华南农业大学高等数学复习题及答案

华南农业大学（ 华农 ） 复习题及参考答案 《高等数学》 一、填空题 1．函数1142  xxy的定义域是 . 解 . ),2[]2,(   2．若函数 52)1( 2  xxxf ，则 )(xf ． 解 . 62x 3． ________________s i nlim  x xxx答案： 1 正确解法： 101s i nlim1lim)s i n1(lims i nlim  x xx xx xx xxxx4.已知 22lim222  xxbaxxx，则 a _____, b _____ 由 所 给 极 限 存 在 知 , 024  ba , 得 42  ab , 又由23 41 2lim2lim 2222     ax axxx baxx xx , 知 8,2  ba 5.已知   )1)((lim 0 xax be xx，则 a _____, b _____   )1)((lim 0 xax be xx , 即 01)1)((lim 0   babe xax xx , 1,0  ba 6． 函数0101s in)(xxxxxxf 的间断点是 x 。

解：由 )(xf 是分段函数， 0x 是 )(xf 的分段点，考虑函数在 0x 处的连续性 因为 1)0(1)1(lim01s i nlim00    fxxx xx所以函数 )(xf 在 0x 处是间断的， 又 )(xf 在 )0,( 和 ),0(  都是连续的，故函数 )(xf 的间断点是 0x 7. 设     nxxxxy  21 , 则  1ny ( 1)!n 8． 2)( xxf  ，则 __________)1)((  xff 答案： 2)12( x 或 144 2  xx 9．函数)1ln (4222yxyxz 的定义域为 解：函数 z 的定义域为满足下列不等式的点集 1040141101042222222222222yxxyyxyxxyyxyxyxz 的定义域为：  10|),( 22  yxyx 且 xy 42 } 10． 已知 22),( xyyxyxyxf  ,则 ),( yxf . 解 令 x y u ， x y v ，则 ,22u v u vxy， ( )( ) ( )f x y x y x y x y    )(4222),( 22 vuuuvuvuvuf  ， 22( , ) ( )4xf x y x y 11．设22),( yx xxyyxf ,则  )1,0(xf 。

 )1,0(yf ∵ (0,1) 0 0 0f    2000( , 1 ) ( 0 , 1 ) 1( 0 , 1 ) l im l im 2x xxxxf x f xf xx          (0 , 1 ) (0 , 1 ) 0 0(0 , 1 ) l i m l i m 0y yyf y ff yy          12． 设 ,,c o s,s in 32 tytxyxz  则 tzdd ＝ 解 22 sin 3 co sdz x t t ydt   13.   dxxfdddxd )( . 解：由导数与积分互为逆运算得， )()( xfdxxfdddxd   . 14.设 )(xf 是连续函数，且 xdttfx  1 0 3 )( ，则 )7(f . 解：两边对 x 求导得 1)1(3 32 xfx ，令 713 x ，得 2x ，所以1213 1)7( 22  xxf. 15．若 21de0   xkx ，则 _________k 。

答案：∵ )d(e1limde2100 kxkxb kxbkx     kkkk kbbbkxb 1e1lim1e1lim 0  ∴ 2k 16． 设函数 f(x,y)连续，且满足  D ydyxfxyxf2),(),( ，其中 ,: 222 ayxD  则f(x,y)=______________. 解 .44 42 xay  记 D dyxfA ),(，则 2),( yAxyxf  ，两端在 D 上 积 分 有 ：  D D dyA x dA  2，其中  D xdA 0 （ 由 对 称 性 ） ，   aD adddy 0 423202 .4s i n   即 44aA  ，所以， .4),( 42 xayyxf  17．求曲线 2,4 22 ayxaxy  所围成图形的面积为 ，（ a>0） 解： 223a18.1222 12nnn xn ； 解：令 2xy ，则原幂级数成为不 缺项的幂级数 112 12nnn yn ，记其各项系数为 nb ，因为 212 12lim212 22 12limlim11  nnnnb bRnnnnn nn，则 2022 2  xy ，故 22  x . 当 2x 时，幂级数成为数项级数  1 )12(21n n，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为 )2,2( . 19．   02  yy 的满足初始条件     411,1211  yy 的特解为 321121   xy. 20．微分方程 03  yy 的通解为 xeccy 321  . 21．微分方程 0136  yyy 的通解为  xcxcey x 2s in2c o s 213   . 22.设 n 阶方阵 A 满足 |A|=3，则 =|   AA |= . 答案：   311n 23. 1 1 1111 1 1x是关于 x 的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 . 答案： 2; 24. f(x)= 3 12 51 4xxx是 次多项式，其一次项的系数是 。

解：由对角线法则知， f(x)为二次多项式，一次项系数为 4 25. A、 B、 C代表三事件，事件“ A、 B、 C至少有二个发生”可表示为 AB+BC+AC . 26. 事件 A、 B相互独立，且知    0 .2 , 0 .5P A P B则  P A B U . 解：∵ A、 B 相互独立， ∴ P(AB)=P(A)P(B) ∴ P(A∪ B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6 27. A， B二个事件互不相容，    0 .8 , 0 .1,P A P B则  P A B . 解： A、 B 互不相容，则 P(AB)=0， P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.8 28. 对同一目标进行三 次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为 0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 . 解：设 A、 B、 C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为 CBACBACBA  ，即有 P( CBACBACBA  ) =P(A) )()()()()()()()( CPBPAPCPBPAPCPBP  =0.36 29. 已知事件 A、 B 的概率分别 为 P（ A）＝ 0.7,P（ B）＝ 0.6,且 P（ AB）＝ 0.4，则 P（ ABU ）＝ ； P（ AB－ ）＝ ； 解： P(A∪ B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.9 P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.7–0.4=0.3 30. 若随机事件 A 和 B 都不发生的概率为 p，则 A 和 B 至少有一个发生的概率为 . 解： P(A+B)=1–P pBAPBA  1)(1)( 二、单项选择题 1．函数 )1,0(11)(  aaaaxxfxx （ ） A.是奇函数； B. 是偶函数； C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。

解：利用奇偶函数的定义进行验证 )(11)1( )1(11)()( xfaaxaa aaxaaxxf xxxxxxxx   所以 B正确 2．若函数22 1)1( xxxxf ，则 )(xf （ ） A. 2x ； B. 22x ； C. 2)1( x ； D. 12x 解：因为 2)1(2121 22222  xxxxxx，所以 2)1()1( 2  xxxxf 则 2)( 2  xxf ，故选项 B 正确 3． 设 1)(  xxf ，则 )1)(( xff =（ ）． A． x B． x + 1 C． x + 2 D． x + 3 解 由于 1)(  xxf ，得 )1)(( xff 1)1)((  xf ＝ 2)( xf 将 1)(  xxf 代入，得 )1)(( xff = 32)1(  xx 正确答案： D 4．已知 0)1(lim 2  baxxxx，其中 a ,b 是常数，则（ ） (A) 1,1  ba , (B) 1,1  ba (C) 1,1  ba (D) 1,1  ba 解 .     011lim)1(lim 22   xbxbaxabaxx xxx, 1,1,0,01  babaa 答案 ： C 5．下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。

A. e 1x x, ( ) ； B. sin , ( )xx x  ； C. ln( ), ( )1 1 x x ； D. x x x  1 1 0, ( )解：无 穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以 0sinlim  x xx 而 A, C, D 三个选项中的极限都不为 0，故选项 B 正确 6．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ） (A) )(1sin  xxxy ; (B)   )(1   nny n ; (C) )0(ln  xxy ；。