Chapter 1：：大气运动的基本方程大气运动的基本方程郑建秋郑建秋 2目 录1.1 作用于地球大气的基本作用力 1.2 旋转坐标系中的运动方程 1.3 运动方程的分量形式 1.4 连续方程 1.5 热力学方程 1.6 大气运动的基本方程组 1.7 边界条件和初始条件 1.8 气象上的常用坐标系 1.9 自然坐标系中的水平运动方程 3前 言 在这一章里要给出旋转地球上的大气运动方程组，或者说一个非惯性坐标系中的大气运动方程组，包括水平运动方程、垂直运动方程、连续方程、热力学方程和状态方程，并介绍这些方程在不同坐标系中的各种不同表达形式和各自的应用范围 41.1 作用于地球大气的基本作用力 牛顿第二定律指出，相对于惯性坐标系，一物体的动量变化率等于所有作用力之和 对于气象上研究的大气运动来说，主要作用力是气压梯度力、地球引力以及摩擦力 51.1.1 气压梯度力p0 61.1.1 气压梯度力 7摩擦力(粘性力)是较难讨论的复杂问题．这里我们将简单地说明它的基本物理概念1.1.2 摩擦力实验指出：要使上面的板保持匀速运动所需的切向力是与板的面积S、运动速度u成正比，而与两板之间的距离l成反比的。
因而可表示成 F=μSu/l，其中μ为一比例常数，称为动力粘性系数考虑相距为 l 的两块水平平板，中间充满一层不可压缩的流体，假定下面的一块板是固定的，而上面的一块板沿x方向以速度u移动 9 91.1.2 摩擦力粘性:流体分子运动导致的动量传输，宏观上表现为粘性扩散:流体分子运动导致的质量传输，宏观上表现为扩散传导:流体分子运动导致的热量传输，宏观上表现为传导 101.1.2 摩擦力 111.1.2 摩擦力 121.1.3 地球引力 131.1.3 地球引力 141.由于地球是不断旋转的，故描写大气运动最好用以地球自转角速度进行旋转的非惯性坐标系；2.牛顿第二定律的局限性，它只能用于惯性坐标系；3.若要将它应用于非惯性坐标系，则必须考虑“虚拟力”的作用．所谓“虚拟力”是由于坐标系存在加速度引起的，并不是由于物体间的相互作用产生的对于地球这样一个等速旋转的坐标系，有两种虚拟力——惯性离心力和科里奥利力．1.2 旋转坐标系中的运动方程惯性坐标系中的运动方程摩擦力 15绝对运动和相对运动：绝对运动和相对运动：对于地球而言，固定在地球上的观测者与地球一起旋转，他所观测到的大气运动是相对于旋转地球的相对运动；而对于恒星上的观测者而言，他所观测到的大气运动是绝对运动。
设原点位于地球中心，坐标轴方向对于恒星上的观测者是固定的坐标系是惯性坐标系；而原点位于地球中心，但坐标轴方向固定在地球上的坐标系是旋转坐标系即绝对时间变化率等于相对时间变化率加上由于旋转坐标系旋即绝对时间变化率等于相对时间变化率加上由于旋转坐标系旋转引起的牵连变化率转引起的牵连变化率 18速度与加速度是矢量，它们与所选的参考系有关在两个不同参考系(一个为惯性系，一个为旋转系)中，它们间有什么关系呢? 19所以，绝对加速度与相对加速度的关系可以写为虚拟力虚拟力达朗贝尔原理达朗贝尔原理惯性离心力惯性离心力科里奥利力科里奥利力 惯性离心力 静止于地球上的任何质点除了受地球引力作用外，还要受到离心力作用，关于离心力在下面将要详细讨论由于地球引力和离心力地球引力和离心力总是同时作用于质点上的习惯上总是把两者组合起来定义为重力把两者组合起来定义为重力(或有效重力)，即： 如果一物体相对于某一惯性坐标系作匀速运动情况会怎样呢?从平面转动坐标系中来观察，物体的路径会出现弯曲，下图所示 在转动坐标系中看到此作匀速运动的物体不是沿直线路径，而是向坐标旋转的相反方向弯曲这个使物体改变运动方向的力即科氏力科氏力，也称地转偏向力地转偏向力。
