[理学]电动力学-静电场5

第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院§2.6 电多极矩在真空中，若激发电场的电荷全部集中在一个很小的区域（如原子、原子核内），而求解的是距场源较远的空间场，这时可以采用多极矩近似法来解决问题1、多极矩的概念若带电体系的电荷分布在有限区域V内，在V中任取一点O为坐标原点，区域V的线度为l，场点P距O点为R多极矩法是讨论 R>>l 情况下的场分布问题第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院=xyzO aQxyzOQ+xyzOQQxyzOQ零级近似xyzO aQxyzOQ++=xyzOQQa/2一级近似xyzOQ+xyzOQQa/2xyzQQa/2第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院xyzO aQxyzOQ二级近似xyzOQ=xyzOQQa/2+xyzQ+QQa/4Q+zxyQQQ+xyzOQQa/2+xyzQ+QQa/4Q+第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院总之，移动一个点电荷到原点，对场点产生一个偶极子分布的误差；移动一个偶极子到原点，对场点产生一个电四极子分布的误差；移动一个电四极子到原点，对场点产生一个电八极子分布的误差；……。

2、点电荷系的多极展开式设V内都是点电荷，其中第i个点电荷qi位于点A处yAqilxzPO符合 R>>l 条件，P点的电势第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院则相对于原点，有令yAqilxzPO第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院在点O处的电 偶极矩的电势在O处的电 荷Q的电势第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院表示在点O处的电四极矩 的电势每个包含cos的因式就是级数的勒让德多项式Pn(cosθ)第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院3、连续分布电荷体系的多极子展开式若区域V内电荷是连续分布的，且电势为zxPyVo由于源点到场点的距离远大于带电区域V的线度，故可将 对 在原点附近作泰勒级数展开第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院在x=0邻域展开在x=a邻域展开对于三元函数f (x,y,z)，在原点x=0, y=0, z=0邻域展开第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院在x=a，y=b，z=c点邻域展开第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院把 代替f (x)，因r是 的函数， 场点 固定，而让源点 变化，在 附近展开第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院因为第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院令第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院讨论展开式的每项物理意义：▲展开式的第一项表示体系总电荷集中于原点的势，零级近似。

▲展开式的第二项表示体系总偶极子集中于原点所产生的势，一级近似▲展开式的第三项表示体系总四极矩集中于原点产生的势，二级近似一个小区域内连续分布的电荷在远处激发的场等于一系列多极子在远处激发的场的迭加第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院讨论：（1）如果带电体系的总电荷为零，计算电势时必须考虑偶极子，只有对原点不对称的电荷分布才有电偶极矩；如果带电体系的总电荷为零，总电偶极矩也为零，计算电势时必须考虑电四极矩只有对原点不是球对称的电荷分布才有电四极矩2）对电四极矩 的进一步认识电四极矩是一个张量，有9个分量第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院▲ 证明电四极矩 的9个分量，只有5个分量是独立的则 的9个分量只有6个分量独立单位张量将此式加到 中去，并不改变 的值，即第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院重新定义第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院（3）几种典型的多极矩产生的场a） zP(x,y,z)q(0,0,z )OlθRr-r+ q(0,0, z )体系可看成小区域(R>>l ) ，体系对原点而言是不对称的，总电荷为零，故没有零级近似。

总偶极矩不为零第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院体系为小区域（ R>>l ），体系内总电荷为零，总偶极矩为零，故没有零级和一级近似由于电荷分布不具有球对称性，存在电四极矩r+ zPolθR r-q-qba-b）第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院c) 半轴为a,b,c椭球体均匀带电，总荷为Q，求它相对于椭球中心的电偶极矩、电四极矩及准确到二级近似下的电势，讨论旋转椭球(a=b)和球体(a=b=c)的情况分析电荷体密度积分都是对椭球进行的，为此引入广义球坐标变换第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院雅可比行列式为第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院对于广义球坐标是从原点积分到椭球面上所以，对于r 积分区域，r' : 01这个变换是把半轴为a,b,c的椭球变在单位球第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院该电荷系统电偶极矩各分量为均匀带电椭球相对于原点的偶极矩为零第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院▲对于电四极矩第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院另外第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院至此，根据电势的表达式，即有第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院当a=b时，是回转椭球，此时x2+y2=R2z2，则当a=b=c时，是均匀带电球体，此时第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院4、电荷体系在外电场中的能量设电荷系e的电势为e，另一个电荷系的电势为， e 分布于 ， 分布于总电场能量自作用能Wm： e和单独存在时的能量两电荷系间相 互作用能Wi总电荷分布第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院因此电荷体系在外电场中的能量为 因为交换积分次序，故得到电荷体系 在外场 中的能量。

第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院假设电荷系分布的区域V2是外场中一个小区域，在其中外场的势 变化不大，取其中一点为坐标原点，则可对 在原点附近作泰勒级数展开1、展开式第一项表示把体系电荷集中于原点时，一个点电荷在外场中的能量，作为零级近似的结果第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院2、展开式第二项表示把体系的电偶极矩集中到原点时，一个电偶极矩在外场中的能量，作为一级近似的结果3、展开式第三项表示把体系的电四极矩集中到原点时，一个电四极矩在外场中的能量，作为二级近似的结果综上所述，一个小区域内连续分布的电荷在外场中的能量等于一系列多极子在外场中的能量之和第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院5、电偶极子在外场中所受到的力和力矩一个电偶极子在外场中的能量为若电偶极子相对外场有一平移或转动，而偶极矩的大小和外场保持不变，则由平移或转动引起的系统能量的变化也就等于相互作用能的变化，即若偶极矩平移 ，则由能量守恒得第二章 静电场电多极矩展开哈尔滨工程大学理学院利用同理，将偶极矩转动一个，力矩 作的功为因为 的大小不变，仅改变方向，故。