第二讲 圆锥曲线的参数方程1.椭圆的参数方程一、知识回顾问题:你能仿此推导出椭圆 的参数方程吗？这就是椭圆的参数方程如下图，以原点O为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为 半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连接OA, 与小圆交于点B ，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作 BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的 轨迹参数方程. OAMxyNB分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同,点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.设∠XOA=φOAMxyNB解：设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A: (acosφ, a sinφ), B: (bcosφ, bsinφ),由已知:即为点M的轨迹参数方程.消去参数得:即为点M的轨迹普通方程.如下图，以原点O为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为 半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连接OA, 与小圆交于点B ，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作 BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的 轨迹参数方程. 1 .参数方程 是椭圆的参数方程.2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是φOAMxyNB知识归纳椭圆的标准方程:椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:xyO圆的标准方程:圆的参数方程:x2+y2=r2θ的几何意义是∠AOP=θPAθ椭圆的参数方程:是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.圆的参数方程与椭圆的参数方程中参数的几何意义MOXYN(x,y)ABOXYNM(x,y) 为OX轴逆时针旋转到与 OM重合时所转过的角度并非为OX轴逆时针旋转到 与OM重合时所转过的角度是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.【练习1】把下列普通方程化为参数方程. (1)(2)(3)(4)把下列参数方程化为普通方程练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ，则此椭圆的长轴长为（ ），短轴长为（ ），焦点坐标是（ ），离心率是（ ）。
42( , 0)例1、如图，在椭圆x2／9+y2／4=1上求一点M，使M 到直线 l：x+2y-10=0的距离最小.xyOP分析1 平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决例1、如图，在椭圆x2／9+y2／4=1上求一点M，使M 到直线 l：x+2y-10=0的距离最小.分析2例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线l：x-y+4=0的距离最小.xyOP分析1：分析2：分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决例2.已知椭圆 ,求椭圆内接矩形面积的最大值.解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.练习3已知椭圆 有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX例3:已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.练习41、动点P(x,y)在曲线 上变化 ，求2x+3y的最 大值和最小值2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 .A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段B设中点M (x, y)x=2sinθ-2cosθy=3cosθ+3sinθ它的焦距是多少？B练习5小结（1）椭圆的参数方程与应用注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。
2）椭圆与直线相交问题2.双曲线的参数方程•aoxy)MBA双曲线的参数方程探究：双曲线 的参数方程b•aoxy)MBA双曲线的参数方程b⑵ 双曲线线的参数方程可以由方程 与三角恒等式相比较较而得到，所以双曲线线的参数方程的实质实质 是三角代换换.说明：⑴ 这这里参数 叫做双曲线线的离心角与直线线OM的倾倾斜角不同.•aoxy)MBAb双曲线的参数方程例2、OBMA xy解：双曲线的参数方程 注意:双曲线还有什么参数方程?3.抛物线的参数方程xyoM(x,y)抛物线的参数方程xyoBA Mc练习：练习：小结：1、抛物线的参数方程的形式2、抛物线参数的意义。