平衡二叉树删除策略一、平衡二叉树的删除策略概述平衡二叉树是一种自平衡的二叉搜索树，其左右子树的高度差（平衡因子）被限制在一个特定范围内（通常是-1、0或1）删除节点是平衡二叉树维护平衡的关键操作之一删除策略需要确保在删除节点后，树仍然保持平衡，并满足二叉搜索树的性质以下是平衡二叉树删除策略的详细说明二、删除策略的基本步骤（一）查找并删除目标节点1. 在平衡二叉树中查找目标节点 从根节点开始，根据二叉搜索树的性质，向左或向右子树递归查找 找到目标节点后，执行删除操作2. 删除目标节点的方法：(1) 如果目标节点是叶子节点，直接删除该节点2) 如果目标节点有一个子节点，用其子节点替换该节点3) 如果目标节点有两个子节点，采用以下方法之一：- 用其右子树的最小节点（或左子树的最大节点）替换该节点，然后删除被替换的节点 直接删除该节点，用其直接后继（或直接前驱）替换三、维护平衡的具体操作（一）旋转操作1. 删除节点后，检查树的平衡因子：- 如果某个节点的平衡因子绝对值大于1，需要进行旋转操作2. 旋转类型：(1) 左旋（Left Rotation）：- 适用于右重平衡（右子树高度比左子树高2）。
旋转方向：以失衡节点的右子节点为轴心，向左旋转2) 右旋（Right Rotation）：- 适用于左重平衡（左子树高度比右子树高2） 旋转方向：以失衡节点的左子节点为轴心，向右旋转3) 左-右旋（Left-Right Rotation）：- 先对左子节点进行左旋，再对当前失衡节点进行右旋 适用于左子树右重平衡4) 右-左旋（Right-Left Rotation）：- 先对右子节点进行右旋，再对当前失衡节点进行左旋 适用于右子树左重平衡二）更新高度和平衡因子1. 旋转操作后，更新相关节点的高度：- 每个节点的高度为其左右子树高度的最大值加1 更新路径上的所有节点的平衡因子2. 检查父节点平衡：- 如果父节点的平衡因子恢复到-1、0或1，则停止 如果父节点仍然失衡，继续向上旋转四、删除操作的具体实现（一）二叉搜索树的删除步骤1. 查找目标节点：- 从根节点开始，根据值的大小向左或向右递归查找2. 执行删除操作：- 叶子节点：直接删除 一个子节点：用子节点替换当前节点 两个子节点：- 找到右子树的最小节点（或左子树的最大节点） 用该节点替换当前节点 删除被替换的节点3. 删除后检查平衡：- 从被删除节点所在的子树开始，向上递归检查每个节点的平衡因子。
如果发现失衡，执行相应的旋转操作二）示例步骤1. 删除节点A：(1) 查找节点A2) 判断节点A的子节点情况：- 如果是叶子节点，直接删除 如果有一个子节点，用子节点替换A 如果有两个子节点，找到右子树的最小节点B：- 用B替换A 删除B的原位置2. 检查平衡：(1) 从被删除节点所在的子树开始，向上检查每个节点的平衡因子2) 如果发现失衡，执行旋转操作：- 根据失衡类型选择左旋、右旋、左-右旋或右-左旋 更新高度和平衡因子3. 继续检查：- 重复步骤2，直到所有节点的平衡因子恢复正常五、总结平衡二叉树的删除策略需要结合二叉搜索树的删除方法和自平衡操作通过合理的旋转和高度更新，可以确保在删除节点后，树仍然保持平衡，从而维持高效的搜索性能掌握删除策略的关键在于理解旋转操作和平衡因子的维护方法一、平衡二叉树的删除策略概述平衡二叉树是一种自平衡的二叉搜索树，其左右子树的高度差（平衡因子）被限制在一个特定范围内（通常是-1、0或1）删除节点是平衡二叉树维护平衡的关键操作之一删除策略需要确保在删除节点后，树仍然保持平衡，并满足二叉搜索树的性质如果仅仅执行标准二叉搜索树的删除操作，可能会导致树退化成链表，从而失去其时间复杂度为 O(log n) 的优势。
因此，删除节点后必须执行相应的自平衡操作以下是平衡二叉树删除策略的详细说明二、删除策略的基本步骤（一）查找并删除目标节点1. 在平衡二叉树中定位目标节点：- 从根节点开始，根据二叉搜索树的性质（左子节点值小于父节点值，右子节点值大于父节点值），沿着左子树或右子树向下递归查找 比较当前节点的值与目标值，根据比较结果决定向左或向右移动 重复此过程，直到找到目标节点或到达叶子节点的子节点（表示目标值不存在）2. 执行删除操作，根据目标节点的子节点数量选择不同方法：(1) 删除叶子节点（无子节点）：- 直接将指向该节点的父节点指针设置为空（NULL） 这种情况通常不会引起不平衡，但需要更新路径上的高度和平衡因子2) 删除只有一个子节点的节点：- 用指向其唯一子节点的指针替换该节点 例如，如果一个节点只有一个左子节点，则用其左子节点替换该节点，并删除原左子节点的父引用 同理处理只有一个右子节点的情况 删除后，检查该节点的父节点是否失衡，并向上传播检查3) 删除有两个子节点的节点（标准BST方法）：- 寻找目标节点的直接后继（右子树中的最小节点）或直接前驱（左子树中的最大节点） 为简化操作，通常选择直接后继。
