第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型两个问题：两个问题：1 1、怎样建立控制系统的数学模型？、怎样建立控制系统的数学模型？2 2、详细介绍了几种数学模型详细介绍了几种数学模型时域：时域：微分方程微分方程复域：复域： 传递函数传递函数 方框图方框图 信号流图信号流图 分析方法：分析方法：时域分析法时域分析法根轨迹法根轨迹法频域分析法频域分析法 时域分析法：时域分析法： 一种直接在时间域中对系统进行分析一种直接在时间域中对系统进行分析的方法特点：特点：1 1、具有直观、准确的优点具有直观、准确的优点2 2、提供系统时间响应的全部信息提供系统时间响应的全部信息 主要内容：主要内容： 第一节第一节 典型输入信号典型输入信号 第二节第二节 线性定常系统的时域性能指标线性定常系统的时域性能指标 第三节第三节 一阶、二阶系统的暂态响应一阶、二阶系统的暂态响应 第四节第四节 线性系统的稳定性线性系统的稳定性 一、典型输入信号一、典型输入信号 所谓典型输入信号，是指根据所谓典型输入信号，是指根据系统系统常遇到的输入信号形式，在数学描常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函述上加以理想化的一些基本输入函数。
数v定义：定义： v品种：品种：阶跃函数阶跃函数斜坡函数〔等速度函数）斜坡函数〔等速度函数）抛物线函数抛物线函数脉冲函数脉冲函数正弦函数正弦函数 1 1、阶跃函数、阶跃函数Atr(t)0r (t) =0At < 0t >0A=1时，称为单位阶跃函数时，称为单位阶跃函数R(s)=1/s记为记为:1(t) 2 2、斜坡函数〔等速度函数）、斜坡函数〔等速度函数）r(t)=0Att < 0t >0r(t)t0A=1时，时，r(t)为单位斜坡函数为单位斜坡函数 3 3、抛物线函数〔加速度函数）、抛物线函数〔加速度函数）r(t)=0At2t < 0t > 0r(t)0tA=1/2时，时，r(t)为单位抛物线函数为单位抛物线函数 tr(t)r(t) =0 t<0,t>ε A/ε 0ε δ(t) = limr(t)=ε→0ε→0当A=1时4 4、脉冲函数、脉冲函数tr(t)A/εε0 0单位脉冲函数单位脉冲函数 5 5、正弦函数、正弦函数R(s) =Aωs2+ω2r(t)=Asinωtt r(t) 0 名名 称称时域表达式时域表达式频域表达式频域表达式单位阶跃函数单位阶跃函数单位斜坡函数单位斜坡函数单位加速度函数单位加速度函数单位脉冲函数单位脉冲函数正弦函数正弦函数1(t),t,1表表 典型输入信号典型输入信号 如何选择典型输入信号？如何选择典型输入信号？取决于系统常见的工作状态。
取决于系统常见的工作状态在所有可能的输入信号中，选取在所有可能的输入信号中，选取最不利的信号最不利的信号 室温调节系统和水位调节系统或工作状室温调节系统和水位调节系统或工作状态突然改变或突然受到恒定输入作用的态突然改变或突然受到恒定输入作用的控制系统控制系统跟踪通信卫星的天线控制系统以及输入跟踪通信卫星的天线控制系统以及输入信号随时间逐渐变化的控制系统信号随时间逐渐变化的控制系统宇宙飞船控制系统宇宙飞船控制系统例如：例如：阶跃函数阶跃函数斜坡函数斜坡函数加速度函数加速度函数 例如：例如：输入量为冲击量时输入量为冲击量时脉冲函数脉冲函数系统的输入作用具有周期性变化时系统的输入作用具有周期性变化时正弦函数正弦函数 二二 线性定常系统的时域响应线性定常系统的时域响应线性常微分方程线性常微分方程方程的解方程的解 对应齐次微分方程的通解对应齐次微分方程的通解方程的任一特解，与微分方程及输入作用有关方程的任一特解，与微分方程及输入作用有关 线性常微分方程解的结构形式：线性常微分方程解的结构形式：解＝齐次方程的通解＋非齐次方程的任一特解解＝齐次方程的通解＋非齐次方程的任一特解网络的响应＝暂态响应网络的响应＝暂态响应 ＋＋ 稳态响应稳态响应(暂态分量暂态分量)(稳态分量稳态分量) v动态过程：动态过程： 也称过渡过程。
