第二章 水静力学水静力学（Hydrostatics）是研究液体处于静止状态时的力学规律及其在实际工程中的应用静止”是一个相对的概念这里所谓“静止状态”是指液体质点之间不存在相对运动，而处于相对静止或相对平衡状态的液体，作用在每个液体质点上的全部外力之和等于零绪论中曾指出，液体质点之间没有相对运动时，液体的粘滞性便不起作用，故静止液体质点间无切应力；又由于液体几乎不能承受拉应力，所以，静止液体质点间以及质点与固壁间的相互作用是通过压应力（称静水压强）形式呈现出来水静力学的主要任务是根据力的平衡条件导出静止液体中的压强分布规律，并根据其分布规律，进而确定各种情况下的静水总压力因此，水静力学是解决工程中水力荷载问题的基础，同时也是学习水动力学的基础§2-1 静水压强及其特性1．静水压强的定义在静止的液体中，围绕某点取一微小作用面，设其面积为ΔA，作用在该面积上的压力为ΔP，则当ΔA无限缩小到一点时，平均压强便趋近于某一极限值，此极限值便定义为该点的静水压强(Hydrostatic Pressure)，通常用符号p表示，即 (2-1)静水压强的单位为 (Pa(帕))，量纲为。
2．静水压强的特性静水压强具有两个重要的特性：(1)静水压强方向与作用面的内法线方向重合在静止的液体中取出一团液体，用任意平面将其切割成两部分，则切割面上的作用力就是液体之间的相互作用力现取下半部分为隔离体，如图2-1所示假如切割面上某一点M处的静水压强p的方向不是内法线方向而是任意方向，则p可以分解为切应力τ和法向应力pn从绪论中知道，静止的液体不能承受剪切力也不可能承受拉力，否则将平衡破坏，与静止液体的前提不符所以，静水压强唯一可能的方向就是和作用面的内法线方向一致2)静水压强的大小与其作用面的方位无关，亦即任何一点处各方向上的静水压强大小相等在静止的液体中点附近，取一微分四面体如图2-2所示为方便起见，三个正交面与坐标平面方向一致，棱长分别为dx、dy、dz任意方向的倾斜面积为，其外法线n的方向余弦为、、，则四面体所受的力包括表面力和质量力在静止液体中表面力只有四个面上的压力Px、Py、Pz和Pn设各面上的平均压强分别为px、py、pz、pn，则四面体的体积是，质量是，设单位质量力在坐标轴方向的分量分别为X、Y、Z，则质量力F在坐标轴方向的分量是：根据力的平衡条件，四面体处于静止状态下各个方向的作用力之和应分别为零。
以x方向为例：将上面各式代入后得当dx、dy、dz趋近于零，也就是四面体缩小到M点时，上式中左边最后一项质量力和前两项表面力相比为高阶微量，可以忽略不计，因而可得出同理，在y方向得，在z方向可得，所以 (2-1-2)因为n方向是任意选定的，故上式表明，静水中同一点各个方向上的静水压强均相等，与作用面的方位无关，可以把各个方向的压强均写成p因为p只是位置的函数，在连续介质中，它是空间点坐标的连续函数： (2-1-3)§2-2 液体平衡微分方程及其积分1．液体平衡的微分方程在静止液体中任取一边长为dx、dy、dz的微小正六面体，如图2-3所示设其中心点的密度为ρ，液体静水压强为p，单位质量力为X、Y、Z以x方向为例，过点O′作平行于x轴的直线与六面体左右两端面分别交于点和因静水压强是空间坐标的连续函数，又dx为微量，故点M和N的静水压强，可按泰勒级数展开并略去二阶以上微量后，分别为: 由于六面体各面的面积微小，可以认为平面中点的静水压强即为该面的平均静水压强，于是可得作用在六面体左右两端面上的表面力为此外，作用在六面体上的质量力在x方向的分量为X·。
由静力平衡方程，在x方向上有(p-)dydz-(p+dx)dydz+Xdxdydz=0化简上式并整理得同理，考虑y,z方向可得X-=0Y-=0 Z-=0 (2-1-4)上式为液体平衡微分方程，是由瑞士学者欧拉(Euler)于1775年首先导出的，故又称欧拉平衡方程它表明了处于平衡状态的液体中压强的变化率和单位质量力之间的关系可以看出：在平衡液体中，对于单位质量液体来说，质量力分量(X，Y，Z)和表面力分量(,,)是对应相等的因此，哪一方向有质量力的作用，哪一方向就有压强的变化，哪一方向不存在质量力的作用，哪一方向就没有压强的变化2．液体平衡微分方程的积分在给定质量力的作用下，对式(2-2-1)积分，便可得到平衡液体中压强p的分布规律为便于积分，将式(2-4)依次乘以任意的dx、dy、dz，然后相加，得 dx+dy+dz=(Xdx+Ydy+Zdz (2-2-1)因p=p(x,y,z)，故上式左端为p的全微分dp，于是上式成为dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz) (2-2-2)这是液体平衡方程式的另一种形式。
该式表明，平衡液体中压强增量等于质量力所作功之和现在的问题是上式是否有解析解?怎样才能有解析解?也就是要解决液体在什么性质的质量力作用下才能得到平衡的问题对于不可压缩均质液体，ρ=常数，可将式(2-2-2)写成d=Xdx+Ydy+Zdz上式左端为全微分，根据数学分析理论可知，它的右端也必须是某一坐标函数W(x,y,z)的全微分，即dW=Xdx+Ydy+Zdz (2-2-3)又 dW=dx+dy+dz，而dx,dy和dz为任意变量，故有 X= ,Y= ,Z= (2-2-4) 由理论力学知道，若某一函数对各坐标的偏导数分别等于力场的力在对应坐标轴上的投影，则称该函数为力的势函数，而相应的力称为有势力由式(2-2-4)可知，坐标函数W正是力的势函数，而质量力则是有势力由此可见，液体只有在有势的质量力作用下才能保持平衡将式(2-2-3)代入式(2-2-2)，得 (2-2-5)积分上式，得式中C为积分常数，可由液体中某一已知边界条件决定。
