很短但仍是有限长度的。
对于短而趋零的情况，则称无限小偶极子考虑图6.1(a)所示的短电偶极子，其长度 L L 远小于波长( 远小于波长( L>L)，且波长也远大于其长度(λ>>L)，可令s = r而忽略导体不同部分所贡献场的相位差异若场点与偶极子相距远大于其长度( r>>L)，且波长也远大于其长度(λ>>L)，可令s = r而忽略导体不同部分所贡献场的相位差异，，则式(3)中的被积函数可认为是常数，积分结果变为则式(3)中的被积函数可认为是常数，积分结果变为/2[/ ] 00[/ ] 00 /2(3)(4)44cosLjt s c jt r c z zLI eAdzLI eAsrsrzω ωμμππθ− −−⎫=⎪⇒=⎬ ⎪=−⎭∫类似地，电荷分布的滞后标量位V可写成：类似地，电荷分布的滞后标量位V可写成：[/ ] 0 01[ ], [ ]= (5)4jt s cVVdesωρτρρπε−=∫滞后电荷密度dτ = 无限小的体积单元， εdτ = 无限小的体积单元， ε0 0= 自由空间的介电常数= 自由空间的介电常数中国科学技术大学——朱旗天线原理-第六章（续）偶极子情况下，电荷集中在图6.1(b)所示端点区域，式(5)可简化成:偶极子情况下，电荷集中在图6.1(b)所示端点区域，式(5)可简化成:0121[ ][ ](7)4Vssπε⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭由式(6.1.1)和式(3a)，有由式(6.1.1)和式(3a)，有[/ ] 0[ ][ ][ ] (8)jt s cIqI dtIedtjω ω−===∫∫将此式代入式(7)，得将此式代入式(7)，得12[/ ][/ ]0121(9)4jtscjtsceeVjssωωπεω−−⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦中国科学技术大学——朱旗天线原理-第六章（续）参照图6.3(b)，当r >> L时，偶极子端点到场点P的直线可认为是平行的，其长度分别为参照图6.3(b)，当r >> L时，偶极子端点到场点P的直线可认为是平行的，其长度分别为12cos ,cos22LLsrsrθθ=−=+12[/ ][/ ]0121(9)4jtscjtsceeVjssωωπεω−−⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦中国科学技术大学——朱旗天线原理-第六章（续）将式(10)和式(11)代人式(9)(电场的位函数展开式)，可推出短电偶极子的电场表达式将式(10)和式(11)代人式(9)(电场的位函数展开式)，可推出短电偶极子的电场表达式[/ ] 0 23 0[/ ] 0 223 0[/ ] 0 2cos11(12)2sin11(13)4sin14jtr crjtr cjtr cI LeEcrjrI LejEc rcrjrI LejHcrrωωθωφθ πεωθω πεωθω π−−−⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠ ⎛⎞=++⎜⎟⎝⎠⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠一 般 情 况 下 ， 短 偶 极 子 的 电 场 ：一 般 情 况 下 ， 短 偶 极 子 的 磁 场 ：(15)0 (16)rHHθ==中国科学技术大学——朱旗天线原理-第六章（续）式(12～16)可进一步变为式(12～16)可进一步变为[/ ]0 23 0[/ ]0 223 0[/ ]0 211cos (12)211sin (13)41sin 4jtr c rjtr cjtr cI LEecrjrI LjEec rcrjrI LjHecrrωω θω φθπεωωθπεωωθπ−−−⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠ ⎛⎞=++⎜⎟⎝⎠⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠一 般 情 况 下 ， 短 偶 极 子 的 电 场 ：一 般 情 况 下 ， 短 偶 极 子 的 磁 场 ：(15)0 (16)rHHθ==中国科学技术大学——朱旗天线原理-第六章（续）比较式(17)和式(18)，注意到：比较式(17)和式(18)，注意到：?远场的电场和磁场在时间上同相，波瓣图都正比于sinθ 而独立于φ；远场的电场和磁场在时间上同相，波瓣图都正比于sinθ 而独立于φ；?其立体波瓣图呈饼圈形，由图6.4(a)的图形绕偶极子的轴回转而成。
其立体波瓣图呈饼圈形，由图6.4(a)的图形绕偶极子的轴回转而成[/ ]000sin (18)4376.7jtr cILHjer E Hω φθφβθπ μηε−====Ω远场情况 电场：远场情况 电场：[/ ]00sin (17)4jtr cILEjecrω θβθπε−=磁场：磁场：中国科学技术大学——朱旗天线原理-第六章（续）?r r 很小时电场的两个分量很小时电场的两个分量 Er 和 EθEr 和 Eθ 都在时间上与磁场都在时间上与磁场 HφHφ 的相位正交，这就类似于一只谐振器；的相位正交，这就类似于一只谐振器；[/ ][/ ] 00 23 0[/ ] 0 223 0[/ ] 0 2cos11cos(12)22sin11(13)4sin1(15)4jt r cjt r crrjt r cjt r cI LeI LeEEcrj