高等数学上册第3章习题答案吴赣昌人民大学出版社高数理工类.pdf

第 3 章 中值定理与导数的应用 内容概要内容概要 名称 主要内容（3.1、3.2） 3.1 中值 定理 名称 条件 结论 罗尔中值定理 )(xfy ： （1） 在][a,b上连续；（2） 在)(a,b内可导； （3）)()(bfaf 至 少 存 在 一 点)(a,bξ 使 得0)(/ξf 拉格朗日中值定理 )(xfy ： （1） 在][a,b上连续；（2） 在)(a,b内可导 至 少 存 在 一 点)b, a (使 得)(/ξfabafbf)()( 柯西中值定理 )(xf、)(xg： （1） 在][a,b上连续， 在)(a,b内可导； （2）在)(a,b内每点处0)(/xg 至 少 存 在 一 点)(a,bξ 使 得abafbfξgξf)()()()(// 3.2 洛必达 法则 基本形式 00型与型未定式 通分或取倒数化为基本形式 1）型：常用通分的手段化为00型或型； 2）0型：常用取倒数的手段化为00型或型，即： 0001/0或01/0； 取对数化为 基本形式 1）00型： 取对数得00 ln00e， 其中000 ln001/0 或0 ln001/0 ； 2）1型：取对数得ln11e， 其中00ln101/0  或ln101/0 ； 3）0型：取对数得ln00e， 其中000 ln01/0  或0 ln01/0 。

课后习题全解课后习题全解 习题习题 3 3- -1 1 ★★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值 （1）]511[32)(2. ,,xxxf； （2）]30[3)(,, xxxf 知识点知识点：罗尔中值定理 思路思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/ξf，得到的根ξ便为所求 解解： （1）∵32)(2xxxf在]511[. ,上连续，在)5 . 1 , 1(内可导，且0)51 () 1(.ff， ∴32)(2xxxf在]511[. ,上满足罗尔定理的条件令( )410f ξξ 得)511(41. ,ξ即为所求 （2）∵xxxf3)(在] 30[ ,上连续，在) 30( ,内可导，且0) 3()0( ff， ∴xxxf3)(在] 30[ ,上满足罗尔定理的条件令 ( )302 3ξfξξξ，得) 30(2,ξ即为所求 ★★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423xxxy在区间] 10[ ,上的正确性 知识点知识点：拉格朗日中值定理。

思路思路： 根据拉格朗日中值定理的条件和结论， 求解方程(1)(0)( )1 0fff ξ，若得到的根] 10[ ,ξ 则可验证定理的正确性 解解： ∵32( )452yf xxxx在] 10[ ,连续， 在) 10( ,内可导， ∴25423xxxy在区间] 10[ ,上满足拉格朗日中值定理的条件又2)0(2) 1 (,ff，2( )12101fxxx， ∴要使(1)(0)( )01 0fff，只要：513(0 1)12,， ∴513(0 1)12,，使(1)(0)( )1 0fff ξ，验证完毕 ★★3.已知函数4)(xxf在区间]21 [ ,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ 解解：要使(2)(1)( )2 1fff ξ，只要33154154ξ，从而315(1 2)4ξ,即为满足定理的 ★★★★4.试证明对函数rqxpxy2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间 证明证明：不妨设所讨论的区间为][a,b，则函数rqxpxy2在][a,b上连续，在)(a,b内可导，从而有( )( )( )f bf af ξba，即abrqaparqbpbqξ)()(222， 解得2abξ，结论成立。

★★5.函数3)(xxf与1)(2 xxg在区间]21 [ ,上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ 知识点知识点：柯西中值定理 思路思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程( )( )( )( )( )( )f ξf bf ag ξg bg a，得到的根ξ便为所求 解解：∵3)(xxf及2g( )1xx在]21 [ ,上连续，在)21 ( ,内可导，且在)21 ( ,内的每一点处有( )20g xx，所以满足柯西中值定理的条件要使( )(2)(1)( )(2)(1)fξffg ξgg，只要37232ξξ，解得)21 (914,ξ， ξ即为满足定理的数值 ★★★★★★6.设)(xf在] 10[ ,上连续，在) 10( ,内可导，且0) 1 (f求证： 存在) 10( ,ξ ，使( )( )f ξfξξ  知识点知识点：罗尔中值定理的应用 思路思路：从ξξfξf)()(/结论出发，变形为0)()(/ξfξξf，构造辅助函数使其导函数为)()(/xfxxf， 然后再利用罗尔中值定理，便得结论构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常用的方法。

证明证明：构造辅助函数)()(xxfxF，( )( )( )F xf xxfx 根据题意)()(xxfxF在] 10[ ,上连续，在) 10( ,内可导，且0) 1 (1) 1 (fF， 0)0(0)0(fF，从而由罗尔中值定理得：存在) 10( ,ξ ，使 ( )( )( )0F ξf ξ ξf ξ，即( )( )f ξfξξ  注注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使( )( )f xfxx ，只要  ( )1[( )][ln( )][ln ][ln( )]00[( )]0( )( )fxxf xf xxxf xxf xf xxxf x   ∴只要设辅助函数)()(xxfxF ★★★★7.若函数)(xf在)(a,b内具有二阶导函数，且)()()(321xfxfxf )(321bxxxa，证明：在)(31,xx内至少有一点ξ，使得( )0fξ 知识点知识点：罗尔中值定理的应用 思路思路：连续两次使用罗尔中值定理 证明证明：∵ )(xf在)(a,b内具有二阶导函数，∴)(xf在][21,xx、][32,xx内连续， 在)(21,xx、)(32,xx内可导，又)()()(321xfxfxf， ∴由罗尔定理，至少有一点)(211,xxξ 、)(322,xxξ ， 使得1( )0f ξ、2()0fξ；又( )fx在][21,ξξ上连续，在)(21,ξξ内可导， 从而由罗尔中值定理，至少有一点)(21,ξξξ)(31,xx，使得( )0fξ。

