§9.子群的陪集9.1子群的左陪集9.2子群的右陪集9.3子群的指数9.4 拉格朗日定理---------------------------在这一节里我们要利用群的一个子群来作一个的分类，然 后由这个分类推出一个重要的定理．我们从等价关系开始 .9.1子群的左陪集我们看一个群 和 的一个子群 ．我们规定一个的 元 中间的关系 ：，当而且只当的时候 给了 和 ，我们可以唯一决定， 是不是属于 ，所以 是一 个关系,并且:， 所以Ⅰ ， 所以Ⅱ Ⅲ ………….所以，这样，是一个等价关系．利用这个等价关系，我们可以得到一个的分类: [a],[b],[c]……,这里称为a的等价类(2) 引理1 [a]=aH={ah| h属于} 证明: (1)定义义1 由上面的等价关系所决定的类 叫做子群的左陪集.由引理1左陪集既是等价类,又是子集的乘法aH. 由等价类的性质可以推出左陪集的一些重要性质:(1) (2) (3) (5) 任意两个左陪集 或者 (4) 例１ ，，，，，，那么(注意我们规定的乘法顺序和书上的相反)，，，注意 (12)H=?? (123)H=??? (132)H=?? 这样，子群 把整个 分成(1)H,(13)H, (23)H三个不 同的左陪集．这三个左陪集放在一起显然正是 ， 因此，它们的确是 的一个分类．9.2子群的右陪集比照左陪集,给出右陪集,以及性质右陪集是从等价关系：，当而且只当的时候定义义2由等价关系所决定的类叫做子群的右陪集．包含的陪集我们用符 号来表示．性质2 (1)------(5)9.3子群的指数引理2之间存在1-1映射.证明:………的左陪集所作成的集合记做, 的右陪集所作成的集合叫做定理１ 和 之间存在1-1映射．是一个 与 间的一一映射．因为：证明 构造:: (1) 所以右陪集 的象与 的选择无关， 是一个 到 的映射；（ⅱ） 的任意元 是 的元 的象，所以 是 一个满射；（ⅲ）证完． 定义 一个群 的一个子群 的右陪集（或左陪集）的个 数叫做 在 里的指数．9.4 拉格朗日定理下面我们要用左陪集来证明几个重要定理． 定理２ 假定 是一个有限群 的一个子群．那么 的 阶 和它在 里的指数 都能整除 的阶 ，并且证明 的阶 既是有限， 的阶 和指数 也都是有 限正整数． 的 个元被分成 个左陪集，而且由引理 ，每一个左陪集都有 个元，所以证完定理３ 一个有限群 的任一个元 的阶 都整 除 的阶．证明……… 证完．例３ 对于有限群 的阶N的一个因子k, 可以没有k 阶子群,也可以没有k阶元素．例4 对于有限群循环 的阶N的一个因子k, 恰 有一个k阶子群.例5 1-5阶群的分类作业P70: 1- 3。