找到直接后继节点 将直接后继节点的值复制到目标节点位置 在原直接后继节点所在的子树中，删除那个值相同的节点 删除操作现在转化为处理一个节点最多只有一个子节点的情况（步骤(1)或(2)），然后继续后续的平衡检查二）检查并维护平衡1. 从被删除节点或受影响的祖先节点开始，向上递归检查路径上的每个节点的平衡因子：- 计算每个节点的左右子树高度差 如果某个节点的平衡因子绝对值 > 1，则表示该子树失衡，需要进行旋转操作2. 识别失衡类型并执行相应旋转：- 如前所述，根据失衡节点的子树高度关系，判断是左重（Left Heavy）、右重（Right Heavy）、左-右重（Left-Right Heavy）还是右-左重（Right-Left Heavy）3. 执行旋转操作的具体细节：(1) 左旋（Left Rotation）：- 场景：失衡节点X是右重（其右子节点Y的高度比X高至少2） 操作：以失衡节点X为轴心，向左旋转节点Y成为新的根节点，X成为Y的左子节点X的左子树（如果存在）成为Y的右子节点 旋转后，重新计算X和Y的高度，并更新它们的平衡因子2) 右旋（Right Rotation）：- 场景：失衡节点X是左重（其左子节点Y的高度比X高至少2）。
操作：以失衡节点X为轴心，向右旋转节点Y成为新的根节点，X成为Y的右子节点X的右子树（如果存在）成为Y的左子节点 旋转后，重新计算X和Y的高度，并更新它们的平衡因子3) 左-右旋（Left-Right Rotation）：- 场景：失衡节点X是左-右重（其左子节点Y是右重） 操作：先对Y（左子节点）执行左旋，使Y的左右子树高度差减小；然后对X执行右旋 具体步骤：对Y左旋，使Y成为新的父节点，X成为Y的右子节点，Y的左子树成为X的左子节点然后对X右旋，使Y成为新的根节点，X成为Y的右子节点 旋转后，重新计算X、Y的高度，并更新它们的平衡因子4) 右-左旋（Right-Left Rotation）：- 场景：失衡节点X是右-左重（其右子节点Y是左重） 操作：先对Y（右子节点）执行右旋，使Y的左右子树高度差减小；然后对X执行左旋 具体步骤：对Y右旋，使Y成为新的父节点，X成为Y的左子节点，Y的右子树成为X的右子节点然后对X左旋，使Y成为新的根节点，X成为Y的左子节点 旋转后，重新计算X、Y的高度，并更新它们的平衡因子4. 旋转后的处理：- 每次旋转后，需要重新计算涉及节点的父节点、兄弟节点以及自身的高度。
更新这些节点的平衡因子（根据左右子树高度差计算） 检查旋转操作是否解决了失衡，或者是否将失衡传递给了父节点 如果失衡未解决或传递给父节点，对父节点重复步骤1-35. 终止条件：- 旋转操作和高度更新一直向上进行，直到：- 找到平衡的节点 到达根节点且整个树恢复平衡三、删除操作的具体实现（一）二叉搜索树的删除步骤详解1. 查找节点：- 初始化当前节点为根节点 当当前节点不为空时：- 如果目标值 < 当前节点值，将当前节点设置为当前节点的左子节点，否则设置为右子节点 如果当前节点值等于目标值，则找到目标节点，准备进行删除 如果当前节点为空，表示目标值不存在于树中2. 确定删除方法（假设找到目标节点为Node）：- 情况1：Node是叶子节点（无子节点）：- 找到Node的父节点Parent 将Parent指向Node的子节点指针设置为NULL（例如，如果Node是Parent的左子节点，则Parent->left = NULL；如果是右子节点，则Parent->right = NULL） Node被删除 情况2：Node有一个子节点（Node->left为空或Node->right为空）：- 假设Node有一个非空子节点Child（即Node->left != NULL 或 Node->right != NULL）。
找到Node的父节点Parent 将Parent指向Node的子节点指针指向Child（例如，如果Node是Parent的左子节点，则Parent->left = Child；如果是右子节点，则Parent->right = Child） Child取代Node的位置 Node被删除 情况3：Node有两个子节点：- 找到Node的右子树中的最小节点Successor可以通过遍历Node的右子节点，一直向左走直到到达最左边的节点来找到Successor 记录Successor的值 在Node的右子树中，删除值等于Successor值的节点由于被删除的Successor最多只有一个子节点（是Node的右子节点），此时转化为情况1或情况2进行处理 将Node的值替换为Successor的值 Node的原位置被Successor的值取代，且删除操作发生在Successor的位置，不会引入新的不平衡（因为处理Successor时，它最多只有一个子节点）3. 执行平衡检查与旋转：- 从被删除节点所在的子树根节点开始，向上遍历至根节点 对每个遍历到的节点：- 计算其左右子树的高度 计算平衡因子（平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度）。
检查平衡因子是否绝对值大于1 如果是，记录失衡节点及其类型（左重、右重等），准备执行旋转 如果不是，更新该节点的高度，继续向上检查父节点 如果发现失衡节点，根据其类型执行相应的旋转操作（左旋、右旋、左-右旋、右-左旋） 旋转后，更新旋转涉及的所有相关节点的高度和平衡因子 检查旋转后的父节点是否仍然失衡，如果失衡，继续旋转，直到整个树恢复平衡二）示例步骤（删除节点值为7的节点，假设树为AVL树）1. 查找节点7：- 从根节点开始，假设根节点值为10 > 7，向左子树查找 左子树根节点值为5 < 7，向右子树查找 右子树节点值为7，找到。