★★★★8.若 4 次方程043223140axaxaxaxa有 4 个不同的实根，证明： 0234322130axaxaxa 的所有根皆为实根 知识点知识点：罗尔中值定理的应用 思路思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理 证明证明：令43223140)(axaxaxaxaxf 则由题意，)(xf有 4 个不同的实数零点，分别设为4321,x,x,xx， ∵)(xf在][21,xx、][32,xx、][43,xx上连续，在)(21,xx、)(32,xx、)(43,xx上可导， 又0)()()()(4321xfxfxfxf， ∴由罗尔中值定理，至少有一点)(211,xxξ 、)(322,xxξ 、)(433,xxξ  使得123( )()()0f ξf ξf ξ，即方程0234322130axaxaxa至少有 3 个实根，又三次方程最多有 3 个实根，从而结论成立 ★★★★★★9.证明：方程015 xx只有一个正根 知识点知识点：零点定理和罗尔定理的应用 思路思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。

零点定理往往用来讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况 解解：令1)(5xxxf，∵)(xf在] 10[ ,上连续，且01) 1 (f，01)0(f， ∴由零点定理，至少有一点) 10( ,ξ ，使得01)(5ξξξf； 假设015 xx有两个正根，分别设为1ξ、2ξ（21ξξ ） ， 则)(xf在在][21,ξξ上连续，在)(21,ξξ内可导，且0)()(21ξfξf， 从而由罗尔定理，至少有一点)(21,ξξξ ，使得4( )510fξξ ，这不可能 ∴方程015 xx只有一个正根 ★★★★10.不用求出函数)4)(3)(2)(1()(xxxxxf的导数，说明方程( )0fx有几个实根，并指出它们所在的区间 知识点知识点：罗尔中值定理的应用 思路思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理 解解： ∵)4)(3)(2)(1()(xxxxxf在]21 [ ,、] 32[ ,、]43[ ,上连续， 在)21 ( ,、) 32( ,、)43( ,内可导，且0)4() 3()2() 1 (ffff， ∴由罗尔中值定理，至少有一点)21 (1,ξ 、)32(2,ξ 、)43(3,ξ ， 使得123( )()()0f ξf ξf ξ，即方程( )0fx至少有三个实根， 又方程( )0fx为三次方程，至多有三个实根， ∴( )0fx有 3 个实根，分别为)21 (1,ξ 、)32(2,ξ 、)43(3,ξ 。

★★★★★★11.证明下列不等式： （1） babaarctanarctan ； （2） 当 1x时，exex ； （3） 设 0x，证明xx  )1 (ln； （4） 当0x时，xx11)11 (ln 知识点知识点：利用拉格朗日中值定理 思路思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数( )yf x，通过式子( )( )( )f bf af ξba（或( )( )( )()f bf af ξ ba）证明的不等式 证明证明： （1）令xxfarctan)(， ∵)(xf在][a,b上连续，在)(a,b内可导， ∴由拉格朗日中值定理，得21arctanarctan( )()1abf ξ bababaξ （2）令xexf)() 1( x，∵)(xf在]1 [ ,x上连续，在)1 ( ,x内可导， ∴由拉格朗日中值定理，得eex )(xeξ1， ∵xξ 1，∴eexxexeeeξx) 1() 1(，从而当 1x时，exex （3）令)1ln()(xxf)0( x，∵)(xf在]0[ ,x上连续，在)0( ,x内可导， ∴由拉格朗日中值定理，得1ln(1)ln(1)ln(1 0)( )(0)1xxf ξ xxξ， ∵xξ 0，∴xxξ11，即0x， xx  )1ln(。

（4）令xxfln)()0( x，∵)(xf在]1[xx, 上连续，在)1(xx, 内可导， ∴由拉格朗日中值定理，得11ln(1)ln(1)ln( )(1 0)xxf ξxξ， ∵xξx1，∴xξ111，即当0x时，xx11)11ln( ★★★★12.证明等式：) 1(12arcsinarctan22xπxxx. 知识点知识点：( )0( )fxf xC（C为常数） 思路思路：证明一个函数表达式)(xf恒等于一个常数，只要证( )0fx 证明证明：令) 1(12arcsinarctan2)(2xxxxxf， 当1x时，有π1arcsin1arctan2；当1x时，有 2222 222222212(1)222122( )1(1)1(1)121 ()1xxxxfxxxxxxxx 0)12(1222xx，∴( )(1)f xCf； ∴) 1(12arcsinarctan22xπxxx成立 ★★★★★★13.证明： 若函数)(xf在)(,-内满足关系式( )( )fxf x， 且1)0(f， 则xexf)(。

知识点知识点：( )0( )fxf xC 思路思路：因为 ( )( )1xxf xeef x，所以当设( )( )xF xef x时，只要证( )0F x即可 证明证明：构造辅助函数( )( )xF xef x， 则( )( )( )0xxF xefxef x； ∴( )(0)1xF(x)ef xCF ∴xexf)( ★★★★★★14.设函数)(xf在][a,b上连续，在)(a,b内有二阶导数，且有 bcac,fbfaf)(0)(0)()(， 试证在)(a,b内至少存在一点ξ，使( )0fξ 知识点知识点：拉格朗日中值定理的应用 思路思路：关于导函数)()(ξfn在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论 证明证明：∵ )(xf在][a,c、][c,b上连续，在)(a,c、)(c,b内可导， ∴由拉格朗日中值定理，至少有一点)(1a,cξ 、)(2c,bξ ， 使得2( )( )()0f cf bf ξcb，1( )( )( )0f af cf ξac； 又( )fx在][21,ξξ上连续，在)(21,ξξ内可导，从而至少有一点)(21,ξξξ ， 使得2121()( )( )0fξfξfξξξ。

★★★★★★15.设)(xf在][a,b上可微，且( )0( )0( )( )fa, fb, f af bA,试证明)(/xf在)(a,b内至少有两个零点 知识点知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理 思路思路：要证明在某个区间)(a,b内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在][a,b上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论 证明证明：∵( )( )( )lim0xaf xf afaxa，由极限的保号性知， )(1a,δ（不妨设21b-aδ ） ，对于)(1a,δx，均有0)()(axafxf， 特别地，)(11a,δx，使得0)()(11axafxf，∴得Aafxf)()(1； 同理，由( )0fb,得)(22b,δx（22b-aδ ） ，使得0)()(22bxbfxf， 从而得Abfxf)()(2； 又∵)(xf在][21,xx上连续，∴由介值定理知，至少有一点)(21,xxξ 使得Aξf)(； ∵)(xf在][a,ξ、][ξ,b上连续，在)(a,ξ、)(ξ,b内可导，且Abfξfaf)()()(， ∴由罗尔中值定理知，至少有一点)(1a,ξξ 、)(2ξ,bξ ，使得12( )()0fξfξ，结论成立。