性质：性质：•科氏力在纬圈平面上；科氏力在纬圈平面上；•科氏力只会改变运动的方向，不改变其大小科氏力只会改变运动的方向，不改变其大小•在北半球的水平运动，科氏力总是指向运动的右方，南半球反之在北半球的水平运动，科氏力总是指向运动的右方，南半球反之 22科里奥利力科里奥利力表达式： 尽管运动方程的矢量形式 既简洁又便于物理解释，但在实际应用中，运动的水平分量和垂直分量相差很大这使得三维矢量运动方程并不方便使用，一般须把水平和垂直运动的分量方程分别表示出来 由于地球近似为球体，故先选取球坐标系进行分解 1.3 运动方程的分量形式 241.3.1 球坐标系中运动方程的分量形式球坐标系中水平和垂直速度分量分别为： 251.3.1 球坐标系中运动方程的分量形式 261.3.1 球坐标系中运动方程的分量形式 271.3.1 球坐标系中运动方程的分量形式 28所以，最后可写出球坐标系的运动方程组1.3.1 球坐标系中运动方程的分量形式 29•大气既然在地球表面上运动，描写大气运动以用球坐标系为最自然，但是球坐标系比较麻烦，不如直角坐标系方便因此除了考虑全球范围的大气运动问题时必须用球坐标系外，通常都用一种既有一般直角坐标特点又含有部分球坐标特点的坐标系，在气象学中称之为标准坐标系或局地坐标系。
1.3.2 标准坐标系中运动方程的分量形式 30标准坐标系标准坐标系 对于每一个所研究的点，其x轴皆指向东，y轴皆指向北，z轴皆指向上可认为它是一种在地球上可随意移动的直角坐标系当然由一点移向另一点时，坐标系中的方向随时都在发生变化标准坐标和球坐标变量之间有以下关系：1.3.2 标准坐标系中运动方程的分量形式 这也是球坐标系的简化写法，就此而论，标准坐标考虑了地球的球面性；但在标准坐标系中，不考虑沿坐标轴的单位矢量随空间的变化， 311.3.2 标准坐标系中运动方程的分量形式 1.3.2 标准坐标系中运动方程的分量形式因此，尽管标准坐标系中的运动方程在形式上与笛卡尔直角坐标系中的相同，可是有本质上的差别标准坐标系可以认为是一种平面“球”坐标系，这种“球”的曲率半径为无限大由于没有考虑地球曲率作用，因而也有别于球坐标系 33前面所得到的运动方程是很复杂的，而其中各项的重要程度，对于不同尺度的大气运动来说其差别又很大．在许多问题中，运动方程往往可以简化而并不歪曲大气运动的主要特征．关于运动方程的简化问题日后要专门讨论．为下面讨论方便，这里粗略介绍一点这方面的内容．在方程组中，气压梯度力项通常是重要的，因为不然的话，每一个空气质点的运动便与四周空气质点无关．方程组中，以垂直运动方程各项的差异最大。
一般g的数值约9.8m/s2,Ω的数值是7.29×10-5s-1;即使西风风速达100m/s,2Ωucosφ也不超过0.01m/s2,与g相比非常小，可以略去另外，除接近北极和赤道的地区外，sinφ和cosφ的量级相当，但垂直速度w和水平速度v的比值量级在1/100，故可以略去2Ωwcosφ项1.3.2 标准坐标系中运动方程的分量形式 341.3.2 标准坐标系中运动方程的分量形式科氏参数科氏参数 351.3.3 β平面近似 当运动尺度是覆盖全球或半球时，必须用球坐标系．当运动局限于比较小的区域时便可以用标准坐标系．标准坐标系中，科氏参数2Ωsinφ如何处理? 设标准坐标系中坐标原点所在的纬度为φ0， 36 前面我们已经利用牛顿第二定律讨论了地球大气的运动方程，或称为动量方程本节我们考虑另一个基本物理原理——质量守衡原理或称为质量连续原理这个原理的数学表示式就是连续方程或质量守恒方程从理论上说，根据质量守恒原理，可以从由观测得到的水平运动场去推算尚无法直接观测的垂直运动场1.4 连续方程 371.4 连续方程 考虑固定在空间的一个体积元，如图所示。
对于一个固定体积，流经各边的质量净流入率必然等于该体积内的质量累积率 通过左边界面上单位面积的质量流入率为： 而通过右边界面上单位面积的质量流出率为：所以由于速度的x分量而进入体积元内的质量净流入率为： 381.4 连续方程在y和z方向类似的表达式也成立因此，对于体积元的总质量净流入率为：对于单位体积，质量的净流入率为：它等于单位体积内质量的增加率，即密度的局地变化所以应有：质量连续方程质量连续方程 391.4 连续方程 连续方程的散度形式连续方程的散度形式连续方程的通量形式连续方程的通量形式 注：水平散度用得较广，在不至于混淆的情况下，常简称其为散度 401.4 连续方程作业：证明作业：证明散度的物理意义散度的物理意义 可得 由此可见，水平散度表示运动着的大气其水平面积的相对变化率水平散度表示运动着的大气其水平面积的相对变化率以此类推，三维风速散度便表示体积的相对变化率三维风速散度便表示体积的相对变化率 411.4 连续方程如果面积（体积）变大，则水平散度（三维散度）为正，称之为辐散辐散；如果面积（体积）变小，则水平散度（三维散度）为负，称之为辐合辐合。