rI LejEc rcrj rI LejHcrrωωωθωφθθ πεωπθω πεωθω π−−−−⎫⎛⎞=+=⎪⎜⎟⎝⎠⎪ ⎪⎛⎞⎪=++⇒⎬⎜⎟⎝⎠⎪ ⎪⎛⎞⎪=+⎜⎟⎪⎝⎠⎭3 0[/ ] 0 3 0[/ ] 0 21sin1 4sin1 4jt r cjt r crI LeErI LeHjjrωθωφεωθ πεωθ π−−⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎬ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎭参阅式(12)、式(13)和式(15)的近场表达式，注意到：参阅式(12)、式(13)和式(15)的近场表达式，注意到：中国科学技术大学——朱旗天线原理-第六章（续）参阅式(12)、式(13)和式(15)的近场表达式，注意到：参阅式(12)、式(13)和式(15)的近场表达式，注意到：?在中等距离上，在中等距离上，Er Er 和和 EθEθ 在时间上近乎相位正交，在时间上近乎相位正交，合成的总电场矢量在平行于传播方向的平面中旋转，呈现交叉场的现象合成的总电场矢量在平行于传播方向的平面中旋转，呈现交叉场的现象。
对于 Eθ 和 Hφ 分量，近场波瓣图与远场波瓣图相同，都正比于sinθ，见图6.4(a)对于 Eθ 和 Hφ 分量，近场波瓣图与远场波瓣图相同，都正比于sinθ，见图6.4(a)而而 Er 的近场波瓣图却正比于cosθEr 的近场波瓣图却正比于cosθ，见图6.4(b)，其立体波瓣图由此图绕偶极子的轴回转而成见图6.4(b)，其立体波瓣图由此图绕偶极子的轴回转而成[/ ] 0 23 0[/ ] 0 223 0[/ ] 0 2cos11(12)2sin11(13)4sin1(15)4jt r crjt r cjt r cI LeEcrj rI LeEc rcrj j rI LejHcrrωωθωφθ πεωθω πεωθω π−−−⎫⎛⎞=+⎪⎜⎟⎝⎠⎪ ⎪⎛⎞⎪=++⎬⎜⎟⎝⎠⎪ ⎪⎛⎞⎪=+⎜⎟⎪⎝⎠⎭中国科学技术大学——朱旗天线原理-第六章（续）现考虑频率非常低的准静态或直流情况，由于现考虑频率非常低的准静态或直流情况，由于[/ ] 0[/ ] 0[ ][ ][ ] [ ] (20) [ ] jts cjtr c ed qIjqdtII eωωω−−⎫=⎪⇒==⎬=⎪⎭故式(12)和式(13)可改写成故式(12)和式(13)可改写成[/ ] 0 23 0[/ ] 0 223 023 02223 0cos11(12)2sin11(13)4[ ] cos1212[ ] sin1 4jt r crjt r crI LeEcrj rI LejEc rcrj rq LjEcrrq LjEc rcrrωωθθθ πεωθω πεωθω πεθωω πε−−⎫⎛⎞=+⎪⎜⎟⎝⎠⎪⇒⎬⎛⎞⎪=++⎜⎟⎪⎝⎠⎭⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠⎛⎞=−++⎜⎝⎠（）2[ ] sin1(23)4(22)I LjHcrrφθω π⎧ ⎪⎪⎛⎞⇒=+⎨⎜⎟⎝⎠⎪⎟⎪⎩中国科学技术大学——朱旗天线原理-第六章（续）于是，准静态情况或直流情况下的场分量从式(21)、式(22)和式(23)变为(在条件 r>>L的限制下)于是，准静态情况或直流情况下的场分量从式(21)、式(22)和式(23)变为(在条件 r>>L的限制下)0 3 00 3 00 2cos(26)2sin(27)4sin(28)4rq LErq LErI LHrθφθ πεθ πεθ π===短偶极子在低频情况下的电场和磁场在低频情况ω ⇒ 0在低频情况ω ⇒ 0[/ ] 000[ ], [ ] (24,25)jt s c eqIIω−===中国科学技术大学——朱旗天线原理-第六章（续）?式(26，27)，等同于静电学中一对相距 L 的点电荷 +q式(26，27)，等同于静电学中一对相距 L 的点电荷 +q0 0和 -q和 -q0 0所产生的场。
所产生的场磁场表达式(28)，则是稳态或慢变化的短电流段所产生磁场的毕奥-萨伐尔关系式由于准静态情况的这些场分量都随 1／r磁场表达式(28)，则是稳态或慢变化的短电流段所产生磁场的毕奥-萨伐尔关系式由于准静态情况的这些场分量都随 1／r2 2 或 1／r或 1／r3 3 减小，因此都被限制在偶极子附近，所以可以忽略其辐射在一般表达式，即式(21)、式(22)、式(23)中，含1／r的项则是远场辐射应考虑的主要成分减小，因此都被限制在偶极子附近，所以可以忽略其辐射在一般表达式，即式(21)、式(22)、式(23)中，含1／r的项则是远场辐射应考虑的主要成分中国科学技术大学——朱旗天线原理-第六章（续）6.3 短电偶极子的辐射电阻6.3 短电偶极子的辐射电阻图6.1(b)所示短电偶极子的辐射电阻按下列步骤计算：图6.1(b)所示短电偶极子的辐射电阻按下列步骤计算：?将远场的坡印廷矢量沿一个大球面积分，得出总的辐射功率，该功率等效为电流在电阻上的消耗将远场的坡印廷矢量沿一个大球面积分，得出总的辐射功率，该功率等效为电流在电阻上的消耗 I I2 2R R；；?取取 I I 为偶极子上电流的均方根值，则为偶极子上电流的均方根值，则 R R 称为偶极子的辐射电阻。
平均坡印廷矢量得自下式:称为偶极子的辐射电阻平均坡印廷矢量得自下式:*1SRe() (1)2EH=×??远场分量是 E远场分量是 Eθ θ和H和Hφ φ，故坡印廷矢量的径向分量为，故坡印廷矢量的径向分量为*1S。