若已知某边界的力势函数W0和静水压强p0，则由上式可得 (2-2-6)这就是不可压缩均质液体平衡微分方程积分后的普遍关系式通常在实际问题中，力的势函数W的一般表达式并非直接给出，因此实际计算液体静水压强分布时，采用式(2-2-2)进行计算较式(2-2-6)更为方便3．帕斯卡定律在式(2-2-6)中，是由液体密度和质量力的势函数决定的，与p0的大小无关因此，当p0增减Δp时，只要液体原有的平衡状态未受到破坏，则p也必然随着增减Δp，即p±Δp=p0±Δp+由此可得：在平衡液体中，一点压强的增减值将等值地传给液体内所有各点，这就是著名的压强传递帕斯卡(B.Pascal)定律水压机、水力起重机、液压传动装置等都是根据这一定律设计的4．等压面在相连通的液体中，由压强相等的各点所组成的面叫做等压面(Isobaric Surface)在静止的或相对平衡的液体中，由式(2-2-5)容易推知：等压面同时也是等势面(Isopotential Surface)在相对平衡液体中，因在等压面上，dp=0，由式(2-2-2)得 =0 (2-2-7)这就是等压面的微分方程式如单位质量力在各轴向的分量X、Y、Z为已知，则可代入上式，通过积分求得表征等压面形状的方程式。
等压面的重要特性是：在相对平衡的液体中，等压面与质量力正交这可如下证明：设想液体的某一质点M在等压面上移动一微分距离ds，则作用在这一质点上的质量力所作的功应为(图2-4)：W=()ds式中f为作用于该质点的单位质量力，dm为该质点的质量，θ为质量力与ds之间的夹角设ds在各轴向上的投影分别为dx、dy及dz；因质量力的合力所作之功应等于它在各轴向的分力所作之功的和，故()ds=dm()然而在相对平衡液体中的等压面上dp= =0即得 =0在上式中，根据假设f及ds都不等于0，故必有cosθ=0，亦即θ必须等于90°由于等压面上ds的方向是任意选择的，既然质量力与ds正交，它与等压面也必然是正交的可见，二者的方向只要知道一个，其他一个便可随之确定例如只有重力作用下的静止液体中的等压面为水平面；如果在相对平衡液体中，如除重力外还作用着其他质量力，那么，等压面就应与这些质量力的合力成正交，此时等压面就不再是水平面了常见的等压面有液体的自由表面(因其上作用的压强一般是相等的大气压强)，平衡液体中不相混合的两种液体的交界面等等等压面是计算静水压强时常用的一个概念§2-3 重力作用下静水压强分布规律工程实际中经常遇到的液体平衡问题是液体相对于地球没有运动的静止状态，此时液体所受的质量力仅限于重力。
下面就针对静止液体中点压强的分布规律进行分析讨论一、重力作用下静水压强的基本公式在质量力只有重力的静止液体中，将直角坐标系的z轴取为铅直向上，如图2-5所示在这种情况下，单位质量力在各坐标轴方向的分量为X=0，Y=0，Z=-g代入公式(2-2-2)，得dp=-ρgdz=-γdz或 dz+=0对不可压缩均质流体，重度γ=cosnt，积分上式得z+=C (2-3-1)式中C为积分常数式(2-3-1)表明，在重力作用下，不可压缩静止液体中各点的(z+)值相等式中z代表某点到基准面的位置高度，称为位置水头(Elevation Head)；代表该点到自由液面间单位面积的液柱重量，称为压强水头(Pressure Head)；z+称为测压管水头(Piezomeric Head)对其中的任意两点1及2，上式可写成z1+=z2+ (2-3-2)这就是重力作用下静止液体应满足的基本方程式，是水静力学的基本方程式在自由表面上，z=z0，p=p0，则C=z0+代入式(2-3-1)即可得出重力作用下静止液体中任意点的静水压强计算公式p=p0+γ(z0-z)或 p=p0+γh (2-3-3)式中h=z0-z表示该点在自由液面以下的淹没深度。
式(2-3-3)即计算静水压强的基本公式它表明，静止液体内任意点的静水压强由两部分组成：一部分是表面压强p0，它遵从帕斯卡定律等值地传递到液体内部各点；另一部分是液重压强γh，也就是从该点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量由式(2-3-3)还可以看出，淹没深度相等的各点静水压强相等，故水平面即为等压面，它与质量力(即重力)的方向相垂直如图2-6a所示连通容器中过1、2、3、4各点的水平面即等压面但必须注意，这一结论仅适用于质量力只有重力的同一种连续介质对于不连续的液体(如液体被阀门隔开，见图2-6b)，或者一个水平面穿过两种及以上不同介质(见图2-6c)，则位于同一水平面上的各点压强并不一定相等，水平面不一定是等压面二、压强的量度量度压强的大小，首先要明确起算的基准，其次要了解计量的单位1．量度压强的基准压强可从不同的基准算起，因而有不同的表示方法1)绝对压强(Absolute Pressure)：以设想的没有气体存在的完全真空作为零点算起的压强称为绝对压强，用符号p′表示。