★★★★★★16.设)(xf在闭区间][a,b上满足( )0fx，试证明存在唯一的bcc,a，使得 ( )( )( )f bf af cba 知识点知识点：微分中值定理或函数单调性的应用 思路思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的单调性得出结论 证明证明：存在性 ∵)(xf在][a,b上连续，在)(a,b内可导，∴由拉格朗日中值定理知，至少有一点)(a,bc，使得( )( )( )f bf af cba 唯一性的证明如下： 方法一方法一：利用反证法假设另外存在一点)(a,bd ，使得( )( )( )f bf afdba， 又∵( )fx在][c,d（或][d,c）上连续，在)(c,d（或)(d,c）内可导， ∴由罗尔中值定理知，至少存在一点)()(a,bc,dξ（或)()(a,bd,cξ） ，使得( )0fξ，这与)(xf在闭区间][a,b上满足( )0fx矛盾从而结论成立 方法二方法二：∵)(xf在闭区间][a,b上满足( )0fx，∴( )fx在][a,b单调递增， 从而存在存在唯一的)(a,bc，使得( )( )( )f bf af cba。

结论成立 ★★★★★★17.设函数)(xfy 在0x的某个邻域内具有n阶导数，且 (1)(0)(0)(0)0nfff,试用柯西中值定理证明： ) 10()()()(θn!θxfxxfnn 知识点知识点：柯西中值定理 思路思路：对)(xf、nxxg)(在]0[ ,x上连续使用n次柯西中值定理便可得结论 证明证明：∵)(xf、nxxg)(及其各阶导数在]0[ ,x上连续，在)0( ,x上可导， 且在)0( ,x每一点处，(1)( )!0ngxn x，又(1)(0)(0)(0)0nfff,， ∴连续使用n次柯西中值定理得， (1)(1)11111(1)111()(0)( )( )(0)( )( )(0)(0)(0)(0)nnnnnnnnnfξfff ξff xf xfxxgnnξgn!ξg ) 10()()(θn!θxfn，从而结论成立 习题习题 3 3- -2 2 ★★★★1.用洛必达法则求下列极限： （1） xeexxxsinlim0； （2） x-aaxaxsinsinlim； （3）22)2(sinlnlimxπ-xπx； （4）xarcxxcot)11ln(lim； （5）xxx2tanln7tanlnlim0； （6）eexxxxln1lim31； （7） xx-xxxsintanlim0； （8）xxx2cotlim0； （9） 2120limxxex； （10）) 1(lim1xxex； （11）)111(lim0xxex； （12）)ln11(lim1xx-xx；（13）xxxa)1 (lim； （14）xxxsin0lim； （15）xxxtan0)1(lim； （16）xx-xexxarctan1)1ln(lim0； （17）xxx10)sin1 (lim； （18）xxx)1(lnlim0； （19）xxxx12)1(lim； （20）2)1tan(limnnnn。

知识点知识点：洛必达法则 思路思路：注意洛必达法则的适用范围该法则解决的是该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式未定型的极限问题，基本形式为：为：00型与型与型未定型未定式式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于型与0型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于00型、1型与0型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化 解解： （1） 2coslimsinlim00xeexeexxxxxx；  （2） axaxaxaxaxcos1coslimsinsinlim； （3）818sinlim)2(4coslim)2(4sincoslim)2(sinlnlim22222xπxxπxxxxπxπxπxπxπx； （4）1) 1(1lim11) 1(1limcot)11ln(lim22xxxxxxxarcxxxx； （5）17cos27tan2tan2cos7lim2tan2sec27tan7sec7lim2tanln7tanlnlim2202200xxxxxxxxxxxxx； （6）eexxeexxxxxx413limln1lim2131； （7） 2230000tansec12tan sec2limlimlimlim2sin1 cossincosxxxxxxxxxxxxxx； （8）212sec21lim2tanlim2cotlim2000xxxxxxxx； （9） 2222103130210120lim22lim1limlimxxxxxxxxexexxeex； （或解为：221120limlimlim1uuuxxxuueex eu ） （10）1lim11lim1) 1(lim) 1(lim121211xxxxxxxxexexxeex； （或解为：∵当x 时，111~xex，∴11/11/lim (1)limlim11/1/xxxxxexx exx） （11）(1)~20000111111lim()limlimlim1(1)22xxxxexxxxxxxexexexex exx  ； （12）212lnln1lim1lnlnlimln) 1(1lnlim)ln11(lim1111xxxxxxxxxxxxxxxxxx； （或解为：ln(1)~12100ln1(1)ln(1)(1)ln(1)limlimlim(1)lnln(1)uuu xxuuxxxuuuuuuxxuuu  0ln(1)1lim22uuu） （13）ln(1)limln(1)limlim11lim(1)xxxaaaxxxxaxxxxaexeee； （14）0000ln1tan sinlim sin lnlimlimlimsin0csccot csc0lim1xxxxxxxxxxxxxxxxxeeeee； （15）220001lnsinlimlimlimtan0cotcsc00001lim( )limlimlim1xxxxxxxxxxxxxxeeeex； （16）220200) 1() 1)(1 (lim11111limarctan1)1ln(limxxexexxxexxxexxxxxxx 200(1)1limlim22xxxxxxeexexx   ； （17）eeexxxxxx)(xxxxxsin1coslim0sin1lnlim01000limlim)sin1 (lim； （18）0020011()ln[ ln ]lnlimlim111limlimln1/01lim(ln)1xxxxxxxxxxxxxxeeeex ； （19）1)1(lim222211lim111lim)1ln(lim12xxxxxxxxxxxxxeeexx； （20）令2)1tan()(xxxxf，则22201lntanln1lim01tanlim( tan)lim()ttttxxttxttxext 222332300001sin2sectansectansin cos2limlimlimlim2tan22cos2ttttttttttttttttttttteeee 222200(1 cos )~1 cos221limlim2663ttxxtttteee ∴2131lim ( tan)nnnen ★★★★2.验证极限xxxxsinlim存在，但不能用洛必达法则求出。