指系统在典型输入也称过渡过程指系统在典型输入信号的作用下，系统输出量从初始状信号的作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程态到最终状态的响应过程一〕动态过程与稳态过程（一〕动态过程与稳态过程 衰减衰减发散发散等幅振荡等幅振荡√ 衰减衰减√ 动态过程除提供系统稳定性的信动态过程除提供系统稳定性的信息外，还可以提供响应速度及阻尼情息外，还可以提供响应速度及阻尼情况等信息况等信息动态性能动态性能 v稳态过程稳态过程 指系统在典型输入信号的作用下，指系统在典型输入信号的作用下，当当t→∞t→∞时，系统输出量的表现方时，系统输出量的表现方式稳态过程又称稳态响应，表征系统输稳态过程又称稳态响应，表征系统输出量复现输入量的程度，提供系统稳出量复现输入量的程度，提供系统稳态误差的信息态误差的信息稳态性能稳态性能 （二）、动态性能与稳态性能（二）、动态性能与稳态性能v动态性能：动态性能： 通常在阶跃函数作用下，测定通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能或计算系统的动态性能考虑：为什么选用阶跃函数？考虑：为什么选用阶跃函数？ （（1 1〕延迟时间〕延迟时间tdtd：：响应第一次达到稳态值的一半所需的时间。
响应第一次达到稳态值的一半所需的时间 （（2 2〕上升时间〕上升时间trtr：：指响应从终值指响应从终值10%→10%→终值终值90%90%所需时间有振荡的所需时间有振荡的系统，定义响应第一次达到稳态值系统，定义响应第一次达到稳态值h(∞)h(∞)的时间 上升时间是系统响应速度的一种度量，上升时上升时间是系统响应速度的一种度量，上升时间越短，响应速度越快间越短，响应速度越快 （（3 3〕峰值时间〕峰值时间tptp 超过其终值到达第一次峰值所需时间超过其终值到达第一次峰值所需时间 （（4 4〕调节时间〕调节时间tsts 响应与稳态值之间的偏差达到允许响应与稳态值之间的偏差达到允许范围并维持在此范围内所需的时间一范围并维持在此范围内所需的时间一般取稳态值的百分数〔通常取般取稳态值的百分数〔通常取5%5%或或2%2%）） σ%=h(tp)－－ h(∞)h(∞)× 100%（（5 5）） 超调量超调量σ%σ% 指响应的最大偏离量h(tp)与终值h(∞)之差的百分比 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标评价系统的阻尼程度。
评价系统的阻尼程度或或 评价系统的响应速度；评价系统的响应速度； tC(t)0假假设设 h(tp)＜＜h(∞)，超调量为多少？，超调量为多少？考虑：考虑：假假设设h(tp)＜＜h(∞)，则无超调则无超调结论：结论： v稳态性能：稳态性能： 稳态误差稳态误差ess:是描述系统稳态性能的一种是描述系统稳态性能的一种性能指标性能指标,它反映系统复现输入信号的〔稳它反映系统复现输入信号的〔稳态〕精度态〕精度通常在阶跃函数，斜坡函数或加速度函数作通常在阶跃函数，斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算用下进行测定或计算 对于单位反馈系统，当对于单位反馈系统，当 时系统时系统响应的实际值与期望值〔即输入值〕之差，响应的实际值与期望值〔即输入值〕之差，定义为稳态误差定义为稳态误差 第一第一 典型输入信号典型输入信号 第二第二 线性定常系统的时域响应结构形式线性定常系统的时域响应结构形式 第三第三 线性定常系统的时域性能指标线性定常系统的时域性能指标 第一第一 典型输入信号典型输入信号 第二第二 线性定常系统的时域响应结构形式线性定常系统的时域响应结构形式 第三第三 线性定常系统的时域性能指标线性定常系统的时域性能指标 。