第九篇 统计专题 9.1 获取数据的基本途径及抽样方法【考试要求】1.知道获取数据的基本途径；2.了解总体、样本、样本容量的概念，了解数据的随机性；3.了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法；4.了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法.【知识梳理】1.获取数据的基本途径获取数据的基本途径包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.2.总体、样本、样本容量要考察的对象的全体叫做总体，每一个考察对象叫做个体，从总体中被抽取的考察对象的集体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量.3.简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.4.分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体， 将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.【微点提醒】1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.2.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.3.统一性是统计报表的基本特点.具体表现为：(2)统计报表的指标含义，计算方法、口径是全国统一的.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“”)(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.( )(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( )【教材衍化】2.(必修 3P100 A1 改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地 5 000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了200 名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5 000 名居民的阅读时间的全体是( )A.总体 B.个体C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本3.(必修 3P100A2(2)改编)一个公司共有 N 名员工，下设一些部门，要采用等比例分层抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为 n 的样本，已知某部门有 m 名员工，那么从该部门抽取的员工人数是 .【真题体验】4.(2019东营月考)为了解高三年级 400 名学生的身高情况，从中抽取 40 名学生进行测量，这 40 名学生的身高是( )A.总体的一个样本 B.个体C.总体 D.样本容量5.(2019天津河东区调研)某公司有员工 500 人，其中不到 35 岁的有 125 人，35～49 岁的有 280 人，50 岁以上的有 95 人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取 100 名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为( )A.33，34，33 B.25，56，19C.20，40，30 D.30，50，206.(2018全国Ⅲ卷改编)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样，则最合适的抽样方法是 .【考点聚焦】考点一 总体、样本、样本容量【例 1】 为了解普陀区高中二年级学生的身高，有关部门从高二年级中抽 200 名学生测量他们的身高，然后根据这一部分学生的身高去估计普陀区所有高二学生的平均身高.写出总体、个体、样本和样本容量.【规律方法】 要考察的对象的全体叫做总体，每一个考察对象叫做个体，抽取的考察对象的集体叫做样本.所有的个体构成了总体，样本取决于总体，样本是总体的一部分，没有个体就没有总体，样本的特征反映了总体的相应特征.【训练 1】 为了解我省高考数学考试的情况，抽取 2 000 名考生的数学试卷进行分析，2 000 叫做( )A.个体 B.样本C.样本容量 D.总体考点二 简单随机抽样及其应用【例 2】 (1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )①从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本.②盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.③从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验.④某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛.A.0 B.1 C.2 D.3A.08 B.07 C.02 D.01【规律方法】1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取.2.简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).考点三 分层抽样及其应用角度 1 求某层入样的个体数【例 3－1】 (2017江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，400，300，100 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.角度 2 求总体或样本容量【例 3－2】 (1)某中学有高中生 960 人，初中生 480 人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法， 从该校学生中抽取容量为 n 的样本，其中高中生有 24 人，那么 n 等于( )A.12 B.18 C.24 D.36(2)(2019青岛调研)甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4 800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行质量检测.若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件.【规律方法】 1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小， 两层之间的样本差异要大，且互不重叠.2.进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系 样本容量 n(1)该层抽取的个体数＝ ；总体的个数 N该层的个体数(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.【训练 3】 (1)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取 30 人，结果篮球组被抽出 12 人，则 a 的值为 . (2)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这 10 000 人中用分层抽样的方法抽取 100 人作进一步调查，则月收入在[2 500，3 000)(元)内应抽取 人.【反思与感悟】1.统计报表有三个显著优点：来源可靠、回收率高、方式灵活.3.两种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这两种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为 n，总体容量为 N，每个个体被抽到的概率是n.N4.分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样.【易错防范】1.正确分清考察对象是抽取样本的关键，样本容量没有单位.2.简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样.3.分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35 分钟)一、选择题1.为了考察某班学生的身高情况，从中抽取 20 名学生进行身高测算，下列说法正确的是( )A.这个班级的学生是总体B.抽测的 20 名学生是样本C.抽测的 20 名学生的身高的全体就是总体D.样本容量是 202.下列抽样试验中，适合用抽签法的为( )A.从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验D.从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验3.(一题多解)(2019青岛测试)某中学有高中生 3 500 人，初中生 1 500 人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取 70 人，则 n 为( )A.100 B.150 C.200 D.25066 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 9057 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 83 20 37 90A.05 B.09 C.11 D.205.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为( )A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1 365 石6.在检测一批相同规格共 500 kg 航空耐热垫片的品质时，随机抽取了 280 片，检测到有 5 片非优质品，则这批垫片中非优质品约为( )A.2.8 kg B.8.9 kg C.10 kg D.28 kg类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600合计4 3007.某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中， 青年教师有 320 人，则该样本中的老年教师人数为( )A.90 B.100 C.180 D.3008.某地区高中分三类，A 类学校共有学生 2 000 人，B 类学校共有学生 3 000 人，C 类学校共有学生 4 000 人， 若采取分层抽样的方法抽取 900 人，则 A 类学校中的学生甲被抽到的概率为( )A. 110B. 920C. 1 2 000D.12二、填空题9.从 300 名学生(其中男生 180 人，女生 120 人)中按性别用分层抽样的。