知识点知识点：洛必达法则 思路思路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效洛必达法则不能解决所有的未定型极限问题 解解：∵ 101)sin1 (limsinlimxxxxxxx，∴极限xxxxsinlim存在； 若使用洛必达法则，得xxxxsinlimxxxxcoslim11cos1lim， 而xxcoslim不存在，所以不能用洛必达法则求出 ★★★★★★3.若)(xf有二阶导数，证明20()2 ( )()( )limhf xhf xf xhfxh 知识点知识点：导数定义和洛必达法则 思路思路：使用洛必达法则，对极限中的函数上下求关于h的导数，然后利用导数定义得结论 证明证明：∵ 200()2 ( )()()()limlim2hhf xhf xf xhfxhfxhhh 0()( )( )()lim2hfxhfxfxfxhh //001()( )1()( )limlim( )22hhfxhfxfxhfxfxhh，∴结论成立。

★★★★★★4.讨论函数,e,exxfxx2111])1 ([)(00xx在点0x处的连续性 知识点知识点：函数在一点连续的概念 思路思路：讨论分段函数在分段点处的连续性，要利用函数在一点处左、右连续的概念 解解：∵120001111(1)ln(1)1limlnlimlim1200(1)lim( )lim[]xxxxxxxxxxexxxxxxf xeeee 011lim21xxe)0(21fe，∴)(xf在0x处右连续； 又∵)0()(lim210fexfx，∴)(xf在0x处左连续； 从而可知，,e,exxfxx2111])1 ([)(00xx在点0x处连续 ★★★★★★5.设)(xg在0x处二阶可导，且0)0(g试确定a的值使)(xf在0x处可导，并求(0)f ，其中( ) ,0( ) ,0g xxf x xax 知识点知识点：连续和可导的关系、洛必达法则 思路思路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义 解解：要使)(xf在0x处可导，则必有)(xf在0x处连续， 又∵)(xg在0x处(0)0g，∴xxgxfaxx)(lim)(lim00)0(0)0()(lim/0gxgxgx； 由导数定义，0( )(0)(0)lim0xf xffx200( )(0)( )(0)limlim0xxg xgg xgxxxx 0( )(0)1lim(0)22xg xggx。

内容概要内容概要 名称 主要内容（3.3） 3.3 泰勒公式 泰勒中值定理：如果)(xf在含有0x的某个开区间)(a,b内具有1n阶的导数，则对任一)(a,bx，有200//00/0)(! 2)())(()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xRxxnxfnnn，此公式称为n阶泰勒公式； 其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR（介于0x于x之间） ，称为拉格朗日型余项；或])[()(0nnxxoxR，称为皮亚诺型余项 n阶麦克劳林公式： )(!)0(! 2)0()0()0()()(2///xRxnfxfxffxfnnn 其中1)1()!1()()(nnnxnxfxR（10）或)()(nnxoxR 常用的初等函数的麦克劳林公式：1）)(!! 212nnxxonxxxe 2）)()!12() 1(! 5! 3sin221253nnnxonxxxxx 3）)()!2() 1(! 6! 4! 21cos122642nnnxonxxxxx 4）)(1) 1(32)1ln(1132nnnxonxxxxx 5）)(1112nnxoxxxx 6）)(!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (2nnmxoxnnmmmxmmmxx 习题习题 3 3- -3 3 ★★1.按) 1( x的幂展开多项式43)(24xxxf。

知识点知识点：泰勒公式 思路思路：直接展开法求)(xf按)(0xx 的幂展开的n阶泰勒公式，则依次求)(xf直到1n阶的导数在0xx 处的值，然后带代入公式即可 解解：3( )46fxxx，(1)10f ；2( )126fxx，f (1)18； ( )24fxx，(1)24f ；24)()4(xf；24) 1 ()4(f；0)()5(xf； 将以上结果代入泰勒公式，得 (4)234(1)(1)(1)(1)( )(1)(1)(1)(1)(1)1!2!3!4!fffff xfxxxx432) 1() 1(4) 1(9) 1(108xxxx ★★★★2.求函数xxf)(按)4( x的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式 知识点知识点：泰勒公式 思路思路：同 1 解解：1( )2fxx，1(4)4f ；321( )4fxx ，1(4)32f  ； 523( )8fxx，3(4)256f ；2741615)(xxf)(；将以上结果代入泰勒公式，得 (4)234(4)(4)(4)( )( )(4)(4)(4)(4)(4)1!2!3!4!ffffξf xfxxxx 42732)4(1285)4(5121)4(641)4(412xξxxx，（ξ介于x与 4 之间） 。

★★★★★★3.把2211)(xxxxxf在0x点展开到含4x项，并求)0()3(f 知识点知识点：麦克劳林公式 思路思路：间接展开法)(xf为有理分式时通常利用已知的结论)(1112nnxoxxxx 解解：32222211)1 (2112112111)(xxxxxxxxxxxxxxxxf )(2221))(1)(1 (2144233xoxxxxoxxx； 又由泰勒公式知3x前的系数(0)03!f ，从而(0)0f  ★★★★4.求函数xxfln)(按)2( x的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式 知识点知识点：泰勒公式 思路思路：直接展开法，解法同 1；或者间接展开法，)(xf为对数函数时，通常利用已知的结论 xx  )1ln()(1) 1(321132nnnxonxxx 方方法一法一： （直接展开）1( )fxx，1(2)2f ；21( )fxx ，1(2)4f  ； 32( )fxx，1(2)4f ；nnnxnx,f)!1() 1()(1)(，nnnnf2)!1() 1()2(1)(； 将以上结果代入泰勒公式，得 (4)234(2)(2)(2)(2)ln(2)(2)(2)(2)(2)12!3!4!ffffxfxxxx!n(n)xnf)2(!)2())2((nxo23)2(21)2(212lnxx33)2(231x ))2(()2(21) 1(1nnnnxoxn。

