二 圆锥曲线的参数方程[学习目标]1.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.[知识链接]1.椭圆的参数方程中，参数φ是OM的旋转角吗？提示 椭圆的参数方程(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角.2.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？提示 sec φ＝，其中φ∈[0，2π)且φ≠，φ≠π.3.类比y2＝2px(p＞0)，你能得到x2＝2py(p＞0)的参数方程吗？提示 (p＞0，t为参数，t∈R.)[预习导引]精品.1.椭圆的参数方程普通方程参数方程＋＝1(a＞b＞0)(φ为参数)＋＝1(a＞b＞0)(φ为参数)2.双曲线的参数方程普通方程参数方程－＝1(a＞b＞0)(φ为参数)3.抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px的参数方程是(t∈R，t为参数).(2)参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.精品.要点一 椭圆参数方程的应用例1 已知A、B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC重心G的轨迹的普通方程.解 由题意知A(6，0)，B(0，3).由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得(θ为参数)，即故重心G的轨迹的参数方程为(θ为参数).规律方法 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.跟踪演练1 已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：＋＝1.(1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x－2y－7＝0距离的最小值.精品.解 (1)由得∴曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆.曲线C2：＋＝1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.其参数方程为(θ为参数)(2)依题设，当t＝时，P(－4，4)；且Q(8cos θ，3sin θ)，故M.又C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|＝|5cos(θ＋φ)－13|，从而当cos θ＝，sin θ＝－时，，cos(θ＋φ)＝1，d取得最小值.精品.要点二 双曲线参数方程的应用例2 求证：双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.证明 由双曲线－＝1，得两条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，设双曲线上任一点的坐标为(asec φ，btan φ)，它到两渐近线的距离分别是d1和d2，则d1·d2＝·＝＝(定值).规律方法 在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2φ－tan2φ＝1的应用.跟踪演练2 如图，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2.证明 设P(sec φ，tan φ)，∵F1(－，0)，F2(，0)，精品.∴|PF1|＝＝，|PF2|＝＝，|PF1|·|PF2|＝＝2sec2φ－1.∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2.要点三 抛物线参数方程的应用例3 设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程.解 设P点的坐标为(2pt2，2pt)(t为参数)，当t≠0时，直线OP的方程为y＝x，QF的方程为y＝－2t，它们的交点M(x，y)由方程组确定，两式相乘，消去t，得y2＝－2x，精品.∴点M的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0(x≠0).当t＝0时，M(0，0)满足题意，且适合方程2x2－px＋y2＝0.故所求的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0. 规律方法 1.抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为(t为参数)，参数t为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.跟踪演练3 已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p＞0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.解析 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2＝2px，所以y＝6p，所以E，F，所以＋3＝，所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(负值舍去).答案 2精品.1.圆的参数方程中的参数θ是半径OM的旋转角，椭圆参数方程中的参数φ是椭圆上点M的离心角.2.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(φ为参数).3.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数cot φ、sec φ、csc φ的意义分别为cot φ＝，sec φ＝，csc φ＝.4.抛物线y2＝2px的参数方程(t为参数)，由于＝，因此t的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.5.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.1.参数方程(t为参数)的普通方程是( )A.抛物线 B.一条直线精品.C.椭圆 D.双曲线解析 由参数方程平方相减可得4x2－y2＝16，即－＝1，故答案为D.答案 D2.椭圆(φ为参数)的焦点坐标为( )A.(0，0)，(0，－8) B.(0，0)，(－8，0)C.(0，0)，(0，8) D.(0，0)，(8，0)解析 利用平方关系化为普通方程：＋＝1.∴焦点(0，0)，(8，0).答案 D3.参数方程(α为参数)表示的普通方程是________.解析 因x2＝1＋sin α，y2＝2＋sin α，所以y2－x2＝1，又因x＝sin＋cos＝sin，所以答案为y2－x2＝1(|x|≤且y≥1).答案 y2－x2＝1(|x|≤且y≥1)精品.4.点P(1，0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为( )A.0 B.1 C. D.2解析 d2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2.∵t∈R，∴d＝1，∴dmin＝1.答案 B5.已知点P是椭圆＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l：x＋2y＝0的距离的最大值.解 因为P为椭圆＋y2＝1上任意一点，故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π).又直线l：x＋2y＝0.因此点P到直线l的距离d＝＝.又θ∈[0，2π)，∴dmax＝＝，即点P到直线e：x＋2y＝0的距离的最大值为.一、基础达标1.参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )精品.A.x2＋＝1 B.x2＋＝1C.y2＋＝1 D.y2＋＝1解析 易知cos θ＝x，sin θ＝，∴x2＋＝1，故选A.答案 A2.方程(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是( )A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.双曲线的一部分解析 由xcos θ＝a，∴cos θ＝，代入y＝bcos θ，得xy＝ab，又由y＝bcos θ知，y∈[－|b|，|b|]，∴曲线应为双曲线的一部分.答案 D3.若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于( )A.2 B.3 C.4 D.5精品.解析 抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|为P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.答案 C4.当θ取一切实数时，连接A(4sin θ，6cos θ)和B(－4cos θ，6sin θ)两点的线段的中点的轨迹是( )A.圆 B.椭圆 C.直线 D.线段解析 设中点M(x，y)，由中点坐标公式，得x＝2sin θ－2cos θ，y＝3cos θ＋3sin θ，即＝sin θ－cos θ，＝sin θ＋cos θ，两式平方相加，得＋＝2，是椭圆.答案 B5.实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋y的最大值是________.解析 因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，所以设x＝2cos α，y＝sin α，则2x＋y＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.当sin(α＋φ)＝1时，2x＋y有最大值为5.答案 56.抛物线y＝x2－的顶点轨迹的普通方程为________.精品.解析 抛物线方程可化为y＝－，∴其顶点为，记M(x，y)为所求轨迹上任意一点，则消去t得y＝－x2(x≠0).答案 y＝－x2(x≠0)7.如图所示，连接原点O和抛物线y＝x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？解 抛物线标准方程为x2＝2y，其参数方程为得M(2t，2t2).设P(x，y)，则M是OP中点.∴∴(t为参数)，消去t得y＝x2，是以y轴为对称轴，焦点为(0，1)的抛物线.二、能力提升8.若曲线(θ为参数)与直线x＝m相交于不同两点，则m的取值范围是( )精品.A.R B.(0，＋∞)C.(0，1) D.[0，1)解析 将曲线化为普通方程得(y＋1)2＝－(x－1)(0≤x≤1).它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m＜1.答案 D9.圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________.解析 将参数方程化为普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由2p＝4⇒p＝2，则焦点坐标为(1，0).答案 (1，0)10.设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________.解析 化为普通方程为y＝x2，由于ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sin θ＝0.答案 ρcos2θ－sin θ＝0精品.11.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解 (1)C1的普通方程为＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值.d(α)＝＝.当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.三、探究与创新12.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆上的点的最。