第二讲一元二次不等式及其解法（老师版）

黄冈数学刘老师精品 ：189 2848 2400第 1 页 共 13 页第二讲一元二次不等式及其解法一 目标认知学习目标：1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2.掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题3.培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系，设计求解一元二次不等式的程序框图二 知识要点梳理知识点一：一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式比如： .250x任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式： 或 .0axbc()a2xbc()a知识点二：一般的一元二次不等式的解法一元二次不等式 或 的解集可以联系二次函数 的图象，20axbc2xc()2yxc(0)图象在 轴上方部分对应的横坐标 值的集合为不等式 的解集，图象在 轴下方部分对应的横坐标 值x 2xc x的集合为不等式 的解集.设一元二次方程 的两根为 且 ， ，则相应的不等式的解集的各种情2()a12、 12acb42况如下表： 24bc000二次函数 xay2（ ）的图象02()bca的 根有两相异实根 )(,212x有两相等实根 abx21无实根的 解 集)0(2x21或 R的 解 集)(2acbx21x注意：（1）一元二次方程 的两根 是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线20()a12、 y与 轴的交点的横坐标；cbxa2（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分 三种情况，得到一元二次不等式 与 的解集。

0,20axbc20axbc知识点三：解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程 ，计算判别式 ： 20axbc()a黄冈数学刘老师精品 ：189 2848 2400第 2 页 共 13 页① 时，求出两根 ，且 （注意灵活运用因式分解和配方法） ；012x、 12x② 时，求根 ；ab③ 时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的过程规律方法指导1．解一元二次不等式首先要看二次项系数 a 是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数三典型例题透析类型一：解一元二次不等式例 1. 解下列一元二次不等式（1） ； （2） ； （3）250x240x2450x思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.解析：（1）方法一：开始结束将原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0)Δ=b 2-4ac求方程ax2+bx+c=0 的两个根 x1、x 2方程 ax2+bx+c=0没有实数根原不等式解集为 R原不等式解集为 }a2bx|{原不等式解集为{x|xx2}(x10 的解集为{x|-30 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围。

思路点拨:不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为 R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数解析：(1)当 m2+4m-5=0 时，m=1 或 m=-5若 m=1，则不等式化为 3>0, 对一切实数 x 成立，符合题意若 m=-5，则不等式为 24x+3>0，不满足对一切实数 x 均成立，所以 m=-5 舍去2)当 m2+4m-5≠0 即 m≠1 且 m≠-5 时，由此一元二次不等式的解集为 R 知，抛物线 y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3 开口向上，且与 x 轴无交点，所以 ，0)5m4(12)(6054即 ， ∴ 10； （3）x 2-(a+1)x+a0，即 a>2 或 a1 时，原不等式的解集为{x|11或 -10时，若 ， 即 时， ；210a， 20a),[],(若 ， 即 时，x∈R； ＝， 1若 ， 即 时， .， ),2[]1,(ax②当a0时，则Δ>0， .)1,(a②a0， 即 -10【答案】若 a=0，原不等式化为-x+1>0，解集为{x|x0，即 时，方程 有两个不等实数根4012xa， ，ax21x2①当 时，函数 的图象开口向上，与 x 轴有两个不同的交点，且 ，其简图如401)(2xaf 21x下：所以，此时不等式 的解集为 ；012xa ,241241, aa②当 a0；(3) 2x 2+3x+40 恒成立，求实数 a 的取值范围；黄冈数学刘老师精品 ：189 2848 2400第 11 页 共 13 页(2)如果对 x∈[-3，1]，f(x)>0 恒成立，求实数 a 的取值范围.18.解下列关于 x 的不等式 ； 0)1(xa综合探究：19．解关于 x 的不等式： .(1)()2ax20. 设集合 A={x|x2-2x-80}, C={x|x2-3ax+2a2-2}；{x| }(,9]21x317．解析：(1)由题意得：△= ，即 00 得，有如下两种情况：黄冈数学刘老师精品 ：189 2848 2400第 12 页 共 13 页或 2[3,1]()0af2[3,1]()0af综上所述： .,4218. 解析：当 a=0 时，原不等式即为-(x+1)>0，解得 x0，数 的图象开口向上，与 x 轴有两个交点，其简图如下：()f黄冈数学刘老师精品 ：189 2848 2400第 13 页 共 13 页故不等 的解集为 ；0)1(xa1(,),a综上所述，当 a0 时，不等式的解集为 .,1,a综合探究：19．解析：原不等式可化为： ()()2002xx(1)20ax(1)2aax1()2ax当 a-1>0 时，原不等式的解为： 或 x>2；1当-10，得 x1，所以 B={x|x1}所以 A∩B={x|1

综上所述，实数 a 的取值范围是 {|20}a或。