方方法二法二：2)22(21222ln)221ln(2ln)22ln(ln)(xxxxxxf 2313)2(21)2(212ln))22(()22(1) 1()22(31xxxoxnxnnn ))2(()2(21) 1()2(231133nnnnxoxnx ★★★★5.求函数xxf1)(按) 1( x的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式 知识点知识点：泰勒公式 思路思路：直接展开法，解法同 1；或者间接展开法，)(xf为有理分式时通常利用已知的结论2121111(1)nnnxxxxx  方方法一法一：21( )fxx ，( 1)1f  ；32( )fxx，( 1)2f   ；46( )fxx ， ( 1)6f   1)(!) 1()(nnnxnx,f，!) 1(!) 1() 1(1)(nnfnnn； 将以上结果代入泰勒公式，得 231( 1)( 1)( 1)( 1)(1)(1)(1)1!2!3!ffffxxxx nnxnf) 1(!) 1()(1)1() 1()!1()(nnxnξf nxxxx) 1() 1() 1() 1(132121) 1() 1(nnnxξ（ξ介于x与1之间） 。

方方法二法二：nxxxxxx) 1() 1() 1() 1(1 [) 1(11132 ]) 1() 1(121nnnxξn32) 1() 1() 1() 1(1xxxx121) 1() 1(nnnxξ （ξ介于x与1之间） ★★★★6.求函数xxey 的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林展开式 知识点知识点：麦克劳林公式 思路思路：直接展开法，解法同 1；间接展开法)(xf中含有xe时，通常利用已知结论 )(212nnxxon!x!xxe 方方法一法一：(1)xyxe ，(0)1y；(2)xyxe ，(0)2y；x(n)enx,y)( ， nyn)0()(，将以上结果代入麦克劳林公式，得 23(0)(0)(0)(0)(0)()1!2!3!!(n)xnnffffxefxxxxo xn ! 232xxx)!1( nxn )(nxo 方方法二法二：! 2))()!1(! 21 (32112xxxxonxxxxxennx )!1( nxn )(nxo。

★★★★7.验证当210 x时，按公式62132xxxex计算xe的近似值时，所产生的误差小于010.，并求e的近似值，使误差小于010. 知识点知识点：泰勒公式的应用 思路思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围 解解：010192121! 42! 4! 4)(442143.xexexRξ；646048181211.e ★★★★8.用泰勒公式取5n，求21ln .的近似值，并估计其误差 知识点知识点：泰勒公式的应用 解解：设)1ln()(xxf，则(5)25(0)(0)(0)( )(0)1!2!5!ffff xfxxx 22xx 55x，从而1823052042032022020)20(21ln5432.......f.；其误差为：00001070620)1 (61)(6665..xξxR ★★★★★★9.利用函数的泰勒展开式求下列极限： （1） )3(lim233xxxxx； （2）2220sin)(cos1211lim2xexxxxx 知识点知识点：泰勒展开式的应用。

思路思路：间接展开法利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果 解解： （1）])11 ()31 ([lim)3(lim21312233xxxxxxxxxx ))]1(12) 121(21)1(211 ())]1(o3311 ([lim2222xoxxxxxxx21))1(8921(limxoxx （2）2212202220)(cos)1 (211limsin)cos(1211lim22xexxxxexxxxxxx 121)(23)(81lim)))(1 ()(21 ()(2) 121(21211 (211lim444402222244220xoxxoxxxoxxoxxo)xxxxx ★★★★10.设0x，证明：)1ln(22xxx 知识点知识点：泰勒公式 思路思路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展开的一部分时，可考虑用泰勒公式 解解：332)1 ( 32)1ln(ξxxxx（ξ介于0与x之间） ，∵ 0x，∴0)1 ( 333ξx， 从而2)1 ( 32)1ln(2332xxξxxxx，结论成立。

（也可用§3.4 函数单调性的判定定理证明之） ★★★★11.证明函数)(xf是n次多项式的充要条件是0)()1(xfn 知识点知识点：麦克劳林公式 思路思路：将)(xf按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论 解解：必要性易知，若)(xf是n次多项式，则有0)()1(xfn 充分性∵0)()1(xfn，∴)(xf的n阶麦克劳林公式为：2(0)( )(0)(0)2!fxf xffx 3( )(1)1(0)(0)( )3!!(1)!nnnnfxfxfξ xnn2(0)(0)(0)2!fxffx 3(0)3!fx!)0()(nxfnn，即)(xf是n次多项式，结论成立 ★★★★★★12.若)(xf在][a,b上有n阶导数，且(1)( )( )( )( )( )0nf af bf bfbfb 证明在)(a,b内至少存在一点ξ，使)(0)()(bξaξfn 知识点知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理 思路思路：证明)(0)()(bξaξfn，可连续使用拉格朗日中值定理，验证)()1(xfn在][a,b上满足罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据)(xf在bx 处的泰勒展开式及已知条件得结论。

方方法一法一：∵ )(xf在][a,b上可导，且)()(bfaf， ∴由罗尔中值定理知，在)(a,b内至少存在一点1ξ，使得1( )0f ξ； ∵ ( )fx在][][1a,b,bξ上可导，且( )0f b， ∴由罗尔中值定理知，在)()(1a,b,bξ内至少存在一点2ξ，使得2()0fξ； 依次类推可知，)()1(xfn在][1,bξn ][a,b上可导，且0)()()1(1)1(bfξfnnn， ∴由罗尔中值定理知，在)()(1a,b,bξn内至少存在一点ξ，使得0)()(ξfn 方方法二法二：根据已知条件，)(xf在bx 处的泰勒展开式为： (1)( )21( )( )( )( )( )( )()()()()2!(1)!!nnnnfbfbfξf xf bf b xbxbxbxbnnnnbxnξf)(!)()()(bξx， ∴)(af0)(!)()(nnbanξf，从而得0)()(ξfn，结论成立 内容概要内容概要 名称 主要内容（3.4） 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 函数单调性的判别法：设)(xfy 在][a,b上连续，在)(a,b内可导，则 （1）若在)(a,b内( )0fx，则)(xfy 在][a,b上单调增加； （2）若在)(a,b内( )0fx，则)(xfy 在][a,b上单调减少。