连续方程的本质是质量守恒连续方程的本质是质量守恒如果流体是不可压缩的，在运动过程中，其密度保持不变，即则它必然是三维无辐散的，这也就是不可压缩流体的连续方程 421. 5 热力学方程•热力学第一定律指出：对某热力学系统所输送的热能，应该等于该系统内能的变化与系统所作功的和，即：•对于大气系统，认为是理想气体，系统所作的功就是气体膨胀所作的功，则上式变成：•可把热力学第一定律写成 43•为了得出热力学第一定律的另一种表达式．先对状态方程微分：•最后：1. 5 热力学方程 44动量方程连续方程热力学方程理想气体状态方程1.6 大气运动的基本方程组 不考虑摩擦力的作用（即对于自由大气），可以得到标准坐标下大气运动的基本方程组如下： •要使方程组闭合：①假定大气运动同外界无热量交换，即过程是绝热的②加入另外的方程，例如辐射传输方程和水汽量方程等；•这样，对闭合方程组，引入合理的边界条件和初始条件后，理论上就可以得到解但大气方程组是复杂的非线性方程组，直接求数学解是相当困难的一般需简化或求其数值解 461.7 边界条件和初始条件边界条件边界条件1.下边界条件 在地面上，假定大气是理想流体（无粘性），那么在地表面空气要贴地流动，速度没有垂直分量，即速度的法向分量为零。
1）若地面是平坦的： 2）若地面是起伏不平的：贴地的水平风矢量地形坡度 471.7 边界条件和初始条件2.上边界条件一般认为在大气的上界没有大气质量流出，或者在大气顶大气与外界没有动量和动能的交换与外界没有动量交换与外界没有动量交换与外界没有动能交换与外界没有动能交换 481.7 边界条件和初始条件初始条件初始条件 所谓初始条件就是大气运动的起始状况，一般用某一时刻速度场和其它气象要素场的分布来表示，即当t=0时， 49 前面介绍的球坐标系和标准坐标系都是以高度z(或地球半径r)作为垂直坐标，任何气象要素F的水平梯度分量都表示等高面上F值沿x和y方向的变化率． 但在许多问题中这是不方便的．故通常采用其它物理量来代替垂直几何坐标，例如，可以用气压p，也可以用对地面气压作标准化的气压 ( = p / ps)；还可用位温θ．这些坐标具有各自的特点，下面分别予以介绍．1.8 气象上的常用坐标系 50垂直坐标系转换的一般关系 51 52 53? ? 54 55•由于高空天气图都采用等压面，日常气象资料也是取等压面上的数据，所以采用气压P作为垂直坐标。
•在静力平衡成立的大尺度运动中，气压P随高度单调地减小，即P是z的单值递减函数，因此可以用p代替z作垂直坐标在这样的坐标系里，坐标变量为x,y,p和时间t，一般称之为P坐标系1.8.1 P坐标系 561.8.1 P坐标系 571.8.1 P坐标系 1.8.1 P坐标系 591.8.1 P坐标系作业：证明温度的局地变化，与温度的平流变化、垂直变化及温度的局地变化，与温度的平流变化、垂直变化及非绝热作用有关，是它们共同作用的结果非绝热作用有关，是它们共同作用的结果 601.8.1 P坐标系 611.8.1 P坐标系边界条件 1.8.1 P坐标系 631.8.1 P坐标系P坐标系小结：优点：运动方程和连续方程简单；缺点：下边界条件比较复杂，下垫面不是一个坐标 面，边界条件与 t 有关为解决这一问题，Phillips(1957)设计了坐标系 1.8.2 坐标系 661.8.2 坐标系 671.8.3 θ坐标系 681.8.3 θ坐标系 1.8.3 θ坐标系 70•自然坐标系：其坐标原点为运动着的空气质点，而取空气质点运动的方向(其单位矢量用s表示)及其左法线方向(其单位矢量用n表示)为两个坐标轴方向。
•s和n都随空气质点的运动而改变1.9 自然坐标系中的水平运动方程 71上式中右端第一项为切向加速度；第二项为法向加速度或向心加速度．1.9 自然坐标系中的水平运动方程 721.9 自然坐标系中的水平运动方程 。