1） 曲线凹凸性的概念：设)(xf在区间I内连续，如果对I上任意两点21,xx，恒有 2)()()2(2121xfxfxxf，则称)(xf在I上的图形是凹的；如果恒有 2)()()2(2121xfxfxxf，则称)(xf在I上的图形是凸的 2）拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点 曲线凹凸性的判别法：设)(xf在][a,b上连续，在)(a,b内具有一阶和二阶导数，则 （1）若在)(a,b内( )0fx，则)(xfy 在][a,b上的图形是凹的； （2）若在)(a,b内( )0fx，则)(xfy 在][a,b上的图形是凸的 习题习题 3 3- -4 4 ★★1.证明函数)1ln(2xxy单调增加 知识点知识点：导数的应用 思路思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法 在某个区间I上，( )0fx（( )0fx） ，则)(xf在I单调增加（减少） 证明证明：∵2222(1)1011xxyxx  （仅在1x处0y） ， ∴)1ln(2xxy在)(,内是单调增加的 ★★2.判定函数)20(sin)(πxxxxf的单调性。

解解：∵( )1 cos0fxx （仅在πx 处( )0fx） ， ∴)20(sin)(πxxxxf是单调增加的 ★★★★3.求下列函数的单调区间： （1） 133123xxxy； （2）)0(82xxxy； （3）3232xxy； （4）)1ln(2xxy； （5）xxy)1 ( ； （6）xxyln22 知识点知识点：导数的应用 思路思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些 解解： （1） 133123xxxy的定义域为)(,；令2230yxx ， 得11x，32x列表讨论如下： x ) 1(, 1 ) 31(, 3 )3(, ( )fx  0 － 0  )(xf ↗ ↘ ↗ 由上表可知，133123xxxy在) 1(,、)3(,内严格单增，而在) 31(,内严格单减 （2） 在)0(,内，令2820yx，得2x； 当 )20( ,x时，有0y；当 )2(,x时，有0y； ∴)0(82xxxy在)20( ,内严格单增，在)2(,内严格单减。

（3）3232xxy的定义域为)(,；令1333222(1)0333xyxx， 得1x；0x为不可导点列表讨论如下： x )0(, 0 ) 10( , 1 )1 (, ( )fx  0 － 0  )(xf ↗ ↘ ↗ 由上表可知，3232xxy在)0(,、)1 (,内严格单增，而在) 10( ,内严格单减 （4）)1ln(2xxy的定义域为)(,， 22211(1)111xyxxxx 0， ∴)1ln(2xxy在)(,内严格单增 （5）xxy)1 ( 的定义域为)0[,，∵323()102yxxx ， ∴xxy)1 ( 在)0[,上严格单增 （6）xxyln22的定义域为)0(,，令214140xyxxx ，得21x； 当)210( ,x时，0y；当)21(,x时，0y ； ∴xxyln22在)210( ,内严格单增，在)21(,内严格单减 ★★★★4.证明下列不等式： （1） 当0x时，xx1211； （2）当4x时，22xx； （3）当0x时，xxxarctan)1ln()1 (； （4）20πx 时，331tanxxx。

知识点知识点：导数的应用或者泰勒公式的应用 思路思路：利用泰勒公式可以证明一些不等式（见习题 3-3 第 10 题） ，利用函数单调性也是证明不等式常用的方法 解解： （1）方方法一法一：令xxxf1211)(， 则当0x时，11( )22 1fxx)111 (21x0， ∴xxxf1211)(在)0[,上严格单增；从而0)0()( fxf， 即xx1211，结论成立 方方法法二：由泰勒公式，得 232232)1 (8))1 (8211 (2111211)(ξxξxxxxxxf（xξ 0） ， ∴0)1 (8)(232ξxxf，从而得xx1211，结论成立 （2）方法一方法一：令22)(xxfx，则当4x时，( )2 ln22xfxx， 222222( )2 ln 22(4)16ln 22(ln4 )2(ln)20xfxfe， ∴( )2 ln22xfxx在)4(,内严格单增， 从而( )2 ln22(4)16ln244(ln16 1)0xfxxf， ∴22)(xxfx在)4(,内严格单增，在)4(,内08)4(2)(2fxxfx， ∴22xx，结论成立。

注注：利用( )fx的符号判断( )fx的单调性，利用( )fx的单调性判断其在某区间上的符号，从而得出)(xf在某区间上的单调性，也是常用的一种方法 方方法二法二：令xxxfln22ln)(， 当4x时，0214ln21212ln22ln)(/xxf， ∴xxxfln22ln)(在)4(,内严格单增， ∴04ln22ln4)4(ln22ln)(fxxxf，从而有，xxln22ln， ∴xxeeln22ln，即22xx，结论成立 （3）令xxxxfarctan)1ln()1 ()(， 则当0x时有21( )ln(1) 101fxxx （仅在0x时，( )0f x） ， ∴)(xf在)0[,上严格单增，从而有0)0()( fxf， 即xxxarctan)1ln()1 (，结论成立 （4）令xxxg tan)(，则当20πx 时，有22( )sec1tan0g xxx  从而xxxg tan)(在)20(π,内严格单增，∴0)0()( gxg，即在)20(π,内xx tan； 再令331tan)(xxxxf， 则当20πx 时，2222( )sec1tan0fxxxxx ， 从而331tan)(xxxxf在)20(π,内严格单增，∴0)0()( fxf， 即在)20(π,内331tanxxx，结论成立。

★★★★★★5.试证方程xx sin只有一个实根 知识点知识点：导数的应用 思路思路：利用导数的符号判断函数的单调性，进而讨论方程的根是常用的方法 解解：易知，00sin，即0x是方程的一个根； 令xxxfsin)(，则( )1 cos0fxx （仅在)(2Zkkπx处( )0fx） ， ∴xxxfsin)(在)(,内严格单增，从而)(xf只有一个零点， 即方程xx sin只有一个实根 ★★★★6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子：xxxfsin)( 知识点知识点：导数的应用 思路思路：利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论 解解：单调函数的导函数不一定为单调函数 ∵( )1 cos0fxx （仅在)() 12(Zkπkx处( )0fx） ， ∴xxxfsin)(在)(,内严格单增； 而( )1 cosfxx 在)) 12( ,2(πkkπ内严格单减，在)2 ,) 12( (kππk 内严格单增，从而在)(,上不单调 ★★★★7.求下列函数图形的拐点及凹凸区间： （1）)0(1xxxy； （2）12xxxy ； （3） xxyarctan； （4）xexy4) 1(； （5） ) 1ln(2xy； （6）xeyarctan 。

知识点知识点：导数的应用 思路思路：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些 解解： （1）211yx  ，22yx ，∵当0x时，0y， ∴xxy1在)0[,上为凹函数，没有拐点 （2）12xxxy的定义域为)1 () 11() 1(,,,； 22211(1)xyx  ，2232 (3)(1)x xyx ，令0y，得0x； 当1x或10 x时，0y；当01x或1x时，0y； ∴12xxxy的凹区间为)01(,、)1 (,，凸区间为1),(、1), 0(；∴拐点为)00( , （3） xxyarctan的定义域为)(,，2arctan1xyxx，2220(1)yx ， ∴xxyarctan在整个定义域上为凹函数，没有拐点 （4）xexy4) 1(的定义域为)(,，34(1)xyxe ， 212(1)xyxe 0，∴xexy4) 1(在整个定义域上为凹函数，没有拐点。

（5） ) 1ln(2xy的定义域为)(,，221xyx ，2222(1)(1)xyx ， 令0y，得121,x；列表讨论如下： x ) 1(, 1 ) 11(, 1 )1 (, ( )fx － 0  0 － )(xf    由上表可知，) 1ln(2xy的凸区间为) 1(,、)1 (,，凹区间为) 11(,，拐点为)2ln1(,及)2ln1 ( , （6）xeyarctan的定义域为)(,，arctan21xeyx ，22(12 )(1)arcanxexyx ， 令0y，得21x；当21x时，0y；当21x时，0y； ∴xeyarctan的凹区间为]21(,，凸区间为)21[,，拐点为)21(21arctan,e ★★★★★★8.利用函数图形的凹凸性，证明不等式： （1）)(22yxeeeyxyx； （2）)22(2coscos2cosπ,πx,y,yxyx 知识点知识点：函数凹凸性的概念 思路思路：利用函数凹凸性的概念可证明一些不等式，特别是不等式中含不同变量的线性组合及其函数值的线性组合时可考虑利用函数的凹凸性。

证明证明： （1）令xey ，∵0xye ，∴xey 在)(,内是凹的 利用凹函数的定义，)(,x,y)(yx ，有22yxyxeee，结论成立 （2）令xycos，∵在)22(π,π内，cos0yx ，∴xycos在)22(π,π内是凸的利用凸函数的定义，)22(π,πx,y)(yx ，有2coscos2cosyxyx，结论成立 ★★★★★★9.求曲线112xxy的拐点 知识点知识点：导数的应用 思路思路：同 7 解解：112xxy的定义域为)(,，22212(1)xxyx ， 222222423(22 )(1)(12) 4 (1)2(1)(41)(1)(1)xxxxxxxxxyxx  令0y，得11x，3232,x；现列表讨论如下： x ) 1(, 1 )321( , 32 )3232(, 32  )32(, ( )fx － 0  0 － 0  )(xf     由上表可知，拐点为) 11( ,、)3483132(,、)3483132(,。

★★★★10.问a及b为何值时，点) 31 ( ,为曲线23bxaxy的拐点？ 知识点知识点：导数的应用 思路思路：拐点通常是二阶导数的零点或者是不可导点又高阶可导的函数的拐点一定是二阶导数的零点高阶可导的函数的拐点一定是二阶导数的零点 解解：23bxaxy的定义域为)(,，232yaxbx ，62yaxb； 将) 31 ( ,代入23bxaxy中，得：ba3①； 将) 31 ( ,代入62yaxb中，得：ba260②； 由①②得，23a，29b ★★★★★★11.试确定曲线dcxbxaxy23中的a、b、c、d， 使得在2x处曲线有水平切线，)101 ( ,为拐点，且点)442(,在曲线上 知识点知识点：导数的几何意义及导数的应用 思路思路：利用可导函数的拐点一定是二阶导数的零点，在某点处的导数值等于该点处切线的斜率，以及已知条件，建立方程组，确定函数中的待定参数 解解：232yaxbxc ，62yaxb； 将)442(,代入dcxbxaxy23，得 dcba24844 ① 将)101 ( ,分别代入dcxbxaxy23与62yaxb中，得 dcba10 ②； ba260 ③ 将2x代入232yaxbxc 中，得 cba4120④ 由①②③④得，1a，3b，24c，16d。

★★★★★★12.试确定22)3(xky中k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点 知识点知识点：导数的应用 思路思路：可导的拐点必为二阶导数为零的点；依此求出拐点坐标，写出法线方程，根据已知条件，求出k值 解解：22)3(xky的定义域为)(,；24(3)ykx x ，212 (1)yk x ； 令0y，得121,x易知，当x的取值通过121,x的两侧时，212 (1)yk x 会变号， ∴)41 (k,与)41(k,均为22)3(xky的拐点；∵18xyk，18xyk， ∴两拐点处法线方程分别为：) 1(814xkky，) 1(814xkky； 又两法线过原点，将)00( ,代入法线方程，得1322k，解得82k ★★★★★★★★13.设函数)(xfy 在0xx 的某邻域内具有三阶导数，如果0()0fx， 而0()0fx，试问) )((00x,fx是否为拐点，为什么？ 知识点知识点：导数的应用 思路思路：根据极限的保号性和拐点的定义得结论 方方法一法一：0()0fx，0()0fx不妨设0()0fx，即 000000( )()( )()limlimxxxfxfxfxfxxxxx0； 由极限的保号性知，必存在0δ，使得)(0,δxx，均有0( )0fxxx； 从而当00xxδx时，有( )0fx，当δxxx00时，有( )0fx； ∴))((00x,fx为拐点。

内容概要内容概要 名称 主要内容（3.5） 3.5 函数的极值与最大值最小值 极值的概念： 设函数)(xf在点0x的某个邻域内有定义， 若对该邻域内任意一点x（0xx ） ，恒有)()(0xfxf（或)()(0xfxf） ，则称)(xf在点0x处取得极大值（或极小值） ，而0x成为函数)(xf的极大值点（或极小值点） 函数极值的 判别法 第一充分条件：设函数)(xf在点0x的某个邻域内连续且可导（0()fx可以不存在） ， （1）若在0x的左邻域内，( )0fx；在在0x的右邻域内，( )0fx，则)(xf在0x处取得极大值)(0xf； （2）若在0x的左邻域内，( )0fx；在在0x的右邻域内，( )0fx，则)(xf在0x处取得极小值)(0xf； （3）若在0x的左邻域内，( )fx不变号，则)(xf在0x处没有极值 注：第一充分条件利用一阶导数符号判断函数单调性 第二充分条件：设)(xf在0x处具有二阶导数，且0()0fx，0()0fx，则 （1）当0()0fx时，函数)(xf在0x处取得极大值； （2）当0()0fx时，函数)(xf在0x处取得极小值。

注：利用驻点处二阶导数符号判断驻点是否为极值点 函数的最大值和最小值：注意函数极值和最值的区别和联系 习题习题 3 3- -5 5 ★★★★1.求下列函数的极值： （1） xxxxf331)(23； （2）)1ln(xxy； （3） xxy2ln； （4） xxy1； （5） xeyxcos； （6）32) 1()(xxxf 知识点知识点：极值的充分条件 思路思路：求0y 的点或者y不存在的点，然后利用极值的第一或者第二充分条件进行判断当所有的极值可疑点多于两个时，若利用第一充分条件，可列表讨论；第二充分条件仅用来对驻点是否为极值点进行判断 解解： （1）方方法一法一： xxxxf331)(23的定义域为)(,， 令2( )230fxxx，得31x，12x；现列表讨论如下： x ) 1(, 1 ) 31(, 3 )3(, ( )fx  0 － 0  )(xf ↗ 极 大 值点 ↘ 极 小值点 ↗ 由上表知，xxxxf331)(23在1x处取得极大值为35) 1(f，在3x处取得极小值为9)3(f。

方方法二法二：令2( )230fxxx，得31x，12x； 由( )22fxx得，( 1)40f    ， (3)40f ， ∴由极值的第二充分条件知，xxxxf331)(23在1x处取得极大值为35) 1(f， 在3x处取得极小值为9)3(f （2）方方法一法一：)1ln(xxy的定义域为)1( ,，令11011xyxx ，得0x； 当01x时，有0y；当0x时，有0y， ∴由极值的第一充分条件知，)1ln(xxy在0x处取得极小值为0)0(f 方方法二法二：)1ln(xxy的定义域为)1( ,，令11011xyxx ，得0x； 又由21(1)yx ，得(0)10y ， ∴由极值的第二充分条件知，)1ln(xxy在0x处取得极小值为0)0(f （3） 方方法一法一：xxy2ln的定义域为)0(,， 令222lnln0xxyx ， 得11x，22ex ；现列表讨论如下： x ) 10( , 1 )1 (2,e 2e )(2,e )(/xf － 0  0 － )(xf ↘ 极 小 值点 ↗ 极 大值点 ↘ 由上表知，xxy2ln在1x处取得极小值为0) 1 (y，在2ex 处取得极大值为224)(eef。

方方法二法二：xxy2ln的定义域为)0(,，令222lnln0xxyx ，得11x，22ex ； 由2326ln2lnxxyx ，得(1)20y，262()0y ee ； ∴由极值的第二充分条件知，xxy2ln在1x处取得极小值为0) 1 (y，在2ex 处取得极大值为224)(eef （4） xxy1的定义域为] 1(,，令2 1102 1xyx，得43x； 当43x时，有0y ；当143 x时，有0y， ∴由极值的第一充分条件知，xxy1在43x处取得极大值为45)43(f 注注：此题中y的表达式比较繁琐，所以优先考虑第一充分条件 （5） xeyxcos的定义域为)(,， 令(cossin )0xyexx ，得4πkπx，)(Zk ；由 2sinxyex  ，得 24(2)204πkππykπe ， (21)4((21))204πkππykπe， Zk； ∴由极值的第二充分条件知， xeyxcos在42πkπx处取得极大值为4222)42(πkπeπkπy， 在4) 12(ππkx处取得极小值为4)12(22)4) 12((ππkeππky，Zk。

注注：此题的单调区间有无穷多个，所以优先考虑第二充分条件 （6）32) 1()(xxxf的定义域为)(,，令352( )03xfxx，得521x； 02x为不可导点；现列表讨论如下： x )0(, 0 )520( , 52 )52(, ( )fx  0 － 0  )(xf ↗ 极 大 值点 ↘ 极 小值点 ↗ 由上表知，32) 1()(xxxf在0x处取得极大值为0)0(f，在52x处取得极小值为3234( )5525f  注注：此题中的函数具有不可导点，所以用第一充分条件 ★★★★★★2.试证：当01ba时，1)(2xbaxxxf取得极值 知识点知识点：函数取得极值的条件 思路思路：在定义区间内求( )0fx的点，然后利用极值的充分条件进行判断 证明证明：1)(2xbaxxxf的定义域为)1 () 1(,, ，令222( )0(1)xxabfxx， ∵方程220xxab根的判别式：44()4(1)abab   ∴当01ba时，得驻点为bax,1121；由32(1)( )(1)abfxx，得 32(1)2(11)0( 1)1abfababab， 32(1)2(11)0(1)1abfababab ， ∴1)(2xbaxxxf在bax11处取得极小值， 在bax11处取得极大值。

★★★★3.试问a为何值时，函数xxaxf3sin31sin)(在3πx 处取得极值，并求出极值 知识点知识点：取得极值的条件 思路思路：利用极值的必要条件，确定a的值，然后利用充分条件，判断是极大值还是极小值 解解：根据题意，得33( )( coscos3 )coscos03ππxxπfxaxxaπ， 即012a，2a； 由( )2sin3sin3fxxx ，得()303f ， ∴)(xf在3πx 处取得极大值3)3(πf。